שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2019 - גלים אלקטרומגנטיים

נתון חתך התקן אלקטרו-מגנטי במישור $xz$. הדפנות ב-$x=0$ וב-$x=h$ עשויות מוליך מושלם, והחומר בתוך ההתקן מאופיין ע"י $\epsilon_r,\sigma,\mu_0$. הנחות: ההתקן אינסופי בכיוון $z$ ו-$y$; $\dfrac{\partial}{\partial x}=0$ עבור השדות בתוך ההתקן; שדות אפס מחוצה לו. עבור סעיפים א–ד נתון בהתקן שדה חשמלי מהצורה $\vec E(z)=(E_x\hat x+E_y\hat y+E_z\hat z)e^{-jkz}$, כאשר $E_x,E_y,E_z$ קבועים ממשיים כלשהם. **א.** בהנחה $|\vec E(z=0)|=E_0$, חשבו את $E_x,E_y,E_z$. מה כיוון השדה המגנטי בתוך ההתקן? **ב.** מצאו את הביטוי לשדה המגנטי כפונקציה של $k$ ו-$E_0$. **ג.** בעזרת משוואות מקסוול פתחו את משוואת הגלים ובטאו את $k$ כפונקציה של $\omega,\sigma,\epsilon_r$. (רמז: $\nabla\times\nabla\times\vec A=\nabla(\nabla\cdot\vec A)-\nabla^2\vec A$.) **ד.** תחת הנחת הפסדים נמוכים ($\sigma\ll\omega\epsilon_0$) ניתן לרשום $\vec E(z)=(E_x\hat x+E_y\hat y+E_z\hat z)e^{-Az}e^{-jBz}$. מצאו את $A$ ו-$B$ (השתמשו ב-$(1+ax)^n\approx1+nax$ עבור $|ax|\ll1$; ללא פיתוח לא יינתן ניקוד). כעת נתון $\sigma=0,\ \epsilon_r=1$ בתוך ההתקן, וההנחה $\partial_x=0$ אינה תקפה יותר. נסתכל על גל שהשדה החשמלי בו מהצורה $\vec E(x,z)=E_0\hat y\sin(\beta x)e^{-jk_zz}$. **ה.** מה כיוון ההתקדמות של הגל בתוך ההתקן? **ו.** מצאו את הערכים האפשריים עבור הפרמטר $\beta$. **ז.** האם קיים ערך מקסימלי עבור $\beta$? אם כן מצאו אותו, אם לא הסבירו מדוע. (אין צורך בפתרון מפורש של משוואה דיפרנציאלית.)

רמז: רציפות השדה המשיקי על $x=0,h$ עם $\partial_x=0$ מאפסת את $E_y,E_z$, כך ש-$\vec E=E_0\hat x e^{-jkz}$ ו-$\vec H\parallel\hat y$. גזירת משוואות מקסוול נותנת $k=\pm\frac{\omega}{c}\sqrt{\epsilon_r-j\sigma/\omega\epsilon_0}$. לגל $\sin(\beta x)$ תנאי השפה נותן $\beta=\pi m/h$, ויחס הדיספרסיה מגביל $m$ עד $k_z\to0$.

פתרון: **א.** מרציפות השדה החשמלי המשיקי על $x=0,h$: $E_y(x=0)=E_z(x=0)=0$ ו-$E_y(x=h)=E_z(x=h)=0$. מההנחה $\partial_x=0$ נובע $E_y=E_z=0$ בכל ההתקן. עם $|\vec E(z=0)|=E_0$ מתקבל $E_x=E_0$. מכיוון שמדובר בגל מישורי ($\vec E,\vec H,\vec k$ שלשה ימנית ניצבת), השדה המגנטי בכיוון $\hat y$: $\vec H=H(z)\hat y$. **ב.** מחוק פאראדיי $\nabla\times\vec E=-j\omega\mu_0\vec H$, עם $\vec E=E_0\hat x e^{-jkz}$: $$\dfrac{\partial E_x}{\partial z}=-j\omega\mu_0H_y\ \Rightarrow\ kE_0e^{-jkz}=\omega\mu_0H_y\ \Rightarrow\ \vec H=\dfrac{k}{\omega\mu_0}E_0\hat y e^{-jkz}$$ **ג.** משוואות מקסוול בהתקן: $\nabla\times\vec E=-j\omega\mu_0\vec H$ ו-$\nabla\times\vec H=(j\omega\epsilon_0\epsilon_r+\sigma)\vec E$. גזירה נוספת נותנת $$\dfrac{\partial^2E_x}{\partial z^2}=j\omega\mu_0(j\omega\epsilon_0\epsilon_r+\sigma)E_x=-\dfrac{\omega^2}{c^2}\!\left(\epsilon_r-j\dfrac{\sigma}{\omega\epsilon_0}\right)E_x=-k^2E_x$$ ולכן $k=\pm\dfrac{\omega}{c}\sqrt{\epsilon_r-j\dfrac{\sigma}{\omega\epsilon_0}}$. **ד.** פיתוח טיילור בהנחת הפסדים נמוכים: $$k=\dfrac{\omega}{c}\sqrt{\epsilon_r}\sqrt{1-j\dfrac{\sigma}{\omega\epsilon_0\epsilon_r}}\approx\dfrac{\omega}{c}\sqrt{\epsilon_r}\!\left(1-j\dfrac{\sigma}{2\omega\epsilon_0\epsilon_r}\right)$$ הצבה ב-$e^{-jkz}$ נותנת $e^{-Az}e^{-jBz}$ עם $$A=\dfrac{\sigma}{2c\epsilon_0\sqrt{\epsilon_r}},\qquad B=\dfrac{\omega}{c}\sqrt{\epsilon_r}$$ **ה.** כיוון ההתקדמות הוא $+\hat z$; בכיוון $\hat x$ יש **גל עומד** (אינו מתקדם). **ו.** הערכים נקבעים מתנאי השפה על השדה המשיקי: $E_y(x=0)=E_y(x=h)=0$, כלומר $\sin(\beta h)=0$, ולכן $$\beta=\dfrac{\pi m}{h},\qquad m\in\mathbb{Z}$$ **ז.** כן. פתרון למשוואת הגלים חייב לקיים את יחס הדיספרסיה $k_x^2+k_y^2+k_z^2=\dfrac{\omega^2}{c^2}$ (כעת $\sigma=0,\epsilon_r=1$, כל ה-$k$-ים ממשיים). עם $\beta=\pi m/h$: $$\left(\dfrac{\pi m}{h}\right)^2+k_z^2=\dfrac{\omega^2}{c^2}$$ ככל ש-$m$ גדל $k_z$ קטן; במקרה הקצה $k_z\to0$ מתקבל הערך המקסימלי $$m_{\max}=\left\lfloor\dfrac{\omega h}{\pi c}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{2h}{\lambda}\right\rfloor\ \Rightarrow\ \beta_{\max}=\dfrac{\pi m_{\max}}{h}$$ הצבת $m$ גדול יותר מפירה את משוואת הגלים. $\blacksquare$