שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2021 - קיטוב גלים

נתון חתך התקן אלקטרומגנטי הבנוי מחומר לא-איזוטרופי: עבור ציר $x$ מקדם דיאלקטרי יחסי $\varepsilon_{r,x}$ ומקדם מגנטי יחסי $\mu_{r,x}$, ועבור ציר $y$ מקדם דיאלקטרי יחסי $\varepsilon_{r,y}$ ומקדם מגנטי יחסי $\mu_{r,y}$ (כל המקדמים קבועים). החומר אינסופי ביחס ל-$x,y$ ואורכו בציר $z$ הוא $L$. אין מקורות חופשיים. גל א"מ מישורי המתקדם בכיוון $z$ בעל תדר $\omega$ ואמפליטודה ממשית $E_0$ פוגע בהתקן ב-$z=0$; הגל מקוטב לינארית בזווית $45^\circ$ ביחס לציר $x$. יש להתעלם מהחזרות (התקדמות ב-$+z$ בלבד). עבור סעיפים א–ד נתון $\mu_{r,x}=\mu_{r,y}=1$ ו-$L=\dfrac{\lambda}{8\left|\sqrt{\varepsilon_{r,x}}-\sqrt{\varepsilon_{r,y}}\right|}$, כאשר $\lambda$ הוא אורך הגל בריק. **סעיף א (2 נק'):** רשמו את הפאזור של השדה החשמלי באזור $z<0$. **סעיף ב (3 נק'):** מהו תנאי המעבר על מישור $z=0$ עבור הפאזור של השדה החשמלי? **סעיף ג (5 נק'):** מהו הפאזור של השדה החשמלי בתוך הגביש עבור $0<z\le L$? **סעיף ד (15 נק'):** רשמו את הפאזור של השדה החשמלי במישור היציאה $z=L$ בצורתו הפשוטה ביותר, והסבירו מהו סוג הקיטוב (לינארי, מעגלי או אליפטי). כעת ע"י שינוי $\mu_{r,x},\mu_{r,y}$ רוצים לקבל קיטוב מעגלי בלבד במוצא הגביש, כאשר אורך הגביש נותר ללא שינוי. **סעיף ה (10 נק'):** מהו הפאזור של השדה החשמלי בתוך הגביש עבור $\mu_{r,x},\mu_{r,y}$ כלליים? בסעיפים הבאים הניחו $\mu_{r,x}=\mu_{r,y}=\mu_r$. **סעיף ו (10 נק'):** מהו הערך המינימלי של $\mu_r$ שעבורו יתקבל קיטוב מעגלי במוצא הגביש? **סעיף ז (5 נק'):** מהם כל ערכי $\mu_r$ שעבורם יתקבל קיטוב מעגלי במוצא הגביש?

רמז: כל רכיב של השדה מתקדם עם מקדם השבירה שלו ($\sqrt{\varepsilon_r}$, ובמקרה הכללי $\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}$), כך שנצבר הפרש פאזה בין $\hat x$ ל-$\hat y$. סוג הקיטוב נקבע ע"י הפרש הפאזה במוצא; לקיטוב מעגלי דרוש $\pm\pi/2$ (מודולו $\pi$) בין רכיבים שווי-אמפליטודה.

פתרון: **סעיף א:** לפני ההתקן זהו גל מישורי בריק, מקוטב לינארית ב-$45^\circ$ ביחס ל-$x$ (כל רכיב באמפליטודה $E_0/\sqrt2$): $$\vec E(z)=\frac{E_0}{\sqrt2}\exp\!\left(-j\frac{\omega}{c}z\right)\hat x+\frac{E_0}{\sqrt2}\exp\!\left(-j\frac{\omega}{c}z\right)\hat y.$$ **סעיף ב:** השדה החשמלי משיק למישור $z=0$ ורציף, ולכן $$\vec E(z=0)=\frac{E_0}{\sqrt2}(\hat x+\hat y).$$ **סעיף ג:** פתרון שתי משוואות הגלים (כל רכיב "רואה" את $\varepsilon$ שלו) עם תנאי השפה מסעיף ב: $$\vec E(z)=\frac{E_0}{\sqrt2}\exp\!\left(-j\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_{r,x}}\,z\right)\hat x+\frac{E_0}{\sqrt2}\exp\!\left(-j\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_{r,y}}\,z\right)\hat y.$$ **סעיף ד:** מוציאים פאזה משותפת; הפרש הפאזה בין הרכיבים הוא $\frac{\omega}{c}L\left(\sqrt{\varepsilon_{r,x}}-\sqrt{\varepsilon_{r,y}}\right)=\pm\frac{\pi}{4}$ (לפי $L$ הנתון). מכאן $\hat x+e^{\pm j\pi/4}\hat y=\left(\hat x\pm\frac{1}{\sqrt2}j\hat y\right)+\frac{1}{\sqrt2}\hat y$, ולכן $$\vec E(z=L)=e^{-j\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_{r,x}}L}\left[\left(\frac{E_0}{\sqrt2}\hat x+\frac{E_0}{2}e^{\pm j\pi/2}\hat y\right)+\frac{E_0}{2}\hat y\right].$$ זוהי סופרפוזיציה של חלק אליפטי (הפרש פאזה $\pi/2$ עם אמפליטודות שונות) וחלק לינארי בכיוון $y$; סוג הקיטוב הכולל הוא **אליפטי** (אליפסה שציריה הראשיים אינם צירי $x,y$). $\blacksquare$ **סעיף ה:** עם מקדמים מגנטיים כלליים, מהמשוואות המצומדות (חוק פאראדיי + אמפר) רכיב $E_x$ מצומד ל-$\mu_{r,y}$ ורכיב $E_y$ ל-$\mu_{r,x}$: $$\vec E(z)=\frac{E_0}{\sqrt2}\exp\!\left(-j\frac{\omega}{c}\sqrt{\mu_{r,y}\varepsilon_{r,x}}\,z\right)\hat x+\frac{E_0}{\sqrt2}\exp\!\left(-j\frac{\omega}{c}\sqrt{\mu_{r,x}\varepsilon_{r,y}}\,z\right)\hat y.$$ **סעיף ו + ז:** לקיטוב מעגלי דרוש הפרש פאזה $\pm\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)$ בין הרכיבים (האמפליטודות כבר שוות). עם $\mu_{r,x}=\mu_{r,y}=\mu_r$ הפרש הפאזה הוא $\frac{\omega}{c}L\sqrt{\mu_r}\left(\sqrt{\varepsilon_{r,x}}-\sqrt{\varepsilon_{r,y}}\right)=\pm\frac{\pi\sqrt{\mu_r}}{4}$. השוואה: $$\pm\frac{\pi\sqrt{\mu_r}}{4}=\frac{\pi}{2}+n\pi\ \Rightarrow\ \sqrt{\mu_r}=2+4n\ \Rightarrow\ \boxed{\mu_r=(2+4n)^2,\quad n=0,1,2,\dots}$$ הערך המינימלי (סעיף ו) מתקבל ב-$n=0$: $\mu_r=4$. כל הערכים (סעיף ז): $\mu_r=(2+4n)^2$. $\blacksquare$