שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2019

קורס: שדות אלקטרומגנטיים

אוניברסיטה: הטכניון

שנה: 2019

סמסטר: ב

נושאים: קוואזי-סטטיקה, משוואות מקסוול, מגנטיזציה, אנרגיה מגנטית, תנאי שפה, שדה מגנטי

רמת קושי: קשה

נתון חתך התקן אלקטרו-מגנטי במישור $xz$. ההתקן מוזן ע"י מקור צפיפות זרם משטחי עם תלות זמנית $\vec K(t)=K_0\cos(\omega t)\hat x$ (על הדופן $z=0$). החומר בתוך ההתקן מאופיין ע"י מקדם דיאלקטרי של מרחב חופשי יחד עם וקטור מגנטיזציה קבוע במרחב אך בעל אותה תלות זמנית כמו המקור, $\vec M(t)=M_0\cos(\omega t)\hat y$. הדפנות ב-$x=0$, $x=h$ וב-$z=L$ מוליכות מושלמות. הנחות: ההתקן נמצא במשטר קווזי-סטטי כלשהו; אינסופי בכיוון $y$ ומקיים $h\ll L$; שדות אפס מחוץ להתקן; $K_0,M_0$ ממשיים עם $K_0>M_0$. **א.** קבעו איזה סוג משטר קווזי-סטטי מתקיים בהתקן, ונמקו. **ב.** רשמו את משוואות מקסוול המתאימות למשטר זה בתוך ההתקן, וקבעו באילו כיוונים קיימים השדות ובאילו קואורדינטות הם תלויים. **ג.** רשמו את תנאי השפה שעל השדות הא"מ לקיים. **ד.** חשבו את השדות הא"מ בהתקן. **ה.** חשבו את סך האנרגיה החשמלית והמגנטית הממוצעת בזמן ליחידת אורך של ציר $y$, בתוך ההתקן. **ו.** בעזרת סעיף ה, מצאו תנאי על הנתונים הגיאומטריים ותדר המקור המצדיק את המשטר הקווזי-סטטי שבחרתם. עבור הסעיפים ז-ח הניחו כי וקטור המגנטיזציה אינו תלוי זמן, $\vec M=M_0\hat y$. **ז.** האם תשובתכם לסעיף א תשתנה? אם כן כיצד, אם לא נמקו מדוע. **ח.** רשמו את תנאי השפה וחשבו את השדות הא"מ בהתקן.

רמז: מסלול זרימה סגור דרך המוליכים המושלמים ⇒ משטר MQS. $\nabla\times\vec H=0$ נותן $\vec H=-K_0\hat y$ (קבוע), ו-$\nabla\times\vec E=-j\omega\mu_0(\vec H+\vec M)$ עם $E_x(L)=0$ נותן $\vec E=j\omega\mu_0(K_0-M_0)(z-L)\hat x$. יחס האנרגיות מוביל לתנאי $(\omega L/c)^2\ll1$. כש-$\vec M$ קבוע בזמן הוא נושר מהשדה החשמלי.

