שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2020 - קיטוב

נתון גליל פרואלקטרי (ferroelectric), אינסופי ביחס לציר $z$ ובעל רדיוס $R$, עם וקטור צפיפות קיטוב $\vec P(\vec r)=P_0\hat y$ ($P_0$ קבוע נתון). מרכז הגליל בראשית, המרחב מחוצה לו חופשי, והפוטנציאלים אינם מתבדרים באינסוף. **א.** מהי צפיפות מטען הקיטוב המשטחי $\rho_{sp}$ על פני הגליל? **ב.** מצאו את הפוטנציאל החשמלי הסקלרי $U$ בכל המרחב. **ג.** מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב. לסעיפים ד–ו: נוסף מישור אינסופי מוארק, ממוליך מושלם, במרחק $D$ ממרכז הגליל בציר $x$. **ד.** מהו הפוטנציאל החשמלי הסקלרי בכל המרחב? (רמז: קואורדינטות קרטזיות.) **ה.** מהי צפיפות המטען המשטחי החופשי $\rho_{s,\text{free}}$ על פני המישור המוארק? **ו.** מהי צפיפות מטען הקיטוב המשטחית $\rho_{sp}$ על פני הגליל? כעת וקטור צפיפות הקיטוב משתנה הרמונית בזמן, $\vec P(t)=P_0\cos(\omega t)\hat y$, בהנחת משטר קווזי-סטטי בתוך הגליל, ושדה מגנטי בכיוון $\hat z$ המתאפס בראשית. **ז.** קבעו איזה סוג משטר קווזי-סטטי מתקיים בתוך הגליל, ונמקו. **ח.** חשבו את השדות $\vec E(\vec r,t)$ ו-$\vec H(\vec r,t)$ בתוך הגליל.

רמז: צפיפות הקיטוב המשטחי $\rho_{sp}=\vec P\cdot\hat r=P_0\sin\theta$ מזינה בעיית לפלס דיפולרית — פוטנציאל $\propto r\sin\theta$ בפנים ו-$\propto \sin\theta/r$ בחוץ. מול הלוח המוארק השתמשו בשיטת הדמויות (גליל הפוך במרחק $2D$); לשדה המגנטי נצלו $\nabla\times\vec H=\partial_t(\varepsilon_0\vec E+\vec P)$.

פתרון: **א.** $\rho_{sp}=\vec P\cdot\hat r=P_0\hat y\cdot\hat r=P_0\sin\theta$. **ב.** הפוטנציאל מקיים את משוואת לפלס עם תנאי המעבר $$\varepsilon_0\!\left(\dfrac{\partial U_{in}}{\partial r}-\dfrac{\partial U_{out}}{\partial r}\right)\!\bigg|_{r=R}=P_0\sin\theta,\qquad (U_{in}-U_{out})\big|_{r=R}=0$$ בבחירת $U_{in}=A\,r\sin\theta$ ו-$U_{out}=B\,r^{-1}\sin\theta$ (הפתרונות הרגולריים/דועכים היחידים בעלי סימטריה דיפולרית) מתקבל $$U_{in}=\dfrac{P_0}{2\varepsilon_0}\,r\sin\theta=\dfrac{P_0}{2\varepsilon_0}\,y,\qquad U_{out}=\dfrac{P_0R^2}{2\varepsilon_0}\dfrac{\sin\theta}{r}=\dfrac{P_0R^2}{2\varepsilon_0}\dfrac{y}{r^2}$$ **ג.** $\vec E=-\nabla U$. בפנים מתקבל שדה **אחיד**: $$\vec E_{in}=-\dfrac{P_0}{2\varepsilon_0}\big(\sin\theta\,\hat r+\cos\theta\,\hat\theta\big)=-\dfrac{P_0}{2\varepsilon_0}\hat y$$ ומחוץ לגליל **שדה דיפול**: $$\vec E_{out}=\dfrac{P_0R^2}{2\varepsilon_0 r^2}\big(\sin\theta\,\hat r-\cos\theta\,\hat\theta\big)$$ **ד.** בשיטת הדמויות מוסיפים גליל דמות עם קיטוב הפוך בצד השני של הלוח, במרחק $2D$. משמאל ללוח $$U_{in}=\dfrac{P_0}{2\varepsilon_0}\,y-\dfrac{P_0R^2}{2\varepsilon_0\big[(x-2D)^2+y^2\big]}\,y,$$ $$U_{out}=\dfrac{P_0R^2}{2\varepsilon_0(x^2+y^2)}\,y-\dfrac{P_0R^2}{2\varepsilon_0\big[(x-2D)^2+y^2\big]}\,y,$$ ומימין ללוח הפוטנציאל מתאפס. **ה.** $\rho_{s,\text{free}}=-2\varepsilon_0\,\vec E_{out}\cdot\hat x\big|_{x=D}$ (הפקטור $2$ מגיע מתרומת גליל הדמות; משתמשים בשדה מסעיף ג עם שתי תרומות): $$\rho_{s,\text{free}}=-\dfrac{2P_0R^2}{(D^2+y^2)^2}\,D y$$ **ו.** אין שינוי לעומת סעיף א: $\rho_{sp}=P_0\sin\theta$. **ז.** מתקיים משטר **אלקטרו-קווזי-סטטי (EQS)**: בגבול $\omega\to0$ מתקבלת אלקטרוסטטיקה. **ח.** השדה החשמלי כמו בסעיף ג עם התלות בזמן: $$\vec E_{in}=-\dfrac{P_0\cos(\omega t)}{2\varepsilon_0}\,\hat y$$ עבור השדה המגנטי משתמשים ב-$\nabla\times\vec H=\dfrac{\partial}{\partial t}\big(\varepsilon_0\vec E_{in}+\vec P\big)=\dfrac{P_0}{2}\dfrac{\partial}{\partial t}\cos(\omega t)\,\hat y=-\dfrac{\omega P_0}{2}\sin(\omega t)\,\hat y$. עם $\vec H=H_z(\vec r,t)\hat z$ המתאפס בראשית מתקבל $$H_z=\dfrac{\omega r P_0}{2}\sin(\omega t)\cos\theta$$ $\blacksquare$