שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2022 - גלים אלקטרומגנטיים

נתון התקן אלקטרו-מגנטי המתואר ע"י חתך במישור $xz$. ההתקן אינסופי ואחיד בציר $y$ (ניתן להניח אורך סופי $W$ המקיים $d,L\ll W$), חצי-אינסופי בכיוון $z$ החיובי ובעל אורך $L$ בכיוון $z$ השלילי. הדפנות במישורים $x=0$ ו-$x=d$ עשויות מוליך מושלם, ובמישור $z=-L$ סוגר את ההתקן לוח מוליך מושלם. התווך בפנים ריק. במישור $z=0$ מקור מתח משתנה בזמן מאלץ הפרש מתחים בין הלוח העליון והתחתון, מפולג באחידות ב-$y$: $V(t)=V_0\cos(\omega t)$. נמצא כי השדה החשמלי אינו תלוי ב-$x$. **סעיף א (7 נק'):** רשמו את תנאי המעבר ותנאי השפה עבור פאזור השדה החשמלי בכל אחד מחלקי ההתקן ($z>0$ ו-$z<0$) ובמישור המקור $z=0$. **סעיף ב (7 נק'):** חשבו את פאזור השדה החשמלי (כולל הקבועים) בכל חלק. **סעיף ג (8 נק'):** חשבו את וקטור פוינטינג הקומפלקסי בכל חלק. מהו ההבדל העקרוני בין שני החלקים וכיצד הוא בא לידי ביטוי בוקטור פוינטינג? **סעיף ד (7 נק'):** הראו את קיום משפט פוינטינג הקומפלקסי עבור צד שמאל ($z<0$). **סעיף ה (7 נק'):** מהו אימפדנס הכניסה במישור $z=0$ עבור ההתקן המלא? **סעיף ו (7 נק'):** ממלאים את הצד הימני ($z\ge 0$) בחומר פרואלקטרי בעל צפיפות קיטוב $\vec P=P_0\hat x$ ($P_0$ קבוע). חשבו את השדה החשמלי הכולל בצד הימני. **סעיף ז (7 נק'):** כמו סעיף ו, אך כעת $\vec P=P_0\frac{x}{d}\hat x$. שימו לב שבשל התלות ב-$x$ ההנחה על אי-תלות השדה ב-$x$ אינה תקפה בהכרח. חשבו את השדה החשמלי הכולל בצד הימני. רמז: ניתן להתחיל מחוק גאוס הדיפרנציאלי.

רמז: בין הדפנות המוליכות השדה בכיוון $x$ בלבד ומקיים משוואת גלים; צד ימין הוא גל מתקדם ($e^{-jkz}$) וצד שמאל גל עומד המתאפס בלוח $z=-L$ ($\sin(k(z+L))$). לחומר הפרואלקטרי מוסיפים תרומת DC דרך מטעני הקיטוב / חוק גאוס $\nabla\cdot\vec D=0$.

