שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2020 - משוואת לפלס

נתונים שני לוחות ריבועיים בצלע $D$ מחומר מוליך מושלם: הלוח ב-$y=-b$ מוארק ($U=0$) והלוח ב-$y=a$ מוחזק בפוטנציאל קבוע $V$. על המישור $y=0$ שבין הלוחות מאולצת צפיפות מטען משטחית חופשית $\rho_s=\rho_0\sin(kx)$. ההתקן צר מאוד, $D\gg a+b$. כל הסעיפים בתחום שבין הלוחות. עבור סעיפים א,ב נתון $V=0$. **סעיף א (10 נק'):** רשמו את המשוואה הדיפרנציאלית ש-$U$ מקיים, ואת תנאי השפה והמעבר הרלוונטיים. **סעיף ב (15 נק'):** רשמו את הביטוי ל-$U$ בתוך ההתקן (בעזרת פונקציות היפרבוליות; אין צורך לחשב קבועים במפורש). עבור סעיף ג נתון $V=V_0$ (ועדיין מאולצת צפיפות מטען על $y=0$). **סעיף ג (5 נק'):** מהו $U$ בתוך ההתקן? עבור הסעיפים הבאים $V=\mathrm{Re}\{V_0 e^{j\omega t}\}$. **סעיף ד (5 נק'):** מהו התנאי על $\omega$ כדי לעבוד במשטר קוואזי-סטטי? איזה משטר? **סעיף ה (10 נק'):** בהנחת התנאי מסעיף ד, מצאו את השדה החשמלי $\vec E$ בתחום הזמן. **סעיף ו (5 נק'):** מהי צפיפות האנרגיה החשמלית הממוצעת בזמן $\langle w_e\rangle$ בתוך ההתקן?

רמז: בין הלוחות $U$ מקיים לפלס; הפתרון הוא $\sinh(k(y\mp\cdot))\sin(kx)$ בכל צד, כאשר הקבועים נקבעים מרציפות $U$ ב-$y=0$ ומקפיצת $D_y$ בגלל $\rho_s$. מתח $V$ מתווסף בסופרפוזיציה כשדה קבל אחיד. במשטר EQS המטענים תורמים ל-DC והמתח ל-AC, והאנרגיה הממוצעת מפרידה בין שתי התרומות.

פתרון: **סעיף א:** $U$ מקיים את **משוואת לפלס** $\nabla^2 U=0$ (אלקטרוסטטי, ללא מטען חופשי נפחי). תנאי שפה: $U(y=a)=0$, $U(y=-b)=0$. תנאי מעבר ב-$y=0$: רציפות $U$, וקפיצת $D_y$ מהמטען: $\rho_s=\rho_0\sin(kx)=E_y(0^+)-E_y(0^-)$ (בהנחת $\varepsilon_0$). **סעיף ב:** צורת הפתרון (הפרדת משתנים): $$U(x,y>0)=A\sinh(k(y-a))\sin(kx),\qquad U(x,y<0)=B\sinh(k(y+b))\sin(kx).$$ מרציפות ב-$y=0$ ומקפיצת $\rho_s$ מתקבל $$A=-\frac{\rho_0\sinh(kb)}{k\big(\cosh(ka)\sinh(kb)+\sinh(ka)\cosh(kb)\big)},\quad B=\frac{\rho_0\sinh(ka)}{k\big(\cosh(ka)\sinh(kb)+\sinh(ka)\cosh(kb)\big)}.$$ **סעיף ג:** בסופרפוזיציה של פתרון סעיף ב ($\Phi_a$) עם קבל לוחות במתח $V_0$ (ללא מטען): $$U=\Phi_a+\frac{V_0}{a+b}(y+b).$$ **סעיף ד:** דרוש $\frac{2\pi c}{\omega}\gg D$. המשטר הוא **EQS** (בתדר DC מתקיים KVL). **סעיף ה:** המטענים תורמים רק ל-DC; רכיב ה-AC הוא קבל לוחות פשוט במתח פאזורי $V_0$, ומטעמי סימטריה השדה בכיוון $\hat y$ וקבוע (התקן דק): $\vec E_{AC}=-\frac{V_0\cos(\omega t)}{a+b}\hat y$. בתוספת רכיב ה-DC מגזירת הפוטנציאל $\Phi_a$, עבור $y>0$: $$\vec E(y>0)=-\frac{V_0\cos(\omega t)}{a+b}\hat y-Ak\cosh(k(y-a))\sin(kx)\hat y+\cdots$$ ובאופן דומה עבור $y<0$ עם הקבוע $B$. **סעיף ו:** בממוצע על מחזור, תרומות DC ו-AD נפרדות: $\langle w_e\rangle=\frac{\varepsilon_0}{2}E_{DC}^2+\frac{\varepsilon_0}{4}|E_{AC}|^2$. עם $E_{AC}=\frac{V_0}{a+b}$ ורכיב ה-DC מהפתרון ההיפרבולי, מתקבל (עד כדי קבוע $\varepsilon_0/2$) לתחום $y>0$: $$\langle w_e\rangle\propto (Ak)^2\cosh^2(k(y-a))+\frac{V_0^2}{2(a+b)^2},$$ ובאופן דומה עם $B$ עבור $y<0$. $\blacksquare$