שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2018 - קוואזי-סטטיקה

התקן מורכב משני גלילים קונצנטריים ברדיוסים $R_1;R_2$ ואורכם $d$. בתחום $r<R_1$ חומר בעל מוליכות $\sigma_1$, בתחום $R_1<r<R_2$ חומר מבודד ($\mu_0,\epsilon_0$), ובבסיסי הגלילים ($z=0,d$) המוליכות אינסופית. דרך שפת הגליל החיצוני מזינים זרם משטחי $$\vec K(t)=K_1\cos(\omega t)\hat z+K_2\cos(2\omega t)\hat z.$$ נתון $d\ll R_2$, $\sigma_1\to\infty$. הניחו סימטריה אזימוטלית, שדות אפס מחוץ להתקן, שדה מגנטי אזימוטלי בלבד, שדה חשמלי בכיוון $\hat z$ בלבד, והזנחת אפקטי קצוות. **1.** באילו תנאים מתקיים בהתקן משטר קווזי-סטטי? **2.** בהנחה שהתנאים בסעיף 1 מתקיימים, באיזה משטר קווזי-סטטי נמצא ההתקן? הסבירו. **3.** חשבו את השדות החשמלי והמגנטי בהתקן (עם תלות זמנית). **4.** מהו הערך הממוצע בזמן של וקטור פוינטינג? **5.** מהי צפיפות המטען המשטחית על פני כל אחת מהפלטות לכל זמן $t$? **6.** מהי צפיפות הזרם המשטחית על פני בסיסי הגלילים לכל זמן $t$? בשני הסעיפים הבאים נתון $K_2=0$. **7.** מהו אימפדנס הכניסה שרואה מקור הזרם כפונקציה של התדר, ומהו המעגל המקובץ המתאים? **8.** כעת $\sigma_1$ סופי. מהם התנאים על $\sigma_1$ כדי שהמשטר מסעיף 2 עדיין יתקיים?

רמז: חוק אמפר נותן $\vec H=-\frac{R_2}{r}K(t)\hat\phi$; פאראדיי עם $E_z(R_1)=0$ נותן $\vec E\propto\ln(r/R_1)\,\partial_tK(t)\,\hat z$. $\vec E$ ($\sin$) ו-$\vec H$ ($\cos$) בקוודרטורה ⇒ פוינטינג ממוצע אפס. ההתקן השראותי, $L=\frac{\mu_0 d}{2\pi}\ln(R_2/R_1)$; לשמירת המשטר עם $\sigma_1$ סופי דרוש עומק חדירה $\ll R_1$.

פתרון: **1.** נדרש שאורך הגל יהיה גדול בהרבה מגודל ההתקן, עבור ההרמוניה הגבוהה ביותר ($2\omega$): $\lambda_{\min}=\dfrac{2\pi c}{2\omega}\gg R_2$, כלומר $\omega\ll\dfrac{\pi c}{R_2}$ (שקול ל-$2\omega\,R_2/c\ll1$). **2.** **מגנטו-קווזי-סטטי (MQS)**: אין הפסדים במבודד ובמוליכים המושלמים, וקיים מסלול זרימה סגור בתדר DC (דרך הדופן החיצונית, הפלטות והגליל הפנימי). בתדר נמוך השדה המגנטי דומיננטי. **3.** מחוק אמפר על לולאה מעגלית ברדיוס $r$ (הזרם החוצה הוא זרם הגליל הפנימי, המחזיר את זרם הדופן $I=2\pi R_2K(t)$): $$2\pi rH_\phi=-2\pi R_2K(t)\ \Rightarrow\ \vec H=-\dfrac{R_2}{r}\big[K_1\cos(\omega t)+K_2\cos(2\omega t)\big]\hat\phi$$ מחוק פאראדיי $\nabla\times\vec E=-\mu_0\partial_t\vec H$ עם $\vec E=E_z(r,t)\hat z$ ותנאי $E_z(R_1)=0$: $$-\dfrac{\partial E_z}{\partial r}=-\mu_0\partial_tH_\phi\ \Rightarrow\ \vec E=\mu_0\omega R_2\ln\!\left(\dfrac{r}{R_1}\right)\!\big[K_1\sin(\omega t)+2K_2\sin(2\omega t)\big]\hat z$$ **4.** $\vec S=\vec E\times\vec H$ עם $\vec E\parallel\hat z$, $\vec H\parallel\hat\phi$ ($\hat z\times\hat\phi=-\hat r$). $E_z\propto\sin(\omega t),\sin(2\omega t)$ ואילו $H_\phi\propto\cos(\omega t),\cos(2\omega t)$ — כולם באורתוגונליות זמנית, ולכן $$\langle\vec S\rangle=\vec 0$$ (אין זרימת הספק ממוצעת — המערכת אל-הפסדית והאנרגיה מתחלפת בין מגנטית לחשמלית). **5.** על הפלטות ($z=0,d$; הנורמל $\hat z$) צפיפות המטען היא $\rho_s=\epsilon_0\vec E\cdot\hat n$: $$\rho_s(z=0)=\epsilon_0E_z=\dfrac{\omega R_2}{c^2}\ln\!\left(\dfrac{r}{R_1}\right)\!\big[K_1\sin(\omega t)+2K_2\sin(2\omega t)\big],\qquad \rho_s(z=d)=-\rho_s(z=0)$$ **6.** על בסיסי הגלילים $\vec J_s=\hat n\times\vec H$ (עם $\hat n=\pm\hat z$, ו-$\hat z\times\hat\phi=-\hat r$): $$\vec J_s(z=0)=\dfrac{R_2}{r}\big[K_1\cos(\omega t)+K_2\cos(2\omega t)\big]\hat r,\qquad \vec J_s(z=d)=-\vec J_s(z=0)$$ (זרמים רדיאליים על הפלטות, בכיוונים מנוגדים, המחזירים את זרם הדופן). **7.** עם $K_2=0$ הזרם הכולל $I=2\pi R_2K_1$ (פאזור). השטף המגנטי המקושר הוא $\Phi=\displaystyle\int_0^d\!\!\int_{R_1}^{R_2}\!\mu_0|H_\phi|\,dr\,dz=\mu_0dK_1R_2\ln\!\left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)$, ולכן ההשראות $$L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 d}{2\pi}\ln\!\left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)$$ בקירוב MQS ההתקן **השראותי**: $Z_{in}=j\omega L$. הכללת זרם ההיסט (המטען על הפלטות) מוסיפה קיבול $C=\dfrac{2\pi\epsilon_0 d}{\ln(R_2/R_1)}$, כך שהמעגל המקובץ הוא $L$ **במקביל** ל-$C$: $$Z_{in}=\dfrac{j\omega L}{1-\omega^2LC},\qquad LC=\dfrac{d^2}{c^2}$$ (תהודה ב-$\omega=c/d$; ב-MQS $\omega\ll c/d$ והרכיב הדומיננטי הוא ההשראות). **8.** עבור $\sigma_1$ סופי, כדי שהגליל הפנימי ימשיך להתנהג כמוליך טוב (המבטל את חדירת השדה ומחזיר את הזרם על פני השטח) נדרש שעומק החדירה יהיה קטן בהרבה מ-$R_1$. התנאי המחמיר ביותר הוא בתדר הנמוך $\omega$ (עומק חדירה גדול יותר): $$\delta_1=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu_0\sigma_1}}\ll R_1\ \Rightarrow\ \sigma_1\gg\dfrac{2}{\omega\mu_0R_1^2}$$ $\blacksquare$