פתרון: **סעיף א:** בדפנות המוליכות: $-\hat x\times(\vec E_{out}-\vec E_{in})|_{x=0}=0\Rightarrow E_{y,z}|_{x=0}=0$, ובדומה $E_{y,z}|_{x=d}=0$. במישור המקור $z=0$ רציפות המשיק $E_{x,y}^{z>0}|_{z=0}=E_{x,y}^{z<0}|_{z=0}$, ואילוץ המקור $\int_0^d E_x^{z>0}|_{z=0}\,dx=\int_0^d E_x^{z<0}|_{z=0}\,dx=-V_0$. בצד ימין אין החזרות ($z\to\infty$). בלוח $z=-L$: $E_{x,y}^{z<0}|_{z=-L}=0$. **סעיף ב:** השדה מקיים את משוואת הגלים עם רכיב $x$ בלבד, וצובר פאזה בכיוון $z$ בלבד. עם $k=\frac{\omega}{c_0}=\omega\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$: $$E^{z>0}=-\frac{V_0}{d}e^{-jkz}\hat x,\qquad E^{z<0}=-\frac{V_0}{d}\frac{\sin(k(z+L))}{\sin(kL)}\hat x.$$ **סעיף ג:** מחוק פאראדיי $H_y^{z>0}=-\frac{k}{\omega\mu_0}\frac{V_0}{d}e^{-jkz}$ ו-$H_y^{z<0}=-\frac{jk}{\omega\mu_0}\frac{V_0}{d}\frac{\cos(k(z+L))}{\sin(kL)}$. וקטור פוינטינג בצד ימין (ממשי טהור): $$\vec S^{z>0}=\tfrac12\left(\tfrac{V_0}{d}\right)^2\frac{k}{\omega\mu_0}\hat z,$$ ובצד שמאל (מדומה טהור): $$\vec S^{z<0}=-\tfrac{j}{2}\left(\tfrac{V_0}{d}\right)^2\frac{k}{\omega\mu_0}\frac{\sin(k(z+L))\cos(k(z+L))}{\sin^2(kL)}\hat z.$$ **ההבדל:** צד ימין הוא מוליך גל חצי-אינסופי — גל מתקדם, הספק ממשי (זרימת אנרגיה); צד שמאל הוא מהוד סגור — גל עומד, וקטור פוינטינג מדומה טהור (אגירת אנרגיה בלבד). **סעיף ד:** מחשבים $\nabla\cdot\vec S^{z<0}$, ואת צפיפויות האנרגיה הממוצעות $\langle w_e\rangle=\tfrac14\varepsilon_0\left(\tfrac{V_0}{d}\right)^2\frac{\sin^2(k(z+L))}{\sin^2(kL)}$ ו-$\langle w_m\rangle=\tfrac14\varepsilon_0\left(\tfrac{V_0}{d}\right)^2\frac{\cos^2(k(z+L))}{\sin^2(kL)}$ (עם $P=0$). הצבה במשפט פוינטינג הקומפלקסי $\nabla\cdot\vec S+2j\omega(\langle w_m\rangle-\langle w_e\rangle)+P=0$ נותנת זהות אפס. $\blacksquare$ **סעיף ה:** $I_{in}=\vec J_s|_{z=0}\cdot W$ ו-$V_{in}=V_0$. מחישוב $\vec J_s|_{z=0}=\hat z\times(H^{z>0}-H^{z<0})|_{z=0}=\sqrt{\tfrac{\varepsilon_0}{\mu_0}}\tfrac{V_0}{d}\left(1-\tfrac{j}{\tan(kL)}\right)\hat x$ מתקבל $$Z_{in}=\frac{V_0}{I_{in}}=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\frac{d}{W}\left(1-\frac{j}{\tan(kL)}\right)^{-1}.$$ **סעיף ו:** קיטוב אחיד $\vec P=P_0\hat x$ תורם מטען קיטוב משטחי $\rho_{sp}=-P_0$ ב-$x=0$ ו-$+P_0$ ב-$x=d$ — פילוג DC של קבל לוחות. לכן השדה החדש הוא סופרפוזיציה של פתרון סעיף ב ותרומת ה-DC: $$\vec E_{new}=\mathrm{Re}\{\vec E_{old}e^{j\omega t}\}\hat x-\frac{P_0}{\varepsilon_0}\hat x.$$ **סעיף ז:** בתת-הבעיה של הקיטוב אין מקור ב-$z=0$ ואין תלות ב-$z$; מחוק גאוס $\nabla\cdot\vec D=\frac{\partial D_x}{\partial x}=\rho_f=0\Rightarrow D_x=const$. מתנאי המעבר ל-$D$ ב-$x=d$ (אין מטען חופשי): $D_x|_{x=d}=0$, ולכן $D_x\equiv 0$. לפיכך $0=\varepsilon_0 E+P\Rightarrow E=-\frac{P}{\varepsilon_0}=-\frac{P_0}{\varepsilon_0}\frac{x}{d}$, והשדה הכולל: $$\vec E_{new}=\mathrm{Re}\{\vec E_{old}e^{j\omega t}\}\hat x-\frac{P_0}{\varepsilon_0}\frac{x}{d}\hat x.$$ $\blacksquare$