שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2019 - גלים אלקטרומגנטיים

נתונים שני תווכים בעלי ממשק במישור $z=0$: התחום $z>0$ מאופיין ע"י מוליכות $\sigma$ ופרמיטיביות יחסית $\epsilon_r$ (ממשיים וחיוביים), והתחום $z<0$ מאופיין כמו ריק. **1.** רשמו את משוואות מקסוול בתחום $z>0$. השאירו בביטויים הסופיים רק את השדות $\vec E,\vec H$ ואת הגדלים המאפיינים של החומר. **2.** פתחו את משוואת הגלים לשדה החשמלי בתחום $z>0$ (השתמשו ב-$\nabla\times\nabla\times\vec A=\nabla(\nabla\cdot\vec A)-\nabla^2\vec A$). כעת נתון גל מישורי בתדר $\omega$ ואמפליטודה $E_0$, המתקדם מ-$z=-\infty$ לכיוון $\hat z$ ומתואר ע"י הפאזור $\vec E_0=E_0\hat y\,e^{-j\frac{\omega}{c}z}$. הגל פוגע במשטח $z=0$ ויוצר גל חוזר וגל עובר, שהביטויים הכלליים עבורם הם: $$\vec E_r=E_r\hat y\,e^{j\frac{\omega}{c}z},\qquad \vec E_t=E_t\hat y\,e^{-j\frac{\omega}{c}\sqrt{\epsilon_r-\frac{j\sigma}{\omega\epsilon_0}}\,z}$$ **3.** מהם השדות המגנטיים במרחב? ניתן לבטא בעזרת $E_r,E_t$ מבלי למוצאם מפורשות. **4.** רשמו במפורש את תנאי הקפיצה לשדות החשמליים והמגנטיים במישור $z=0$. **5.** מהו מקדם ההחזרה לאמפליטודה $r=E_r/E_0$ כפונקציה של $\omega,\epsilon_0,\epsilon_r,\sigma$ בלבד? **6.** אילו שינויים יש לבצע ל-$\sigma$ ול-$\epsilon_r$ כדי למקסם את $|r|$? מעתה נתון $\epsilon_r\gg\dfrac{\sigma}{\omega\epsilon_0}$, ואמפליטודת השדה העובר $E_t$ נתונה. **7.** כתבו ביטוי מפורש בזמן ובמקום לשדה החשמלי העובר $\vec E_t(\vec r,t)$ (השתמשו בקירוב $(1+x)^n\cong1+nx$ עבור $|x|\ll1$). **8.** חשבו את וקטור פוינטינג בתחום $z>0$ והסבירו את משמעות החלק הממשי והמדומה.

רמז: בחומר $\nabla\times\vec H=(j\omega\epsilon_0\epsilon_r+\sigma)\vec E$ נותן $k=\frac{\omega}{c}\sqrt{\epsilon_r-j\sigma/\omega\epsilon_0}$. לגל מישורי $\vec H=\hat k\times\vec E/\eta$; רציפות $E,H$ המשיקיים ב-$z=0$ נותנת $r=\frac{1-\sqrt{\epsilon_r-j\sigma/\omega\epsilon_0}}{1+\sqrt{\cdots}}$. בהפסדים נמוכים פתחו את השורש בטיילור לקבלת דעיכה $e^{-\sigma z/(2c\epsilon_0\sqrt{\epsilon_r})}$.

פתרון: **1.** בתחום $z>0$ (עם $\vec B=\mu_0\vec H$, $\vec D=\epsilon_0\epsilon_r\vec E$, $\vec J=\sigma\vec E$, וצפיפות מטען אפס בחומר הומוגני): $$\nabla\times\vec E=-j\omega\mu_0\vec H,\quad \nabla\times\vec H=(j\omega\epsilon_0\epsilon_r+\sigma)\vec E,\quad \nabla\cdot\vec H=0,\quad \nabla\cdot\vec E=0$$ **2.** רוטור על המשוואה הראשונה והצבת השנייה, עם $\nabla\cdot\vec E=0$: $$\nabla^2\vec E=-\dfrac{\omega^2}{c^2}\!\left(\epsilon_r-\dfrac{j\sigma}{\omega\epsilon_0}\right)\vec E=-k^2\vec E$$ **3.** מ-$\vec H=\dfrac{\nabla\times\vec E}{-j\omega\mu_0}$ עבור כל גל בנפרד (עם $\eta_0=\sqrt{\mu_0/\epsilon_0}$): $$\vec H_0=-\dfrac{E_0}{\eta_0}e^{-j\frac{\omega}{c}z}\hat x,\quad \vec H_r=\dfrac{E_r}{\eta_0}e^{j\frac{\omega}{c}z}\hat x,\quad \vec H_t=-\sqrt{\epsilon_r-\dfrac{j\sigma}{\omega\epsilon_0}}\,\dfrac{E_t}{\eta_0}e^{-j\frac{\omega}{c}\sqrt{\epsilon_r-\frac{j\sigma}{\omega\epsilon_0}}\,z}\hat x$$ **4.** רציפות השדות המשיקיים ב-$z=0$ (ללא זרמים משטחיים): $$E_0+E_r=E_t,\qquad H_0+H_r=H_t$$ **5.** הצבת (4): $E_0(1+r)=E_t$ ו-$\dfrac{E_0}{\eta_0}(1-r)=\sqrt{\epsilon_r-\frac{j\sigma}{\omega\epsilon_0}}\,\dfrac{E_0(1+r)}{\eta_0}$, ומכאן $$r=\dfrac{1-\sqrt{\epsilon_r-\frac{j\sigma}{\omega\epsilon_0}}}{1+\sqrt{\epsilon_r-\frac{j\sigma}{\omega\epsilon_0}}}$$ **6.** ניתן להגיע ל-$|r|=1$ בכמה דרכים: (א) $\sigma\to0$ וגם $\epsilon_r\to0$; (ב) $\sigma\to\infty$; (ג) $\epsilon_r\to\infty$. **7.** בקירוב הפסדים נמוכים $k_t=\dfrac{\omega}{c}\sqrt{\epsilon_r-\frac{j\sigma}{\omega\epsilon_0}}\approx\dfrac{\omega}{c}\sqrt{\epsilon_r}-j\dfrac{\sigma}{2c\epsilon_0\sqrt{\epsilon_r}}$, ולכן $$\vec E_t(\vec r,t)=\left[\mathrm{Re}\{E_t\}\cos\!\left(\omega t-\tfrac{\omega}{c}\sqrt{\epsilon_r}\,z\right)-\mathrm{Im}\{E_t\}\sin\!\left(\omega t-\tfrac{\omega}{c}\sqrt{\epsilon_r}\,z\right)\right]e^{-\frac{\sigma}{2c\epsilon_0\sqrt{\epsilon_r}}z}\hat y$$ **8.** $\vec S=\tfrac12\vec E_t\times\vec H_t^*=\dfrac{|E_t|^2}{2\eta_0}\!\left(\sqrt{\epsilon_r}+j\dfrac{\sigma}{2\sqrt{\epsilon_r}\,\omega\epsilon_0}\right)e^{-\frac{\sigma}{c\epsilon_0\sqrt{\epsilon_r}}z}\hat z$. החלק הממשי מתאר את התקדמות ההספק הפעיל, הדועך תוך כדי ההתקדמות; החלק המדומה מתאר את ההספק הריאקטיבי הקשור להפסדים במערכת (בגבול $\sigma\to\infty$ הפוינטינג הופך מדומה טהור). $\blacksquare$