שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2019

קורס: שדות אלקטרומגנטיים

אוניברסיטה: הטכניון

שנה: 2019

סמסטר: א

נושאים: קוואזי-סטטיקה, עומק חדירה, משוואת הגלים, מוליכים, שדה מגנטי, תנאי שפה, מקדם דיאלקטרי

רמת קושי: קשה

נתון התקן אינסופי בכיוון $\hat y$ בעל גובה $d$, תחום בין שתי לוחות בעלות מוליכות אינסופית. ההתקן מחולק לשני תחומים בכיוון $z$: התחום $-L_1<z<0$ מאופיין כריק ($\mu_0,\epsilon_0$), והתחום $0<z<L_2$ מאופיין גם ע"י מוליכות $\sigma$. העובי קטן מאוד ביחס לאורך ($d\ll L_{1,2}$). **א.** בעזרת הגיאומטריה ותנאי השפה, מהו כיוון השדה החשמלי ובאילו קואורדינטות הוא תלוי? בסעיפים ב'-ג' ההתקן מוזן ע"י מקור מתח קבוע בזמן במישור $z=0$: $V=V_0$. **ב.** מצאו את השדה החשמלי בכל אחד מהתחומים. **ג.** מהו אימפדנס הכניסה שרואה המקור $V_0$ ליחידת אורך בכיוון $\hat y$? מעתה ההתקן מוזן ע"י מקור מתח תלוי-תדר $V=V_0e^{j\omega t}$ במישור $z=0$. בנוסף, קיים מוליך מושלם ב-$z=-L_1$ (שאינו נוגע במוליכים ב-$x=0,d$). ניתן להזניח אפקטי קצוות. עבור $z<0$ (סעיפים ד'-ה) פאזור השדה מקיים $\nabla^2\vec E=-\dfrac{\omega^2}{c^2}\vec E$. **ד.** מהם תנאי השפה ב-$z=0$ וב-$z=-L_1$? **ה.** חשבו במפורש את השדה החשמלי והמגנטי (רמז: סכום של גל מתקדם וחוזר בציר $z$). עבור $z>0$ (סעיפים ו'-ח) פאזור השדה מקיים $\nabla^2\vec E=-j\omega\mu_0\sigma\vec E$, ובנוסף $L_2\gg\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu\sigma}}$. **ו.** הניחו צורת פתרון $\sum_i A_ie^{\lambda_iz}$. מהם ה-$\lambda_i$ האפשריים ואילו מהם פיזיקליים? **ז.** חשבו במפורש את השדה החשמלי והמגנטי בתחום זה. **ח.** האם הפתרון מסעיפים ו'-ז' מתאר משטר זרימה סטציונרי? אם לא, כיצד ישתנו הנתונים כדי שיהיה?

רמז: תנאי השפה על המוליכים המושלמים מאפסים $E_y,E_z$ ⇒ $\vec E=E_x(z)\hat x$. בתחום הריק פתרון גל עומד עם $k=\omega/c$ ותנאים $E_x(-L_1)=0$, $-dE_x(0)=V_0$. בתחום המוליך ($\delta\ll L_2$) רק הענף הדועך $e^{-(1-j)z/\delta}$ פיזיקלי; לזרימה סטציונרית נדרש $\delta\gg L_2$.