פתרון: **א.** בתדר DC קיים מסלול זרימה סגור (דרך המוליכים המושלמים והמקור), ומתקיים KCL, ולכן המשטר הוא **מגנטו-קווזי-סטטי (MQS)**. **ב.** מנתוני השאלה $\partial_x=\partial_y=0$, ולכן השדות תלויים רק ב-$z$. מכלל יד ימין ושיקולי כיוון זרימת ההספק: $\vec E=E(z)\hat x$, $\vec H=H(z)\hat y$. משוואות מקסוול הפאזוריות למשטר: $$\nabla\times\vec E=-j\omega\mu_0(\vec H+\vec M),\qquad \nabla\times\vec H=0$$ **ג.** לשדה המגנטי, מתנאי הקפיצה ב-$z=0$: $\hat n\times(\vec H_{out}-\vec H_{in})=\vec J_s$, כלומר $-\hat z\times(-H_y(0)\hat y)=K_0\hat x\Rightarrow H_y(z=0)=-K_0$. לשדה החשמלי המשיקי: $E_{in,z}(x=0,h)=E_{in,y}(x=0,h)=0$ ו-$E_{in,x}(z=L)=0$. **ד.** מ-$\nabla\times\vec H=0$: $\partial_zH_y=0\Rightarrow H_y=\text{const}=-K_0$, כך ש-$\vec H=-K_0\hat y$. הצבה במשוואה הראשונה: $$\dfrac{\partial E_x}{\partial z}=-j\omega\mu_0(H_y+M_0)=j\omega\mu_0(K_0-M_0)\ \Rightarrow\ E_x=j\omega\mu_0(K_0-M_0)z+A$$ ומהתנאי $E_x(z=L)=0$: $A=-j\omega\mu_0(K_0-M_0)L$. סה"כ $$\vec H=-K_0\hat y,\qquad \vec E=j\omega\mu_0(K_0-M_0)(z-L)\hat x$$ **ה.** צפיפויות האנרגיה הממוצעות: $$\langle w_m\rangle=\tfrac14\vec B\cdot\vec H^*=\dfrac{\mu_0}{4}(K_0^2-K_0M_0),\quad \langle w_e\rangle=\tfrac14\epsilon_0|\vec E|^2=\dfrac{\omega^2\epsilon_0\mu_0^2}{4}(K_0^2-2K_0M_0+M_0^2)(z-L)^2$$ אינטגרציה על החתך (ליחידת אורך ב-$y$; $x$ מ-$0$ עד $h$, $z$ מ-$0$ עד $L$): $$\langle W_m\rangle=\dfrac{\mu_0}{4}(K_0^2-K_0M_0)Lh,\qquad \langle W_e\rangle=\dfrac{\omega^2\epsilon_0\mu_0^2}{4}(K_0^2-2K_0M_0+M_0^2)h\dfrac{L^3}{3}$$ **ו.** דרישה שהאנרגיה החשמלית זניחה ביחס למגנטית: $$\dfrac{\langle W_e\rangle}{\langle W_m\rangle}\ll1\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{3}\dfrac{(K_0^2-2K_0M_0+M_0^2)}{(K_0^2-K_0M_0)}\dfrac{\omega^2}{c^2}L^2\ll1\ \Rightarrow\ \dfrac{\omega^2}{c^2}L^2\ll1$$ **ז.** לא. בתדר DC ההתקן עדיין מקיים KCL (מסלול זרימה דרך מוליכים מושלמים ומקורות), ולכן המשטר נשאר **MQS**. **ח.** תנאי השפה זהים לסעיף ג ($\vec M$ אינו משתתף בהם). $\vec M$ הקבוע בזמן אינו תורם לשינוי זמני באינדוקציה המגנטית, ולכן אינו תורם לשדה החשמלי: $$\vec H=-K_0\hat y,\qquad \vec E=j\omega\mu_0K_0(z-L)\hat x$$ $\blacksquare$

נתון חתך התקן אלקטרו-מגנטי במישור

x z

. ההתקן מוזן ע"י מקור צפיפות זרם משטחי עם תלות זמנית

K (t) = K_{0} cos (ω t) \overset{x}{^}

(על הדופן

z = 0

). החומר בתוך ההתקן מאופיין ע"י מקדם דיאלקטרי של מרחב חופשי יחד עם וקטור מגנטיזציה קבוע במרחב אך בעל אותה תלות זמנית כמו המקור,

M (t) = M_{0} cos (ω t) \overset{y}{^}

. הדפנות ב-

x = 0

x = h

וב-

z = L

מוליכות מושלמות. הנחות: ההתקן נמצא במשטר קווזי-סטטי כלשהו; אינסופי בכיוון

y

ומקיים

h ≪ L

; שדות אפס מחוץ להתקן;

K_{0}, M_{0}

ממשיים עם

K_{0} > M_{0}

.

א. קבעו איזה סוג משטר קווזי-סטטי מתקיים בהתקן, ונמקו.

ב. רשמו את משוואות מקסוול המתאימות למשטר זה בתוך ההתקן, וקבעו באילו כיוונים קיימים השדות ובאילו קואורדינטות הם תלויים.

ג. רשמו את תנאי השפה שעל השדות הא"מ לקיים.

ד. חשבו את השדות הא"מ בהתקן.

ה. חשבו את סך האנרגיה החשמלית והמגנטית הממוצעת בזמן ליחידת אורך של ציר

y

, בתוך ההתקן.

ו. בעזרת סעיף ה, מצאו תנאי על הנתונים הגיאומטריים ותדר המקור המצדיק את המשטר הקווזי-סטטי שבחרתם.

עבור הסעיפים ז-ח הניחו כי וקטור המגנטיזציה אינו תלוי זמן,

M = M_{0} \overset{y}{^}

.

ז. האם תשובתכם לסעיף א תשתנה? אם כן כיצד, אם לא נמקו מדוע.

ח. רשמו את תנאי השפה וחשבו את השדות הא"מ בהתקן.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד ב · 2019 · סמסטר ב

★★★★★

קוואזי-סטטיקהמשוואות מקסוולמגנטיזציהאנרגיה מגנטיתתנאי שפהשדה מגנטי

מסלול זרימה סגור דרך המוליכים המושלמים ⇒ משטר MQS.

