שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2016

קורס: שדות אלקטרומגנטיים

אוניברסיטה: הטכניון

שנה: 2016

סמסטר: ב

נושאים: משוואת פואסון, משוואת לפלס, פוטנציאל חשמלי, שדה חשמלי, מוליכים, חוק גאוס, דיאלקטריקים

רמת קושי: בינוני-קשה

גליל אינסופי בכיוון $z$, טעון בצפיפות מטען קבועה $\rho$ ובעל רדיוס $r_b$, נמצא במרכזו של צינור מתכת מוארק ברדיוס $r_p$. התחומים: (1) $r<r_b$; (2) $r_b<r<r_p$; (3) $r>r_p$. **א.** מהי המשוואה שהפוטנציאל מקיים בכל תחום? **ב.** מהם תנאי השפה? **ג.** פתרו את הפוטנציאל וסרטטו אותו. **ד.** מהו השדה החשמלי בכל תחום? סרטטו. **ה.** מהו פילוג המטען על צינור המתכת? **ו.** מהו סך כל המטען במרחב? **ז.** כיצד ישתנה הפוטנציאל אם נוסיף חומר דיאלקטרי $\epsilon_r$ בין האלומה לצינור? **ח.** כיצד ישתנה השדה החשמלי בתוך הגליל אם נגדיל את רדיוס הצינור פי 2? **ט.** כיצד ישתנה השדה החשמלי בתוך הגליל אם לא יהיה ממוקם במרכז הצינור?

רמז: פואסון בתוך האלומה, לפלס בין האלומה לצינור, $\phi=0$ מחוץ לצינור המוארק. תנאי שפה: $\phi(0)$ סופי, רציפות $\phi$ ו-$\partial_r\phi$ ב-$r_b$, $\phi(r_p)=0$. $\vec E_1=\rho r/2\epsilon_0$ (מחוק גאוס, לא תלוי ב-$r_p$), $\vec E_2=\rho r_b^2/2\epsilon_0 r$; מטען הצינור $-\rho r_b^2/2r_p$; סך המטען אפס.

פתרון: **א.** $\vec E=-\nabla\phi$; מסימטריה גלילית: $$\begin{cases}\dfrac1r\dfrac{d}{dr}\!\left(r\dfrac{d\phi_1}{dr}\right)=-\dfrac{\rho}{\epsilon_0} & r\le r_b\\[2mm] \dfrac1r\dfrac{d}{dr}\!\left(r\dfrac{d\phi_2}{dr}\right)=0 & r_b<r<r_p\\[1mm] \phi_3=0 & r>r_p\end{cases}$$ (פואסון בתוך האלומה, לפלס בין האלומה לצינור, ואפס מחוץ לצינור המוארק.) **ב.** $\phi_1(0)<\infty$; $\phi_1(r_b)=\phi_2(r_b)$; $\phi_2(r_p)=0$; $\dfrac{\partial\phi_1}{\partial r}(r_b)=\dfrac{\partial\phi_2}{\partial r}(r_b)$. **ג.** פתרונות: $\phi_1=-\dfrac{\rho}{4\epsilon_0}r^2+D\ln r+E$, $\phi_2=A\ln r+B$. תנאי השפה נותנים $D=0$, $A=-\dfrac{\rho r_b^2}{2\epsilon_0}$, $B=-A\ln r_p$, ולכן $$\phi=\dfrac{\rho r_b^2}{4\epsilon_0}\begin{cases}1-\dfrac{r^2}{r_b^2}+2\ln\dfrac{r_p}{r_b} & r\le r_b\\[2mm] 2\ln\dfrac{r_p}{r} & r_b<r\le r_p\end{cases}$$ (הפוטנציאל יורד רציף מהמרכז אל הצינור המוארק, עם שינוי שיפוע ב-$r_b$.) **ד.** $\vec E=-\nabla\phi$: $$\vec E_1=\dfrac{\rho r}{2\epsilon_0}\hat r\ (r<r_b),\qquad \vec E_2=\dfrac{\rho r_b^2}{2\epsilon_0 r}\hat r\ (r_b<r<r_p).$$ (עולה ליניארית בתוך האלומה, ואז דועך כ-$1/r$; קפיצה ברציפות ב-$r_b$.) **ה.** $\rho_s(r_p)=\epsilon_0\dfrac{\partial\phi_2}{\partial r}\Big|_{r_p}=-\dfrac{\rho r_b^2}{2r_p}$ (מטען מנוגד על הדופן הפנימית). **ו.** סך המטען במרחב הוא **אפס** (הצינור המוארק מושך מטען המבטל את מטען האלומה). **ז.** רק תנאי המעבר ב-$r_b$ משתנה ל-$\dfrac{\partial\phi_1}{\partial r}(r_b)=\epsilon_r\dfrac{\partial\phi_2}{\partial r}(r_b)$ (רציפות $D_r$), ובהתאם משתנה הפוטנציאל בתחום 2. **ח.** לא משתנה: $\vec E_1$ בתוך הגליל נקבע מחוק גאוס ותלוי רק ב-$\rho$ ו-$r$, לא ברדיוס הצינור. **ט.** משתנה — אבדן הסימטריה הגלילית שובר את התלות הרדיאלית הפשוטה. $\blacksquare$

גליל אינסופי בכיוון

z

, טעון בצפיפות מטען קבועה

ρ

ובעל רדיוס

r_{b}

, נמצא במרכזו של צינור מתכת מוארק ברדיוס

r_{p}

. התחומים: (1)

r < r_{b}

; (2)

r_{b} < r < r_{p}

; (3)

r > r_{p}

.

