שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2021 - גלים אלקטרומגנטיים

נתון חתך התקן אלקטרו-מגנטי במישור $xz$, בעל אורך $2L$ בציר $z$ ועובי $d$ בציר $x$. ההתקן מוזן ע"י $V(t)=V_0\cos(\omega t)$ ($V_0$ ממשי נתון). החומר מאופיין במקדמים יחסיים קבועים $\mu_r,\varepsilon_r$. ההתקן אינסופי בציר $y$ וצר מאוד בציר $x$ ($d\ll L$). המישורים $x=0$, $x=d$ ו-$z=L$ עשויים מוליך מושלם, המקור ב-$z=-L$. אין מקור חופשי ושדות מחוץ להתקן אפס. **סעיף א (2 נק'):** מהם כיווני השדות הא"מ בהתקן ובאילו קואורדינטות הם תלויים? **סעיף ב (3 נק'):** רשמו את תנאי השפה שעל פאזור השדה החשמלי לקיים. **סעיף ג (15 נק'):** מצאו את פאזור השדה החשמלי בתוך ההתקן, בצורה הפשוטה ביותר לאחר הצבת הקבועים. רמז: $2j\sin(az)=e^{jaz}-e^{-jaz}$. **סעיף ד (5 נק'):** מצאו את פאזור השדה המגנטי בתוך ההתקן. כעת נבחן את התנהגות ההתקן בגבול הקוואזי-סטטי. **סעיף ה (5 נק'):** מהו התנאי על המכפלה $kL$ לקיום הנחת הקוואזי-סטטיקה? **סעיף ו (10 נק'):** בעזרת התנאי מסעיף ה, בצעו קירוב טיילור מסדר ראשון לפאזורי השדה החשמלי והמגנטי, ורשמו אותם במפורש. **סעיף ז (10 נק'):** באיזה משטר קוואזי-סטטי נמצא ההתקן? ההסבר חייב להתייחס לתוצאות סעיף ו.

רמז: בין הדפנות המוליכות $\vec E=E(z)\hat x$ ומקיים משוואת גלים; תנאי השפה $E(z=L)=0$ (מוליך) ו-$E(z=-L)=-V_0/d$ (מקור) נותנים $E\propto\sin(k(L-z))/\sin(2kL)$. בגבול $kL\ll1$ השדה החשמלי נעשה לינארי ב-$z$ (לא אחיד כמו קבל) — סימן ל-MQS.

פתרון: **סעיף א:** מרציפות השדה המשיק בדפנות המוליכות ($E_{y,z}=0$ ב-$x=0,d$) וחוסר תלות ב-$x,y$ נובע $\vec E=E(z)\hat x$. מחוק פאראדיי / שיקולי כיוון ההספק, השדה המגנטי הוא $\vec H=H(z)(-\hat y)$ (הסימן יתקבל מהפתרון). השדות תלויים ב-$z$ בלבד. **סעיף ב:** תנאי השפה על המישורים $z=\pm L$: מהמקור $V_0=-\int_0^d E(z=-L)\,dx=-E(z=-L)\,d$, ולכן $E(z=-L)=-\frac{V_0}{d}$; ובמוליך $E(z=L)=0$. **סעיף ג:** משוואת הגלים $\frac{\partial^2 E}{\partial z^2}=-\frac{\omega^2}{c^2}\varepsilon_r\mu_r E$, פתרון $E(z)=Ae^{-jkz}+Be^{jkz}$ עם $k=\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}$. הצבת תנאי השפה נותנת $A=-\frac{V_0 e^{jkL}}{d\,2j\sin(2kL)}$, $B=\frac{V_0 e^{-jkL}}{d\,2j\sin(2kL)}$, ומכאן $$\vec E(z)=-\frac{V_0}{d}\frac{\sin(k(L-z))}{\sin(2kL)}\hat x.$$ **סעיף ד:** מחוק פאראדיי $\nabla\times\vec E=-j\omega\mu_0\mu_r\vec H$: $$\vec H(z)=\frac{-kV_0}{j\omega\mu_0\mu_r d}\frac{\cos(k(L-z))}{\sin(2kL)}\hat y.$$ **סעיף ה:** קוואזי-סטטיקה $\Leftrightarrow$ $\lambda\gg L$, כלומר $kL\ll 1$. **סעיף ו:** קירוב טיילור מסדר ראשון ($\sin(k(L-z))\approx k(L-z)$, $\sin(2kL)\approx 2kL$): $$E(z)\approx-\frac{V_0}{2d}\left(1-\frac{z}{L}\right),$$ והשדה המגנטי ($\cos\approx 1$): $$H\approx\frac{-V_0}{2j\omega\mu_0\mu_r dL}.$$ (תנאי השפה עדיין מתקיימים: $E(z=L)=0$, $E(z=-L)=-V_0/d$.) **סעיף ז:** בקוואזי-סטטיקה ללא הפסדים יש שתי אפשרויות: EQS או MQS. ב-EQS השדה הדומיננטי החשמלי צריך להתנהג כמו קבל לוחות פשוט (אחיד), אך מסעיף ו השדה החשמלי **תלוי ב-$z$** (לינארי) ואינו שדה קבל פשוט — ומכאן שמדובר ב-**MQS**. בדיקות שפיות בתדר DC: ניתן לסגור מעגל זרימה (הדפנות מקצרות ב-$z=L$), ו-KVL אינו מתקיים (מקור מתח מקוצר לעצמו) — שתיהן מובילות ל-MQS. $\blacksquare$