שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2019 - קיטוב

נתון כדור פרו-אלקטרי ברדיוס $R_1$ בעל וקטור צפיפות קיטוב $\vec P$, המוקף בקליפה כדורית מוארקת ברדיוס $R_2$. בכל המרחב (פרט לכדור הפרו-אלקטרי) המקדם הדיאלקטרי הוא $\epsilon_0$. **1.** באילו תנאים מקיים הפוטנציאל החשמלי הסקלרי את משוואת לפלס בכל המרחב? כעת נתון כי $\vec P=P_0\hat z$. **2.** מצאו את צפיפויות מטען הקיטוב הנפחית $\rho_P(\vec r)$ והמשטחית $\rho_{P,S}(\vec r)$ בכל המרחב. **3.** חשבו את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב. **4.** מהו המטען הכולל על הקליפה הכדורית המוארקת? **5.** בהינתן שפונקציית גרין של הבעיה ידועה, $G(\vec r|\vec r_s)$, רשמו את הביטוי עבור הפוטנציאל החשמלי עבור $r<R_2$ ע"י משפט גרין. ניתן להשתמש ב-$\rho_{tot}(\vec r)=\rho_P(\vec r)+\rho_{P,S}(\vec r)\delta(r-R_1)$ (אין צורך בפתרון האינטגרלים). עבור הסעיפים הבאים ניתן להניח שהפוטנציאל שחושב בסעיפים 3 ו-5 ידוע, $\phi_0(\vec r)$. כעת מפעילים על הקליפה מתח בעל אמפליטודה $V_0$ ותדר זוויתי $\omega$. **6.** מהו התנאי לשימוש בקירוב האלקטרו-קווזי-סטטי עבור $r<R_2$, ומהו התנאי עבור $r>R_2$? **7.** בהנחה שהתנאי בסעיף 6 מתקיים, מהו השדה החשמלי הכולל עבור $r<R_2$? (יש להתעלם מאיברים מסדרים גבוהים בקירוב הקווזי-סטטי.)

רמז: לפלס דורש $\nabla\cdot\vec P=0$; עם $\vec P=P_0\hat z$ יש רק מטען קיטוב משטחי $\rho_{P,S}=P_0\cos\theta$ ⇒ פתרון דיפולרי ($\propto r\cos\theta$ בפנים, $+\,r^{-2}\cos\theta$ בחוץ). המטען על הקליפה המוארקת אפס (תלות $\cos\theta$). בקירוב EQS השדה בתוך הקליפה שווה לשדה הסטטי $-\nabla\phi_0$ (המתח האחיד אינו תורם שדה).

פתרון: **1.** השדה משמר, $\vec E=-\nabla\phi$, ואין מטענים חופשיים ($\nabla\cdot\vec D=0$, $\vec D=\epsilon_0\vec E+\vec P$). מהצבה $\nabla^2\phi=\dfrac{\nabla\cdot\vec P}{\epsilon_0}$, ולכן משוואת לפלס דורשת $\nabla\cdot\vec P=0$. **2.** $\rho_P=-\nabla\cdot\vec P=0$. על השפה $r=R_1$: $\rho_{P,S}=\vec P\cdot\hat r=P_0\hat z\cdot\hat r=P_0\cos\theta$. **3.** פתרון דיפולרי לפי לפלס: $$\phi=\begin{cases}A_1r\cos\theta & r<R_1\\ A_2r\cos\theta+B_2r^{-2}\cos\theta & R_1<r<R_2\end{cases}$$ תנאי הקצה ($\phi(R_2)=0$; רציפות $\phi$ ב-$R_1$; קפיצת $D_r$ ב-$R_1$ שווה ל-$-P_0\cos\theta$) נותנים $$A_1=\dfrac{P_0}{3\epsilon_0}\!\left[1-\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3\right],\quad A_2=-\dfrac{P_0}{3\epsilon_0}\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3,\quad B_2=\dfrac{P_0R_1^3}{3\epsilon_0}$$ **4.** המטען הכולל על הקליפה המוארקת הוא **אפס**: לרכיב האנכי (ולכן לצפיפות המטען המושרית) יש תלות $\cos\theta$, ואינטגרל על פני הקליפה מתאפס. (שקול: המטען הכולל בבעיה אפס — אוסף דיפולים — ולכן מקליפה גאוסית עוטפת נובע שהמטען על הקליפה אפס.) **5.** ממשפט גרין, כאשר המקור היחיד הוא מטען הקיטוב המשטחי: $$\phi(\vec r)=\int_V G(\vec r|\vec r_s)\dfrac{\rho_{tot}(\vec r_s)}{\epsilon_0}\,dV_s=\int_{|\vec r_s|=R_1}G(\vec r|\vec r_s)\dfrac{\rho_{P,S}(\vec r_s)}{\epsilon_0}\,dA_s$$ **6.** עבור $r<R_2$ נדרש שאורך הגל יהיה גדול מגודל ההתקן: $\dfrac{2\pi c}{\omega}\gg R_2$, כלומר $\omega\ll\dfrac{c}{R_2}$. עבור $r>R_2$ משטר קווזי-סטטי אינו יכול להתקיים (המרחב אינסופי), אלא אם התדר זהותית אפס — המקרה הסטטי. **7.** בסופרפוזיציה של שתי בעיות: (א) הכדור הפרו-אלקטרי עם קליפה מוארקת — נותן $\phi_0(\vec r)$; (ב) קליפה מוליכה במתח $V_0\cos(\omega t)$ ללא פרו-אלקטריות — הפוטנציאל בתוכה אחיד ($V_0\cos(\omega t)$) והשדה בתוכה אפס. לכן $\vec E=-\nabla\phi_0$, כלומר השדה הקווזי-סטטי שווה לשדה הסטטי: $$\vec E=\begin{cases}-A_1\hat z & r<R_1\\[1mm] \big(-A_2\cos\theta+2B_2r^{-3}\cos\theta\big)\hat r+\big(A_2+B_2r^{-3}\big)\sin\theta\,\hat\theta & R_1<r<R_2\end{cases}$$ $\blacksquare$