א. מהי המשוואה שהפוטנציאל מקיים בכל תחום?

ב. מהם תנאי השפה?

ג. פתרו את הפוטנציאל וסרטטו אותו.

ד. מהו השדה החשמלי בכל תחום? סרטטו.

ה. מהו פילוג המטען על צינור המתכת?

ו. מהו סך כל המטען במרחב?

ז. כיצד ישתנה הפוטנציאל אם נוסיף חומר דיאלקטרי

ϵ_{r}

בין האלומה לצינור?

ח. כיצד ישתנה השדה החשמלי בתוך הגליל אם נגדיל את רדיוס הצינור פי 2?

ט. כיצד ישתנה השדה החשמלי בתוך הגליל אם לא יהיה ממוקם במרכז הצינור?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד ב, חלק 1 · 2016 · סמסטר ב

★★★★★

משוואת פואסוןמשוואת לפלספוטנציאל חשמלישדה חשמלימוליכיםחוק גאוסדיאלקטריקים

פואסון בתוך האלומה, לפלס בין האלומה לצינור,

ϕ = 0

מחוץ לצינור המוארק. תנאי שפה:

ϕ (0)

סופי, רציפות

ϕ

ו-

\partial_{r} ϕ

ב-

r_{b}

ϕ (r_{p}) = 0

E_{1} = ρ r /2 ϵ_{0}

(מחוק גאוס, לא תלוי ב-

r_{p}

E_{2} = ρ r_{b}^{2} /2 ϵ_{0} r

; מטען הצינור

- ρ r_{b}^{2} /2 r_{p}

; סך המטען אפס.

א.

E = - \nabla ϕ

; מסימטריה גלילית:

⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{r} \frac{d}{d r} (r \frac{d ϕ _{1}}{d r}) = - \frac{ρ}{ϵ _{0}} \frac{1}{r} \frac{d}{d r} (r \frac{d ϕ _{2}}{d r}) = 0 ϕ_{3} = 0 r \leq r_{b} r_{b} < r < r_{p} r > r_{p}

(פואסון בתוך האלומה, לפלס בין האלומה לצינור, ואפס מחוץ לצינור המוארק.)

ב.

ϕ_{1} (0) < \infty

;

ϕ_{1} (r_{b}) = ϕ_{2} (r_{b})

;

ϕ_{2} (r_{p}) = 0

;

\frac{\partial ϕ _{1}}{\partial r} (r_{b}) = \frac{\partial ϕ _{2}}{\partial r} (r_{b})

.

ג. פתרונות:

ϕ_{1} = - \frac{ρ}{4 ϵ _{0}} r^{2} + D ln r + E

ϕ_{2} = A ln r + B

. תנאי השפה נותנים

D = 0

A = - \frac{ρ r _{b}^{2}}{2 ϵ _{0}}

B = - A ln r_{p}

, ולכן

ϕ = \frac{ρ r _{b}^{2}}{4 ϵ _{0}} ⎩ ⎨ ⎧ 1 - \frac{r ^{2}}{r _{b}^{2}} + 2 ln \frac{r _{p}}{r _{b}} 2 ln \frac{r _{p}}{r} r \leq r_{b} r_{b} < r \leq r_{p}

(הפוטנציאל יורד רציף מהמרכז אל הצינור המוארק, עם שינוי שיפוע ב-

r_{b}

.)

ד.

E = - \nabla ϕ

E_{1} = \frac{ρ r}{2 ϵ _{0}} \overset{r}{^} (r < r_{b}), E_{2} = \frac{ρ r _{b}^{2}}{2 ϵ _{0} r} \overset{r}{^} (r_{b} < r < r_{p}) .

(עולה ליניארית בתוך האלומה, ואז דועך כ-

1/ r

; קפיצה ברציפות ב-

r_{b}

.)

ה.

ρ_{s} (r_{p}) = ϵ_{0} \frac{\partial ϕ _{2}}{\partial r}_{r_{p}} = - \frac{ρ r _{b}^{2}}{2 r _{p}}

(מטען מנוגד על הדופן הפנימית).

ו. סך המטען במרחב הוא אפס (הצינור המוארק מושך מטען המבטל את מטען האלומה).

ז. רק תנאי המעבר ב-

r_{b}

משתנה ל-

\frac{\partial ϕ _{1}}{\partial r} (r_{b}) = ϵ_{r} \frac{\partial ϕ _{2}}{\partial r} (r_{b})

(רציפות

D_{r}

), ובהתאם משתנה הפוטנציאל בתחום 2.

ח. לא משתנה:

E_{1}

בתוך הגליל נקבע מחוק גאוס ותלוי רק ב-

ρ

ו-

r

, לא ברדיוס הצינור.

ט. משתנה — אבדן הסימטריה הגלילית שובר את התלות הרדיאלית הפשוטה.

■

שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2016 - משוואת פואסון