שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2021 - דיאלקטריקים

נתונה תיבה העשויה מחומר פרואלקטרי עם פולריזציה קבועה במרחב (לא תלויה ב-$\vec r$) המכוונת בכיוון $y$: $\vec P_1=P_1\hat y$. התיבה אינסופית בכיוונים $x,z$ וגובהה (בציר $y$) הוא $L$ (בין $y=0$ ל-$y=L$). אין מטענים חופשיים, ומחוץ לחומר $\vec D(\vec r)=0$. **סעיף 1 (5 נק'):** מה השדה החשמלי $\vec E(\vec r)$ בתוך ההתקן? **סעיף 2 (4 נק'):** מהו $\rho_{P,s}$ על שפות התיבה $y=0$ ו-$y=L$? כעת מוסיפים תיבה נוספת (בין $y=L$ ל-$y=2L$) מחומר פרואלקטרי בעל פולריזציה המשתנה במרחב $\vec P_2(\vec r)=P_2 y^2\hat y$, אינסופית ב-$x,z$ וגובהה $L$. **סעיף 3 (8 נק'):** מהו $\rho_{P,s}$ במשטחים $y=0$, $y=L$ ו-$y=2L$? **סעיף 4 (5 נק'):** מה השדה החשמלי בכל אחת מהתיבות? **סעיף 5 (10 נק'):** האם ניתן למצוא $\phi_D(\vec r)$ כך שבכל המרחב $\vec D(\vec r)=-\nabla\phi_D(\vec r)$? אם לא, הסבירו מדוע; אם כן, הסבירו ומצאו את המשוואה שיש לפתור עבור $\phi_D(\vec r)$. בסעיפים הבאים התיבה הראשונה מוכנסת בין לוחות קבל המאלצים צפיפות מטען חופשי משטחית (חיובית על הלוח העליון, שלילית על התחתון): $\rho_s=\rho_{s,0}+\rho_{s,1}\cos\omega t$, כאשר $\omega$ נמוך דיו לקיום קוואזי-סטטיקה, והמקדם הדיאלקטרי היחסי של החומר הוא $1$. **סעיף 6 (8 נק'):** מהו השדה החשמלי הכולל $\vec E(\vec r,t)$ בתחום $0\le y\le L$? **סעיף 7 (10 נק'):** מהו סך צפיפות האנרגיה החשמלית הממוצעת בזמן $\langle w_E\rangle$ ב-$y=L/2$? הדרכה: התחילו בתחום הזמן ובצעו מיצוע מפורש.

רמז: מחוץ לחומר $\vec D=0$, ורציפות הרכיב הנורמלי של $\vec D$ יחד עם $\nabla\cdot\vec D=0$ נותנים $\vec D=0$ בכל תיבה, ומכאן $\vec E=-\vec P/\varepsilon_0$. מטען הקיטוב המשטחי הוא $\rho_{P,s}=\vec P\cdot\hat n$ (הפרש הרכיבים הנורמליים בממשק). לפוטנציאל של $\vec D$ מתקבלת משוואת לפלס.

פתרון: **סעיף 1:** הרכיב הנורמלי של $\vec D$ רציף ולכן שווה לאפס על שתי השפות; בנוסף $\nabla\cdot\vec D=\frac{\partial D_y}{\partial y}=0$ (אין מטענים חופשיים), ולכן $\vec D\equiv 0$ בכל התיבה. מ-$\vec D=\varepsilon_0\vec E+\vec P=0$: $$\vec E(\vec r)=-\frac{\vec P_1}{\varepsilon_0}=-\frac{P_1}{\varepsilon_0}\hat y.$$ **סעיף 2:** $\rho_{P,s}=\vec P\cdot\hat n$. על השפה העליונה ($y=L$, $\hat n=\hat y$): $\rho_{P,s}=P_1$; על השפה התחתונה ($y=0$, $\hat n=-\hat y$): $\rho_{P,s}=-P_1$. **סעיף 3:** בשפה התחתונה $y=0$: $\rho_{P,s}=-P_1$. בממשק $y=L$ (הפרש הרכיבים הנורמליים): $\rho_{P,s}=P_1-P_2 L^2$. בשפה העליונה $y=2L$: $\rho_{P,s}=P_2(2L)^2=4P_2 L^2$. **סעיף 4:** כמו בסעיף 1, בכל תיבה $\vec D=0$ ולכן $\vec E=-\frac{\vec P}{\varepsilon_0}$. בתיבה התחתונה $\vec E=-\frac{P_1}{\varepsilon_0}\hat y$, ובתיבה העליונה $\vec E=-\frac{P_2 y^2}{\varepsilon_0}\hat y$. **סעיף 5:** מכיוון ש-$\nabla\times\vec D=\varepsilon_0\nabla\times\vec E+\nabla\times\vec P=0$ (השדה $\vec E$ משמר, ו-$\vec P$ בעל רוטור אפס כאן), ניתן להגדיר פוטנציאל סקלרי $\vec D=-\nabla\phi_D$. הפעלת דיברגנץ נותנת $\nabla\cdot\vec D=-\nabla^2\phi_D=\rho_f=0$, כלומר יש לפתור את **משוואת לפלס** $$\nabla^2\phi_D(\vec r)=0.$$ **סעיף 6:** לפי סופרפוזיציה, לתרומת הקיטוב מתווספת תרומת מטעני הלוחות: $$\vec E(\vec r,t)=-\frac{P_1}{\varepsilon_0}\hat y-\frac{\rho_{s,0}+\rho_{s,1}\cos\omega t}{\varepsilon_0}\hat y,$$ ובהתאם $\vec D=\varepsilon_0\vec E+\vec P=-(\rho_{s,0}+\rho_{s,1}\cos\omega t)\hat y$. **סעיף 7:** נציב $w_E(t)=\frac12\vec E\cdot\vec D$ ונמצע על מחזור; במיצוע נשארים רק האיברים שאינם הרמוניים בזמן: $$\langle w_E\rangle=\frac{1}{\varepsilon_0}\left[\frac12\rho_{s,0}P_1+\frac12\rho_{s,0}^2+\frac14\rho_{s,1}^2\right].$$ $\blacksquare$