שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2016 - משוואת לפלס

התקן אלקטרומגנטי בנוי מאלקטרודות מוליכות מושלמות בצורת חצי מעגל (רדיוס $a$) המונח על לוח אינסופי בכיווני $x$ ו-$-x$, אינסופי לאורך ציר $z$. הפוטנציאל: על קשת חצי המעגל $V=1$, על הלוח (ציר $x$) $V=0$. **עבור האזור הכלוא בין האלקטרודות (בתוך חצי המעגל):** **א.** רשמו את המשוואה הדיפרנציאלית שהפוטנציאל מקיים. **ב.** רשמו את תנאי השפה. **ג.** האם ניתן למצוא במפורש את הפוטנציאל בהפרדת משתנים? אם כן מצאו, אם לא הסבירו. **ד.** שרטטו איכותית קווים שווי-פוטנציאל. **ה.** האם הפוטנציאל יחיד? הסבירו. **עבור האזור מחוץ לאלקטרודות (מחוץ לחצי המעגל):** **ו.** רשמו את המשוואה הדיפרנציאלית. **ז.** רשמו את תנאי השפה. **ח.** האם ניתן למצוא במפורש בהפרדת משתנים? אם כן מצאו. **ט.** שרטטו איכותית קווים שווי-פוטנציאל. **י.** האם הפוטנציאל יחיד? הסבירו.

רמז: לפלס עם $\Phi=0$ על הקוטר ו-$\Phi=1$ על הקשת ⇒ המשכה אי-זוגית לגל ריבועי; פורייה נותן $\sum_{n\ \text{odd}}(r/a)^n\frac{4}{n\pi}\sin(n\phi)$ בפנים ו-$(a/r)^n$ בחוץ (עם $\Phi(\infty)=0$). היחידות מובטחת ממשפט היחידות של לפלס.

פתרון: **א.** $\nabla^2\Phi=0$ (לפלס). **ב.** $\Phi(x,0)=0$ (על הלוח, $\phi=0,\pi$), $\Phi(r=a)=1$ (על הקשת, $0<\phi<\pi$). **ג.** כן. משקפים את הבעיה למעגל שלם בהמשכה אי-זוגית: $\Phi(r=a,0<\phi<\pi)=1$ ו-$\Phi(r=a,\pi<\phi<2\pi)=-1$ (אות ריבועי אי-זוגי). מקדמי הקוסינוס מתאפסים, ופיתוח פורייה נותן $$u(r\le a)=\sum_{n=1,3,5,\dots}\!\left(\dfrac{r}{a}\right)^{n}\dfrac{4}{n\pi}\sin(n\phi)$$ **ד.** קווים שווי-פוטנציאל היוצאים מהלוח ($\phi=0,\pi$) ומתעקלים אל הקשת. **ה.** כן, הפוטנציאל יחיד — הוא מקיים את משוואת לפלס ותנאי שפה נתונים (משפט היחידות). **ו.** $\nabla^2\Phi=0$ (זהה לתחום הפנימי). **ז.** $\Phi(x,0)=0$, $\Phi(r=a)=1$, וגם $\Phi(r\to\infty)=0$. **ח.** כעת נבחרים החזקות הדועכות ($r^{-n}$): $$u(r\ge a)=\sum_{n=1,3,5,\dots}\!\left(\dfrac{a}{r}\right)^{n}\dfrac{4}{n\pi}\sin(n\phi)$$ **ט.** קווים שווי-פוטנציאל דיפולריים הדועכים באינסוף. **י.** כן, יחיד — מאותם נימוקים (לפלס + תנאי שפה, כולל ההתאפסות באינסוף). $\blacksquare$