שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2016 - גלים אלקטרומגנטיים

התקן קואקסיאלי: גליל פנימי מלא ברדיוס חיצוני $a$, וגליל חיצוני (עובי הרבה גדול מעומק החדירה) ברדיוס פנימי $b$; מוליכות הגלילים $\sigma$. בין הגלילים חומר דיאלקטרי, וההתקן מקוצר בצד ימין ($z=0$) בקצר אידאלי. מקור מתח הרמוני בתדר $\omega$ בצד שמאל. שני מקטעי דיאלקטרי: $\epsilon_1$ ($-l_1<z<0$) ו-$\epsilon_2$ ($-l_1-l_2<z<-l_1$). **א.** בהנחת שדה מגנטי אזימוטלי בלבד, קבעו (ממשוואות מקסוול) את הכיוונים האפשריים של השדה החשמלי. מכאן ואילך נתון שהשדה המגנטי אזימוטלי והשדה החשמלי רדיאלי בלבד. **ב.** מהו התנאי ההכרחי על מוליכות האלקטרודות כדי שהשדות יהיו בכיוונים אלו? הסבירו במשוואות. **ג.** נתון שהשדות בעלי תלות $\dfrac{f_E(z)}{r}$ ו-$\dfrac{f_B(z)}{r}$. הוכיחו ש-$f_E(z),f_B(z)$ מקיימים את משוואת הגלים החד-ממדית, ומצאו את מרחב הפתרונות. **ד.** רשמו ביטויים לשדה החשמלי עבור $r<a$, $a<r<b$, ו-$r>b$ (אין צורך בקבועים המפורשים). **ה.** רשמו את המשוואות מהן מחשבים את הקבועים. **ו.** חשבו את $l_1$ ואת $l_2$ כך שכל מקטע יהווה רבע אורך גל. **ז.** קבעו האם השדה החשמלי משמר, והוכיחו. **ח.** מהו אימפדנס הגלים של ההתקן כפונקציה של $z$?

רמז: מ-$\nabla\times\vec H=j\omega\vec D$ ($\vec H\parallel\hat\phi$) ל-$E$ יכולים רכיב רדיאלי וצירי; $\sigma\to\infty$ מבטל את הצירי. עם $\vec E=f(z)/r\,\hat r$ מתקבל $f''+\omega^2\mu\epsilon f=0$ ⇒ $e^{\pm j\beta z}$. קצר ב-$z=0$ ⇒ $A=-B$; רבע-גל $l=\frac14\lambda$; $\eta=\sqrt{\mu/\epsilon_i}$ בכל מקטע.

פתרון: **א.** מחוק אמפר $\nabla\times\vec H=j\omega\vec D$ (אין מוליכות בדיאלקטרי). עם $\vec H=H_\phi\hat\phi$: $\nabla\times\vec H=-\dfrac{\partial H_\phi}{\partial z}\hat r+\dfrac1r\dfrac{\partial(rH_\phi)}{\partial r}\hat z$, ולכן לשדה החשמלי יכולים להיות **רכיב רדיאלי ורכיב צירי**. **ב.** התנאי הוא $\sigma\to\infty$. אם המוליכות סופית, קיים שדה חשמלי צירי בתוך האלקטרודות ($\vec J=\sigma\vec E$); שדה משיקי זה רציף על גבול אלקטרודה/דיאלקטרי, ולכן ייווצר רכיב צירי גם בדיאלקטרי. **ג.** $\nabla\times\nabla\times\vec E=-j\omega\mu\nabla\times\vec H=\omega^2\mu\epsilon\vec E$. עם $\vec E=\dfrac{f_E(z)}{r}\hat r$ מתקבל $-\dfrac{f_E''(z)}{r}\hat r=\omega^2\mu\epsilon\dfrac{f_E(z)}{r}\hat r$, כלומר $$f_E''(z)+\omega^2\mu\epsilon\,f_E(z)=0\ \Rightarrow\ f(z)=e^{\pm j\omega\sqrt{\mu\epsilon}\,z}$$ (או הפתרון הטריוויאלי $f\equiv0$). **ד.** $E_r=0$ עבור $r<a$ ו-$r>b$ (מוליכות אינסופית), ובין הגלילים ($a<r<b$): $$E_r=\begin{cases}\dfrac{A}{r}e^{-j\beta_1z}+\dfrac{B}{r}e^{j\beta_1z} & -l_1<z<0\\[2mm] \dfrac{C}{r}e^{-j\beta_2z}+\dfrac{D}{r}e^{j\beta_2z} & -l_1-l_2<z<-l_1\end{cases},\qquad \beta_{1,2}=\omega\sqrt{\mu\epsilon_{1,2}}.$$ **ה.** קצר ב-$z=0$ (שדה משיקי מתאפס): $A=-B$. רציפות השדה המשיקי ב-$z=-l_1$: $\dfrac{A}{r}e^{j\beta_1l_1}+\dfrac{B}{r}e^{-j\beta_1l_1}=\dfrac{C}{r}e^{j\beta_2l_1}+\dfrac{D}{r}e^{-j\beta_2l_1}$. רציפות השדה המגנטי המשיקי ב-$z=-l_1$ (מ-$\partial_zE_r=-j\omega\mu H_\phi$). והמקור: $V_{in}=-\displaystyle\int_b^a E_r\big|_{z=-l_1-l_2}dr$. **ו.** $l_{1,2}=\dfrac14\lambda_{1,2}=\dfrac14\dfrac{1}{\sqrt{\mu\epsilon_{1,2}}}\dfrac{1}{f}$. **ז.** השדה **אינו משמר** ($\nabla\times\vec E=-j\omega\mu\vec H\ne0$); אך במישורי $z=\text{const}$ מתקיים $\oint\vec E\cdot d\vec l=0$ (אין שטף מגנטי דרכם), כך שניתן להגדיר מתח על מישורים אלו. **ח.** אימפדנס הגלים: $\eta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\epsilon_1}}$ עבור $-l_1<z<0$, ו-$\eta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\epsilon_2}}$ עבור $-l_1-l_2<z<-l_1$. $\blacksquare$