שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2016 - קוואזי-סטטיקה

חתך במישור $xz$ של התקן אלקטרומגנטי: אינסופי בכיוון $y$, וצר מאוד בכיוון $x$ ($\tfrac{h}{L}\ll1$, $\tfrac{L}{\lambda}\ll1$). האזור $0<z<L$, $0<x<h$ מלא בחומר בעל מוליכות סופית $\sigma$, מקדם דיאלקטרי $\epsilon_r$ וחדירות $\mu_0$, מוקף במוליכים מושלמים ב-$x=0$, $x=h$, $z=L$. במישור $z=0$ מקור זרם משטחי $\vec K(t)$ מפולג אחיד לאורך $y$ ומשתנה הרמונית. שדות אפס מחוץ להתקן; ניתוח בפאזורים. **א.** רשמו את תנאי השפה לשדה החשמלי והמגנטי. **ב.** רשמו את כיווני השדות (השונים מאפס). **ג.** קבעו את משטר העבודה עבור הפסדים נמוכים $\omega\epsilon\gg\sigma$. נמקו. **ד.** קבעו את משטר העבודה עבור הפסדים גבוהים $\omega\epsilon\ll\sigma$. בסעיפים הבאים הניחו הפסדים נמוכים. **ה.** חשבו את השדה הדומיננטי. **ו.** חשבו את השדה המשני. **ז.** הוכיחו את נכונות קביעת משטר העבודה. **ח.** חשבו את אימפדנס הכניסה ליחידת רוחב $W$.

רמז: מוליכים מושלמים ⇒ $\vec E=E_x\hat x$, מקור הזרם ⇒ $\vec H=H_y\hat y$. הפסדים נמוכים ⇒ MQS: $\vec H_{in}=-K_0\hat y$, $\vec E=j\omega\mu_0K_0(z-L)\hat x$ (עם $E_x(L)=0$). יחס האנרגיות $\sim(L/\lambda)^2\ll1$; $Z_{in}=j\omega\mu_0Lh/W$ = משרן.

פתרון: **א.** על המוליכים המושלמים השדה החשמלי המשיקי מתאפס: $E_x(z=L)=E_y(x=0,h)=E_z(x=0,h)=0$, וכן $H_z(z=L)=H_x(x=h,0)=0$. מהמקור ב-$z=0$: $K_0\hat z=\hat x\times(\vec H_2-\vec H_1)\Rightarrow H_y(z=0)=-K_0$. **ב.** מכיוון שאין תלות ב-$x$ והשדה המשיקי מתאפס על האלקטרודות: $\vec E=E_x\hat x$; ומכיוון שהרכיב הנורמלי של $\vec B$ מתאפס: $\vec H=H_y\hat y$. **ג.** **MQS** (בהפסדים נמוכים המערכת מתנהגת כמשרן; אין מסלול זרימה סגור בתדר DC). **ד.** בהפסדים גבוהים המשטר תלוי ביחס בין עומק החדירה $\delta=\sqrt{\dfrac{2}{\sigma\mu\omega}}$ לאורך ההתקן $L$: אם $\delta\gg L$ — זרימה סטציונרית; אם $\delta\ll L$ — אין משטר קווזי-סטטי. **ה.** מתנאי המקור $\hat x\times(0-\vec H_{in})=K_0\hat z$: $$\vec H_{in}=-K_0\hat y$$ **ו.** מ-$\nabla\times\vec E=-j\omega\mu_0\vec H_{in}$: $\dfrac{\partial E_x}{\partial z}=j\omega\mu_0K_0$, ועם $E_x(z=L)=0$: $$\vec E=j\omega\mu_0K_0(z-L)\hat x$$ **ז.** $\dfrac{\langle w_e\rangle}{\langle w_m\rangle}=\dfrac{\epsilon|E_x|^2}{\mu|H_y|^2}=\omega^2\mu\epsilon(z-L)^2=\!\left(2\pi\dfrac{z-L}{\lambda}\right)^2<\!\left(2\pi\dfrac{L}{\lambda}\right)^2\ll1$ — האנרגיה המגנטית דומיננטית ⇒ MQS. **ח.** $Z_{in}=\dfrac{-E_x(z=0)\,h}{K_0W}=\dfrac{j\omega\mu_0K_0Lh}{K_0W}=\dfrac{j\omega\mu_0Lh}{W}$ — **משרן** בהשראות $\dfrac{\mu_0Lh}{W}$. $\blacksquare$