שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2018 - קיטוב

נתון גליל פרו-אלקטרי אינסופי בכיוון $\hat z$ עם מומנט דיפול סגולי $\vec P(\vec r)$, בעל רדיוס $R$, המצוי בוואקום. **1.** מהי המשוואה שהפוטנציאל החשמלי $\phi$ מקיים בתוך הגליל ומחוצה לו? עבור סעיפים 2-5 נתון $\vec P(\vec r)=P_0(\alpha\hat x+\beta\hat y)$, כאשר $P_0,\alpha,\beta$ סקלרים ממשיים קבועים במרחב. **2.** מהי כעת המשוואה שהפוטנציאל $\phi$ מקיים בתוך הגליל ומחוצה לו? **3.** מהי צפיפות מטען הקיטוב המשטחי על שפת הגליל? **4.** מהם תנאי השפה המלאים הדרושים למציאת הפוטנציאל $\phi$? **5.** מהו הביטוי עבור $\phi$? (אין צורך במציאת המקדמים, אך אין לכלול מקדמים שערכם אפס זהותית.) עבור סעיפים 6-7 נתון $\vec P(\vec r)=P_0\hat y$. **6.** מהו הפוטנציאל החשמלי $\phi$ בכל המרחב? **7.** מהו השדה החשמלי $\vec E$ בכל המרחב? עבור סעיף 8 נתון $\vec P(\vec r)=P_0\hat\rho$ (רדיאלי בקואורדינטות גליליות). **8.** האם הפוטנציאל $\phi$ בתוך הגליל מקיים את משוואת לפלס? אם כן — הוכיחו; אם לא — מצאו את המשוואה שהוא מקיים.

רמז: מ-$\nabla\cdot\vec D=0$ נובע $\nabla^2\phi=\nabla\cdot\vec P/\epsilon_0$; עבור $\vec P$ אחיד זו לפלס עם מקור דיפולרי משטחי $\rho_{sp}=\vec P\cdot\hat\rho$ (הרמוניות $m=1$: $\rho$ בפנים, $\rho^{-1}$ בחוץ). עבור $\vec P=P_0\hat\rho$ הדיברגנץ $P_0/\rho\ne0$ נותן משוואת פואסון.

פתרון: **1.** השדה משמר, $\vec E=-\nabla\phi$, ואין מטענים חופשיים: $\nabla\cdot\vec D=0$ עם $\vec D=\epsilon_0\vec E+\vec P$. מכאן $-\epsilon_0\nabla^2\phi+\nabla\cdot\vec P=0$, כלומר **בתוך הגליל** $\nabla^2\phi=\dfrac{\nabla\cdot\vec P}{\epsilon_0}$ (משוואת פואסון בכלליות), **ומחוצה לו** (ריק) $\nabla^2\phi=0$ (לפלס). **2.** עבור $\vec P$ אחיד $\nabla\cdot\vec P=0$, ולכן בשני התחומים מתקיימת **משוואת לפלס** $\nabla^2\phi=0$. **3.** $\rho_{sp}=\vec P\cdot\hat\rho=P_0(\alpha\hat x+\beta\hat y)\cdot\hat\rho=P_0(\alpha\cos\theta+\beta\sin\theta)$. **4.** תנאי השפה: (i) רציפות הפוטנציאל $\phi_{in}(R)=\phi_{out}(R)$; (ii) קפיצת הרכיב הנורמלי של $\vec D$ (אין מטען חופשי): $\epsilon_0\!\left(\dfrac{\partial\phi_{in}}{\partial\rho}-\dfrac{\partial\phi_{out}}{\partial\rho}\right)\!\bigg|_{\rho=R}=\rho_{sp}=P_0(\alpha\cos\theta+\beta\sin\theta)$; (iii) $\phi_{in}$ סופי ב-$\rho=0$; (iv) $\phi_{out}$ חסום ב-$\rho\to\infty$. **5.** מבנה המקור ($\cos\theta,\sin\theta$) מכתיב הרמוניות $m=1$ בלבד: $$\phi_{in}=(A\cos\theta+B\sin\theta)\rho,\qquad \phi_{out}=(C\cos\theta+D\sin\theta)\rho^{-1}$$ **6.** עבור $\vec P=P_0\hat y$ ($\alpha=0,\beta=1$): $\rho_{sp}=P_0\sin\theta$. הצבת תנאי השפה נותנת $$\phi_{in}=\dfrac{P_0}{2\epsilon_0}\rho\sin\theta=\dfrac{P_0}{2\epsilon_0}y,\qquad \phi_{out}=\dfrac{P_0R^2}{2\epsilon_0}\dfrac{\sin\theta}{\rho}$$ **7.** $\vec E=-\nabla\phi$. בפנים שדה אחיד: $$\vec E_{in}=-\dfrac{P_0}{2\epsilon_0}\hat y,$$ ומחוץ לגליל שדה דיפול: $$\vec E_{out}=\dfrac{P_0R^2}{2\epsilon_0\rho^2}\big(\sin\theta\,\hat\rho-\cos\theta\,\hat\theta\big)$$ **8.** לא. עבור $\vec P=P_0\hat\rho$: $\nabla\cdot\vec P=\dfrac1\rho\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho P_0)=\dfrac{P_0}{\rho}\ne0$, ולכן בתוך הגליל $$\nabla^2\phi=\dfrac{\nabla\cdot\vec P}{\epsilon_0}=\dfrac{P_0}{\epsilon_0\rho}$$ — **משוואת פואסון**, ולא לפלס. $\blacksquare$