שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2020 - פוטנציאל וקטורי

נתון חתך התקן אלקטרו-מגנטי במישור $xz$, אינסופי בכיוון $z$ ובכיוון $y$. הכיול הוא כיול לורנץ $\nabla\cdot\vec A=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial U}{\partial t}$ ($\vec A$ פוטנציאל מגנטי וקטורי, $U$ פוטנציאל חשמלי סקלרי). המרחב בפנים חסר מקורות. על $x=0$ מאולץ $U=U_0\cos(\omega t)$ ועל $x=d$ מאולץ $U=0$. כל הסעיפים בתחום $0\le x\le d$. **סעיף א (3 נק'):** רשמו את המשוואה הדיפרנציאלית ש-$U$ מקיים בתוך ההתקן (רק לרשום את סוג המשוואה). **סעיף ב (5 נק'):** באילו קואורדינטות מרחביות $U$ יכול להיות תלוי? נמקו. **סעיף ג (5 נק'):** רשמו את המשוואה מסעיף א באופן מפורש (הציבו את מסקנות סעיף ב). **סעיף ד (3 נק'):** העבירו לרישום פאזורי עבור $\tilde U$ ורשמו את תנאי השפה. כעת נתון $d=\frac{\lambda}{4}$, כאשר $\lambda$ אורך הגל המתאים לתדר $\omega$. **סעיף ה (10 נק'):** פתרו את המשוואה עבור $\tilde U$ ורשמו את $U(x,t)$ בתחום הזמן. **סעיף ו (10 נק'):** האם קיימים עוד ערכי $d$ שעבורם נקבל את אותו ביטוי בדיוק? אם כן מצאו אותם, אחרת הסבירו מדוע לא. כעת נתון $\vec A(x,t)=\frac{1}{c}U_0\sin\!\left(\frac{\omega}{c}x\right)\sin(\omega t)\,\hat x$. **סעיף ז (9 נק'):** חשבו את האינדוקציה המגנטית $\vec B$ ואת השדה החשמלי $\vec E$ בתחום הזמן. **סעיף ח (5 נק'):** הסבירו את התוצאה של סעיף ז (הסבר מילולי, ללא חזרה על החישוב).

רמז: בכיול לורנץ, בתווך חסר מקורות, $U$ מקיים משוואת גלים ($\partial_x^2 U=c^{-2}\partial_t^2 U$) עם תלות ב-$x$ בלבד. עבור $d=\lambda/4$ מתקבל $U=U_0\cos(\omega x/c)\cos(\omega t)$. $\vec B=\nabla\times\vec A=0$ (וקטור $\hat x$ התלוי ב-$x$ בלבד), ו-$\vec E=-\partial_t\vec A-\nabla U=0$ מהתאבכות הורסת בין שני גלי הפוטנציאל.

פתרון: **סעיף א:** תחת כיול לורנץ ובתווך חסר מקורות, $U$ מקיים את **משוואת הגלים** $\nabla^2 U=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}$ (עם $c=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$). **סעיף ב:** ההתקן אינסופי ואחיד ב-$y,z$, ותנאי השפה תלויים רק ב-$x$; לכן $\frac{\partial}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial z}=0$ ו-$U$ תלוי ב-$x$ בלבד (בהפרדת משתנים, תלות ב-$y$ או $z$ הייתה חייבת להישמר לכל $x$ — בסתירה לתנאי השפה). **סעיף ג:** $\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}=\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 U}{\partial t^2}$. **סעיף ד:** ברישום פאזורי $\dfrac{\partial^2\tilde U}{\partial x^2}=-\dfrac{\omega^2}{c^2}\tilde U$, עם $\tilde U(x=0)=U_0$, $\tilde U(x=d)=0$. **סעיף ה:** $\tilde U(x)=A e^{-j\frac{\omega}{c}x}+B e^{j\frac{\omega}{c}x}$. תנאי השפה: $A+B=U_0$ ו-$\tilde U(\lambda/4)=jA-jB=0\Rightarrow A=B=\frac{U_0}{2}$ (כי $e^{\pm j\frac{\omega}{c}\frac{\lambda}{4}}=e^{\pm j\pi/2}=\pm j$). לכן $\tilde U(x)=U_0\cos\!\left(\frac{\omega}{c}x\right)$, ובתחום הזמן $$U(x,t)=U_0\cos\!\left(\frac{\omega}{c}x\right)\cos(\omega t).$$ **סעיף ו:** מתנאי השפה ב-$x=d$ דרוש $e^{\pm j\frac{\omega}{c}d}=\pm j$, כלומר $\frac{2\pi}{\lambda}d=\frac{\pi}{2}+\pi n$, ומכאן $d=\frac{\lambda}{4}(2n+1)$, $n$ שלם — כל כפולה אי-זוגית של רבע אורך הגל נותנת את אותו ביטוי. **סעיף ז:** $\vec B=\nabla\times\vec A=0$, שכן $\vec A$ בכיוון $\hat x$ בלבד ותלוי ב-$x$ בלבד. עבור השדה החשמלי: $$\vec E=-\frac{\partial\vec A}{\partial t}-\nabla U=-\frac{\omega}{c}U_0\sin\!\left(\tfrac{\omega}{c}x\right)\cos(\omega t)\hat x+\frac{\omega}{c}U_0\sin\!\left(\tfrac{\omega}{c}x\right)\cos(\omega t)\hat x=0.$$ **סעיף ח:** $\vec B=0$ כי רוטור של שדה וקטורי בכיוון $\hat x$ התלוי ב-$x$ בלבד הוא תמיד אפס. $\vec E=0$ כי כל הגדלים הרמוניים בזמן והמערכת לינארית — התרומות של $-\partial_t\vec A$ ושל $-\nabla U$ (שני גלי פוטנציאל) מתאבכות באופן הורס ומבטלות זו את זו בכל נקודה ובכל זמן. $\blacksquare$