\nabla \times H = 0

נותן

H = - K_{0} \overset{y}{^}

(קבוע), ו-

\nabla \times E = - j ω μ_{0} (H + M)

עם

E_{x} (L) = 0

נותן

E = j ω μ_{0} (K_{0} - M_{0}) (z - L) \overset{x}{^}

. יחס האנרגיות מוביל לתנאי

(ω L / c)^{2} ≪ 1

. כש-

M

קבוע בזמן הוא נושר מהשדה החשמלי.

א. בתדר DC קיים מסלול זרימה סגור (דרך המוליכים המושלמים והמקור), ומתקיים KCL, ולכן המשטר הוא מגנטו-קווזי-סטטי (MQS).

ב. מנתוני השאלה

\partial_{x} = \partial_{y} = 0

, ולכן השדות תלויים רק ב-

z

. מכלל יד ימין ושיקולי כיוון זרימת ההספק:

E = E (z) \overset{x}{^}

H = H (z) \overset{y}{^}

. משוואות מקסוול הפאזוריות למשטר:

\nabla \times E = - j ω μ_{0} (H + M), \nabla \times H = 0

ג. לשדה המגנטי, מתנאי הקפיצה ב-

z = 0

\overset{n}{^} \times (H_{o u t} - H_{in}) = J_{s}

, כלומר

- \overset{z}{^} \times (- H_{y} (0) \overset{y}{^}) = K_{0} \overset{x}{^} \Rightarrow H_{y} (z = 0) = - K_{0}

. לשדה החשמלי המשיקי:

E_{in, z} (x = 0, h) = E_{in, y} (x = 0, h) = 0

ו-

E_{in, x} (z = L) = 0

.

ד. מ-

\nabla \times H = 0

\partial_{z} H_{y} = 0 \Rightarrow H_{y} = const = - K_{0}

, כך ש-

H = - K_{0} \overset{y}{^}

. הצבה במשוואה הראשונה:

\frac{\partial E _{x}}{\partial z} = - j ω μ_{0} (H_{y} + M_{0}) = j ω μ_{0} (K_{0} - M_{0}) \Rightarrow E_{x} = j ω μ_{0} (K_{0} - M_{0}) z + A

ומהתנאי

E_{x} (z = L) = 0

A = - j ω μ_{0} (K_{0} - M_{0}) L

. סה"כ

H = - K_{0} \overset{y}{^}, E = j ω μ_{0} (K_{0} - M_{0}) (z - L) \overset{x}{^}

ה. צפיפויות האנרגיה הממוצעות:

⟨ w_{m} ⟩ = \frac{1}{4} B \cdot H^{*} = \frac{μ _{0}}{4} (K_{0}^{2} - K_{0} M_{0}), ⟨ w_{e} ⟩ = \frac{1}{4} ϵ_{0} ∣ E ∣^{2} = \frac{ω ^{2} ϵ _{0} μ _{0}^{2}}{4} (K_{0}^{2} - 2 K_{0} M_{0} + M_{0}^{2}) (z - L)^{2}

אינטגרציה על החתך (ליחידת אורך ב-

y

;

x

מ-

0

עד

h

z

מ-

0

עד

L

⟨ W_{m} ⟩ = \frac{μ _{0}}{4} (K_{0}^{2} - K_{0} M_{0}) L h, ⟨ W_{e} ⟩ = \frac{ω ^{2} ϵ _{0} μ _{0}^{2}}{4} (K_{0}^{2} - 2 K_{0} M_{0} + M_{0}^{2}) h \frac{L ^{3}}{3}

ו. דרישה שהאנרגיה החשמלית זניחה ביחס למגנטית:

\frac{⟨ W _{e} ⟩}{⟨ W _{m} ⟩} ≪ 1 \Rightarrow \frac{1}{3} \frac{( K _{0}^{2} - 2 K _{0} M _{0} + M _{0}^{2} )}{( K _{0}^{2} - K _{0} M _{0} )} \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} L^{2} ≪ 1 \Rightarrow \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} L^{2} ≪ 1

ז. לא. בתדר DC ההתקן עדיין מקיים KCL (מסלול זרימה דרך מוליכים מושלמים ומקורות), ולכן המשטר נשאר MQS.

ח. תנאי השפה זהים לסעיף ג (

M

אינו משתתף בהם).

M

הקבוע בזמן אינו תורם לשינוי זמני באינדוקציה המגנטית, ולכן אינו תורם לשדה החשמלי:

H = - K_{0} \overset{y}{^}, E = j ω μ_{0} K_{0} (z - L) \overset{x}{^}

■

שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2019 - קוואזי-סטטיקה