פתרון: **א.** מסימטריה $\partial_y=0$, ומ-$d\ll L_{1,2}$ נניח $\partial_x=0$, כך שהשדות תלויים רק ב-$z$. מתנאי השפה על השדה המשיקי ב-$x=0,d$: $\hat n\times(\vec E-0)=0\Rightarrow E_y=E_z=0$, ולכן $\vec E=E_x(z)\hat x$. **ב.** בשתי הקואורדינטות הנגזרות מתאפסות, ולכן $\phi$ ליניארי: $\phi=\dfrac{V_0}{d}x+C$, והשדה $E_x=-\dfrac{V_0}{d}$ בשני התחומים. **ג.** בתדר DC החלק השמאלי (ריק) הוא נתק, והחלק הימני (מוליך) הוא נגד. ליחידת אורך ב-$\hat y$ הזרם בחלק הימני $I=L_2\sigma|E_x|=L_2\sigma\dfrac{V_0}{d}$, ולכן $$Z_{in}=\dfrac{V_0}{I}=\dfrac{d}{L_2\sigma}$$ **ד.** ב-$z=0$: $-\displaystyle\int_0^dE_x(z=0)\,dx=-dE_x(0)=V_0$. ב-$z=-L_1$ (מוליך מושלם): $E_x(-L_1)=0$. **ה.** פתרון גלים $E_x(z)=Ae^{jkz}+Be^{-jkz}$, $k=\omega/c$. הצבת תנאי השפה נותנת $$E_x(z)=-\dfrac{V_0}{d\sin(kL_1)}\sin\!\big(k(z+L_1)\big)$$ $$\vec H=\dfrac{\nabla\times\vec E}{-j\omega\mu_0}=-j\dfrac{V_0}{\eta_0 d\sin(kL_1)}\cos\!\big(k(z+L_1)\big)\hat y$$ **ו.** הצבה: $\lambda^2=-j\omega\mu_0\sigma\Rightarrow\lambda_\pm=\pm(1-j)\sqrt{\dfrac{\omega\mu_0\sigma}{2}}=\pm\dfrac{1-j}{\delta}$, $\delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu_0\sigma}}$. כיוון שנדרשת דעיכה (ו-$L_2\gg\delta$ מונע גל חוזר), רק הפתרון עם הסימן השלילי פיזיקלי. **ז.** מהתנאי $E_x(z=0)=-\dfrac{V_0}{d}$: $$E_x(z)=-\dfrac{V_0}{d}e^{-\frac{1-j}{\delta}z},\qquad \vec H=\dfrac{\nabla\times\vec E}{-j\omega\mu_0}=\dfrac{1+j}{\omega\delta\mu_0}\dfrac{V_0}{d}e^{-\frac{1-j}{\delta}z}\hat y$$ **ח.** לא — זהו שילוב של מגנטו-קווזי-סטטי וזרימה סטציונרית. כדי לקבל זרימה סטציונרית טהורה יש לדרוש $L_2\ll\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu\sigma}}$ (כלומר $\delta\gg L_2$); אז $\nabla\times\vec E=0$ והמשוואה הופכת ל-$\nabla^2\vec E=0$. $\blacksquare$

נתון התקן אינסופי בכיוון

\overset{y}{^}

בעל גובה

d

, תחום בין שתי לוחות בעלות מוליכות אינסופית. ההתקן מחולק לשני תחומים בכיוון

z

: התחום

- L_{1} < z < 0

מאופיין כריק (

μ_{0}, ϵ_{0}

), והתחום

0 < z < L_{2}

מאופיין גם ע"י מוליכות

σ

. העובי קטן מאוד ביחס לאורך (

d ≪ L_{1, 2}

).

א. בעזרת הגיאומטריה ותנאי השפה, מהו כיוון השדה החשמלי ובאילו קואורדינטות הוא תלוי?

בסעיפים ב'-ג' ההתקן מוזן ע"י מקור מתח קבוע בזמן במישור

z = 0

V = V_{0}

.

ב. מצאו את השדה החשמלי בכל אחד מהתחומים.

ג. מהו אימפדנס הכניסה שרואה המקור

V_{0}

ליחידת אורך בכיוון

\overset{y}{^}

?

מעתה ההתקן מוזן ע"י מקור מתח תלוי-תדר

V = V_{0} e^{j ω t}

במישור

z = 0

. בנוסף, קיים מוליך מושלם ב-

z = - L_{1}

(שאינו נוגע במוליכים ב-

x = 0, d

). ניתן להזניח אפקטי קצוות.

עבור

z < 0

(סעיפים ד'-ה) פאזור השדה מקיים

\nabla^{2} E = - \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} E

.

ד. מהם תנאי השפה ב-

z = 0

וב-

z = - L_{1}

?

ה. חשבו במפורש את השדה החשמלי והמגנטי (רמז: סכום של גל מתקדם וחוזר בציר

z

).

עבור

z > 0

(סעיפים ו'-ח) פאזור השדה מקיים

\nabla^{2} E = - j ω μ_{0} σ E

, ובנוסף

L_{2} ≫ \frac{2}{ω μ σ}

.

ו. הניחו צורת פתרון

\sum_{i} A_{i} e^{λ_{i} z}

. מהם ה-

λ_{i}

האפשריים ואילו מהם פיזיקליים?

