שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2017 - שיטת הדמויות

המרחב מחולק לארבעה רבעים. במישור $x=0$ (בלבד) לוח אינסופי ממוליך מושלם מוארק. הרבעים הראשון ($x>0,y>0$) והשלישי ($x<0,y<0$) מאופיינים ב-$\epsilon_1=\epsilon_0\epsilon_{r,1}$; הרבעים השני ($x<0,y>0$) והרביעי ($x>0,y<0$) ב-$\epsilon_2=\epsilon_0\epsilon_{r,2}$. **א.** מצאו את הפוטנציאל בכל המרחב מנוכחות מטען נקודתי $q$ ב-$\vec r_q=\vec r_1=(a,b,0)$ ($a,b>0$). שרטטו את מיקום מטעני הדמות בכל שלב. **ב.** מצאו את הפוטנציאל בכל המרחב ממטען $q$ ב-$\vec r_q=\vec r_4=(a,-b,0)$ (היעזרו בסימטריה). **ג.** מצאו את פונקציית גרין לפילוגי מטען בחצי המרחב הימני, מחולקת ל-5 מקרים ($G_1{:}\ x_s>0,y_s>0$; $G_2{:}\ y_s>0,y<0$; $G_3{:}\ y_s<0,y>0$; $G_4{:}\ y_s<0,y<0$; $G_5{:}\ x<0$). **ד.** קובייה בעלת צלע $L$ ממוקמת ברביע הראשון (קדקוד בראשית), טעונה בצפיפות אחידה $\rho=q/L^3$. מצאו את הפוטנציאל בכל המרחב (ביטוי אינטגרלי, אין צורך לפתור). **ה.** דרגו את הפוטנציאלים בנקודות $p_1,\dots,p_6$ עבור 6 התצורות הנתונות (מטען $\rho_0>0$, לוח מוארק/לא, ומקדם דיאלקטרי).

רמז: הלוח המוארק ⇒ $\phi(x<0)=0$; בונים דמויות ראי דרך $x=0$ ודמויות דיאלקטריות דרך $y=0$ עם $q'=q\frac{\epsilon_1-\epsilon_2}{\epsilon_1+\epsilon_2}$, $q''=\frac{2q\epsilon_2}{\epsilon_1+\epsilon_2}$. פונקציית גרין = פוטנציאל של מטען יחידה עם אותן דמויות; הפוטנציאל של הקובייה = אינטגרל $\int G\rho/\epsilon\,dV$.

פתרון: **א.** בחצי המרחב השמאלי ($x<0$) הפוטנציאל אפס זהותית (הלוח המוארק). בחצי הימני מציבים מטעני דמות: כדי לבטל את הלוח — מטענים בראי דרך $x=0$; וכדי להתאים את המעבר הדיאלקטרי ב-$y=0$ — מטענים נוספים. עם $\vec r_2=(-a,b,0)$, $\vec r_3=(-a,-b,0)$, $\vec r_4=(a,-b,0)$: $$\phi(x>0,y>0)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_1}\!\left(\dfrac{q}{|\vec r-\vec r_1|}-\dfrac{q}{|\vec r-\vec r_2|}+\dfrac{q'}{|\vec r-\vec r_4|}-\dfrac{q'}{|\vec r-\vec r_3|}\right)$$ $$\phi(x>0,y<0)=\dfrac{q''}{4\pi\epsilon_2}\!\left(\dfrac{1}{|\vec r-\vec r_1|}-\dfrac{1}{|\vec r-\vec r_2|}\right)$$ מרציפות $\phi$ ו-$D_y$ ב-$y=0$: $\;q'=q\dfrac{\epsilon_1-\epsilon_2}{\epsilon_1+\epsilon_2}$, $\;q''=2q\dfrac{\epsilon_2}{\epsilon_1+\epsilon_2}$. **ב.** מסימטריה (מטען ברביע הרביעי, בתחום $\epsilon_2$): מחליפים $\epsilon_1\leftrightarrow\epsilon_2$ ומשקפים: $$\phi(x>0,y<0)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_2}\!\left(\dfrac{q}{|\vec r-\vec r_4|}-\dfrac{q}{|\vec r-\vec r_3|}+\dfrac{q'}{|\vec r-\vec r_1|}-\dfrac{q'}{|\vec r-\vec r_2|}\right),$$ $$\phi(x>0,y>0)=\dfrac{q''}{4\pi\epsilon_1}\!\left(\dfrac{1}{|\vec r-\vec r_4|}-\dfrac{1}{|\vec r-\vec r_3|}\right),\qquad q'=q\dfrac{\epsilon_2-\epsilon_1}{\epsilon_1+\epsilon_2},\ q''=2q\dfrac{\epsilon_1}{\epsilon_1+\epsilon_2}.$$ **ג.** פונקציית גרין (מקור בחצי הימני) עם $|\vec r-\vec r'|=[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2]^{1/2}$; לדוגמה למקור ולנקודת שדה שניהם ברביע הראשון: $$G_1=\dfrac{1}{4\pi}\!\left[\dfrac{1}{|\vec r-\vec r'|}-\dfrac{1}{|\vec r-\vec r'_{x\to-x'}|}+\dfrac{\epsilon_1-\epsilon_2}{\epsilon_1+\epsilon_2}\!\left(\dfrac{1}{|\vec r-\vec r'_{y\to-y'}|}-\dfrac{1}{|\vec r-\vec r'_{x,y\to-x',-y'}|}\right)\right]$$ $$G_2=\dfrac{1}{4\pi}\dfrac{2\epsilon_2}{\epsilon_1+\epsilon_2}\!\left(\dfrac{1}{|\vec r-\vec r'|}-\dfrac{1}{|\vec r-\vec r'_{x\to-x'}|}\right),\quad G_3=\dfrac{1}{4\pi}\dfrac{2\epsilon_1}{\epsilon_1+\epsilon_2}\!\left(\dfrac{1}{|\vec r-\vec r'|}-\dfrac{1}{|\vec r-\vec r'_{x\to-x'}|}\right),$$ ו-$G_4$ באנלוגיה ל-$G_1$ (עם $\tfrac{\epsilon_2-\epsilon_1}{\epsilon_1+\epsilon_2}$), ו-$G_5=0$ (חצי המרחב השמאלי). **ד.** $\phi(\vec r)=\displaystyle\int_V G(\vec r|\vec r_s)\dfrac{\rho(\vec r_s)}{\epsilon}dV_s$, כלומר $$\phi(x>0,y>0)=\dfrac{q}{\epsilon_1L^3}\int_0^L\!\!\int_0^L\!\!\int_0^L G_1\,dx'\,dy'\,dz',\quad \phi(x>0,y<0)=\dfrac{q}{\epsilon_2L^3}\int_0^L\!\!\int_0^L\!\!\int_0^L G_3\,dx'dy'dz',$$ ו-$\phi(x<0)=0$. **ה.** הדירוג: $V_2>V_1=V_4=V_5=V_6>V_3$. $\blacksquare$