שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2017 - שיטת הדמויות

המרחב מחולק ע"י שני לוחות חצי-אינסופיים מוארקים בעלי מוליכות אינסופית: אחד במישור $x=0$ (עבור $y>0$) ואחד במישור $y=0$ (עבור $x>0$), הנפגשים בציר $z$. מטען נקודתי חיובי $q_0$ ממוקם ב-$(a,b,0)$ ($a,b>0$); המרחב ריק ($\epsilon=\epsilon_0$). **1.** מהו מיקום מטעני הדמות ומה ערכם? (הוסיפו שרטוט.) **2.** ציירו את קווי השדה בחתך רוחב (כולל כיוון). **3.** האם יש הצטברות מטען משמעותית בסביבת ראשית הצירים? אם כן, מה סימנה? **4.** מצאו את הפוטנציאל בכל המרחב. **5.** רשמו את פונקציית גרין לפילוגי מטען ברבע הימני-עליון. כעת מעבירים את המטען הנקודתי ל-$(x,y)=(-a,-b)$. **6.** ציירו את קווי השדה בחתך רוחב. **7.** האם יש הצטברות מטען משמעותית בסביבת הראשית? אם כן, מה סימנה? כעת, בנוסף למטען הנקודתי ב-$(a,b,0)$, ממוקם תיל אינסופי טעון בצפיפות אורכית $\lambda_0$, מקביל לציר $z$, החותך את מישור $XY$ ב-$(a,a)$. **8.** רשמו ביטוי לפוטנציאל ברבע הימני-עליון (השתמשו בפונקציית גרין מסעיף 5; ביטוי אינטגרלי ב-$dz$). כעת ממלאים את הרבע הימני-עליון בחומר $\epsilon_1$ ואת שאר המרחב ב-$\epsilon_2$. **9.** הסבירו איכותית כיצד תשתנה פונקציית גרין לפילוגי מטען ברבע הימני-עליון.

רמז: פינה מוארקת $90^\circ$ ⇒ 3 דמויות: $-q_0$ ב-$(-a,b)$ ו-$(a,-b)$, $+q_0$ ב-$(-a,-b)$; $\phi=0$ בשלושת הרבעים האחרים. פונקציית גרין = פוטנציאל מטען יחידה עם אותן דמויות. לתיל אינטגרל $\int G\,\lambda_0/\epsilon_0\,dz'$. עם דיאלקטריקים והלוחות קיימים — רק $\epsilon_0\to\epsilon_1$ במכנה, $G$ לא משתנה.

פתרון: **1.** פינה מוליכה מוארקת בזווית $90^\circ$ מצריכה **שלושה** מטעני דמות המאפסים את הפוטנציאל על שני הלוחות: $-q_0$ ב-$(-a,b)$, $-q_0$ ב-$(a,-b)$, ו-$+q_0$ ב-$(-a,-b)$. **2.** קווי שדה יוצאים מ-$q_0$ ומסתיימים על שני הלוחות המוארקים (סימטריים סביב הפינה). **3.** אין הצטברות מטען משמעותית בראשית: מטעמי סימטריה השדה בראשית מתאפס, ומחוק גאוס $\nabla\cdot\epsilon_0\vec E=\rho=0$ שם. **4.** בשלושת הרבעים האחרים $\phi\equiv0$; ברבע הימני-עליון: $$\phi(x{>}0,y{>}0)=\dfrac{q_0}{4\pi\epsilon_0}\!\left[\dfrac{1}{\sqrt{(x{-}a)^2{+}(y{-}b)^2{+}z^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{(x{+}a)^2{+}(y{+}b)^2{+}z^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{(x{+}a)^2{+}(y{-}b)^2{+}z^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{(x{-}a)^2{+}(y{+}b)^2{+}z^2}}\right]$$ **5.** $$G(\vec r|\vec r')=\dfrac{1}{4\pi}\!\left[\dfrac{1}{\sqrt{(x{-}x')^2{+}(y{-}y')^2{+}(z{-}z')^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{(x{+}x')^2{+}(y{+}y')^2{+}(z{-}z')^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{(x{+}x')^2{+}(y{-}y')^2{+}(z{-}z')^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{(x{-}x')^2{+}(y{+}y')^2{+}(z{-}z')^2}}\right]$$ **6.** קווי שדה סימטריים בכיוון ההפוך (המטען כעת ברבע השלישי). **7.** כן — כעת יש הצטברות **מטען שלילי** בסביבת הראשית (שוב מחוק גאוס: קווי שדה נכנסים לפינה). **8.** למטען מחוץ לרבע אין השפעה בתוכו. עם $\rho=\lambda_0\delta(x{-}a)\delta(y{-}a)$ ותרומת המטען הנקודתי מסעיף 4: $$\phi(x,y)=\dfrac{\lambda_0}{4\pi\epsilon_0}\!\int_{-\infty}^{\infty}\!\!\left[\dfrac{1}{\sqrt{(x{-}a)^2{+}(y{-}a)^2{+}(z{-}z')^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{(x{+}a)^2{+}(y{+}a)^2{+}(z{-}z')^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{(x{+}a)^2{+}(y{-}a)^2{+}(z{-}z')^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{(x{-}a)^2{+}(y{+}a)^2{+}(z{-}z')^2}}\right]dz'$$ **9.** מכיוון שהלוחות המוליכים עדיין קיימים, אין משמעות למקדם הדיאלקטרי שמחוץ לרבע הימני-עליון. השינוי בפוטנציאל מינורי — רק $\epsilon_0\to\epsilon_1$ במכנה; פונקציית גרין עצמה **אינה משתנה** (אינה מכילה בהגדרתה את $\epsilon$). $\blacksquare$