ז. חשבו במפורש את השדה החשמלי והמגנטי בתחום זה.

ח. האם הפתרון מסעיפים ו'-ז' מתאר משטר זרימה סטציונרי? אם לא, כיצד ישתנו הנתונים כדי שיהיה?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד ב · 2019 · סמסטר א

★★★★★

קוואזי-סטטיקהעומק חדירהמשוואת הגליםמוליכיםשדה מגנטיתנאי שפהמקדם דיאלקטרי

תנאי השפה על המוליכים המושלמים מאפסים

E_{y}, E_{z}

⇒

E = E_{x} (z) \overset{x}{^}

. בתחום הריק פתרון גל עומד עם

k = ω / c

ותנאים

E_{x} (- L_{1}) = 0

- d E_{x} (0) = V_{0}

. בתחום המוליך (

δ ≪ L_{2}

) רק הענף הדועך

e^{- (1 - j) z / δ}

פיזיקלי; לזרימה סטציונרית נדרש

δ ≫ L_{2}

א. מסימטריה

\partial_{y} = 0

, ומ-

d ≪ L_{1, 2}

נניח

\partial_{x} = 0

, כך שהשדות תלויים רק ב-

z

. מתנאי השפה על השדה המשיקי ב-

x = 0, d

\overset{n}{^} \times (E - 0) = 0 \Rightarrow E_{y} = E_{z} = 0

, ולכן

E = E_{x} (z) \overset{x}{^}

.

ב. בשתי הקואורדינטות הנגזרות מתאפסות, ולכן

ϕ

ליניארי:

ϕ = \frac{V _{0}}{d} x + C

, והשדה

E_{x} = - \frac{V _{0}}{d}

בשני התחומים.

ג. בתדר DC החלק השמאלי (ריק) הוא נתק, והחלק הימני (מוליך) הוא נגד. ליחידת אורך ב-

\overset{y}{^}

הזרם בחלק הימני

I = L_{2} σ ∣ E_{x} ∣ = L_{2} σ \frac{V _{0}}{d}

, ולכן

Z_{in} = \frac{V _{0}}{I} = \frac{d}{L _{2} σ}

ד. ב-

z = 0

- \int_{0}^{d} E_{x} (z = 0) d x = - d E_{x} (0) = V_{0}

. ב-

z = - L_{1}

(מוליך מושלם):

E_{x} (- L_{1}) = 0

.

ה. פתרון גלים

E_{x} (z) = A e^{j k z} + B e^{- j k z}

k = ω / c

. הצבת תנאי השפה נותנת

E_{x} (z) = - \frac{V _{0}}{d sin ( k L _{1} )} sin (k (z + L_{1}))

H = \frac{\nabla \times E}{- j ω μ _{0}} = - j \frac{V _{0}}{η _{0} d sin ( k L _{1} )} cos (k (z + L_{1})) \overset{y}{^}

ו. הצבה:

λ^{2} = - j ω μ_{0} σ \Rightarrow λ_{\pm} = \pm (1 - j) \frac{ω μ _{0} σ}{2} = \pm \frac{1 - j}{δ}

δ = \frac{2}{ω μ _{0} σ}

. כיוון שנדרשת דעיכה (ו-

L_{2} ≫ δ

מונע גל חוזר), רק הפתרון עם הסימן השלילי פיזיקלי.

ז. מהתנאי

E_{x} (z = 0) = - \frac{V _{0}}{d}

E_{x} (z) = - \frac{V _{0}}{d} e^{- \frac{1 - j}{δ} z}, H = \frac{\nabla \times E}{- j ω μ _{0}} = \frac{1 + j}{ω δ μ _{0}} \frac{V _{0}}{d} e^{- \frac{1 - j}{δ} z} \overset{y}{^}

ח. לא — זהו שילוב של מגנטו-קווזי-סטטי וזרימה סטציונרית. כדי לקבל זרימה סטציונרית טהורה יש לדרוש

L_{2} ≪ \frac{2}{ω μ σ}

(כלומר

δ ≫ L_{2}

); אז

\nabla \times E = 0

והמשוואה הופכת ל-

\nabla^{2} E = 0

■

שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2019 - קוואזי-סטטיקה