כדי לגשת למבחני סימולציה ועוד המון שאלות נוספות, פתחו גישה מלאה
תתי-נושאים של בעיות ערך שפה
רמת קושי:
נתון התקן אלקטרומגנטי בעל סימטריה גלילית: גובה ההתקן בציר z הוא d והרדיוס החיצוני R2. שני בסיסים עגולים ב-z=0 וב-z=d עשויים מוליך מושלם. התווך בתוך ההתקן ומחוצה לו הוא ריק. בגליל פנימי שרדיוסו R1 יש מוליכות חשמלית σ וציר סימטריה משותף עם הבסיסים. ההתקן מחובר למקור זרם המפולג באחידות על המעטפת ρ=R2; הזרם הכולל על מעטפת זו הוא I0cos(ωt) בכיוון השלילי של z^, ומוזרם אל/מהגליל הפנימי דרך הבסיסים (זרם משטחי רדיאלי). נתון d≪R1,R2 ולכן השדות אינם משתנים ביחס ל-z.
סעיף א (4 נק'): מהם רכיבי השדה החשמלי שאינם מתאפסים בהתקן?
עבור סעיפים ב–ו נתון σ→∞ בגליל הפנימי.
סעיף ב (6 נק'): מה התנאי על תדר המקור לקבלת משטר קוואזי-סטטי בהתקן? מה סוג המשטר שיתקבל?
סעיף ג (6 נק'): בהנחת המשטר הקוואזי-סטטי, מהו פאזור השדה הדומיננטי בתחום 0<ρ<R2? ומהו מחוץ להתקן, מיד ליד המעטפת (ברדיוס גדול במקצת מ-R2)?
סעיף ד (6 נק'): מהו פאזור התיקון הראשון בשדה המשני בתחום 0<r<R2? ומהו מחוץ להתקן מיד ליד המעטפת?
סעיף ה (6 נק'): מהי צפיפות הזרם המשטחית על הבסיסים העגולים ועל המעטפת ב-r=R2?
סעיף ו (6 נק'): מהו אימפדנס הכניסה להתקן (הכניסה מוגדרת כמעטפת r=R2)?
עבור סעיפים ז–ח נתון כי σ בגליל הפנימי סופי והזרם מפולג באחידות בתוך החומר המוליך (שרדיוסו R1).
סעיף ז (8 נק'): אילו משטרים קוואזי-סטטיים ייתכנו בגליל הפנימי? עבור כל משטר, רשמו את התנאים המקשרים בין תכונות החומר (ε,μ,σ) והמימדים לבין תדר המקור ω.
סעיף ח (8 נק'): עבור כל משטר מסעיף ז, חשבו את הפאזורים של השדות (הדומיננטי והמשני) בגליל הפנימי.
נתון התקן אלקטרו-מגנטי המתואר ע"י חתך במישור xz. ההתקן אינסופי ואחיד בציר y (ניתן להניח אורך סופי W המקיים d,L≪W), חצי-אינסופי בכיוון z החיובי ובעל אורך L בכיוון z השלילי. הדפנות במישורים x=0 ו-x=d עשויות מוליך מושלם, ובמישור z=−L סוגר את ההתקן לוח מוליך מושלם. התווך בפנים ריק. במישור z=0 מקור מתח משתנה בזמן מאלץ הפרש מתחים בין הלוח העליון והתחתון, מפולג באחידות ב-y: V(t)=V0cos(ωt). נמצא כי השדה החשמלי אינו תלוי ב-x.
סעיף א (7 נק'): רשמו את תנאי המעבר ותנאי השפה עבור פאזור השדה החשמלי בכל אחד מחלקי ההתקן (z>0 ו-z<0) ובמישור המקור z=0.
סעיף ב (7 נק'): חשבו את פאזור השדה החשמלי (כולל הקבועים) בכל חלק.
סעיף ג (8 נק'): חשבו את וקטור פוינטינג הקומפלקסי בכל חלק. מהו ההבדל העקרוני בין שני החלקים וכיצד הוא בא לידי ביטוי בוקטור פוינטינג?
סעיף ד (7 נק'): הראו את קיום משפט פוינטינג הקומפלקסי עבור צד שמאל (z<0).
סעיף ה (7 נק'): מהו אימפדנס הכניסה במישור z=0 עבור ההתקן המלא?
סעיף ו (7 נק'): ממלאים את הצד הימני (z≥0) בחומר פרואלקטרי בעל צפיפות קיטוב P=P0x^ (P0 קבוע). חשבו את השדה החשמלי הכולל בצד הימני.
סעיף ז (7 נק'): כמו סעיף ו, אך כעת P=P0dxx^. שימו לב שבשל התלות ב-x ההנחה על אי-תלות השדה ב-x אינה תקפה בהכרח. חשבו את השדה החשמלי הכולל בצד הימני. רמז: ניתן להתחיל מחוק גאוס הדיפרנציאלי.
נתון התקן אלקטרו-מגנטי המתואר ע"י חתך במישור xz. ההתקן אינסופי ואחיד בציר y וחצי-אינסופי בציר z. הדפנות במישורים x=0 ו-x=d עשויות מוליך מושלם. התווך בתוך ההתקן מאופיין במקדמים יחסיים εr,μr. במישור z=0 מאולצת צפיפות זרם משטחית מפולגת באחידות ב-y: Js(t)=K0cos(ωt)x^. עובי ההתקן d מקיים d≪λ. התווך מעל ומתחת (x<0, x>d) הוא ריק והשדות בו אפס.
עבור סעיפים א,ב בלבד נתון שפאזור השדה החשמלי בתוך ההתקן הוא E=E1e−jk⋅r+E2ejk⋅r, כאשר E1,E2 וקטורים קבועים ו-∣E1∣2+∣E2∣2=E0 (E0 נתון).
סעיף א (7 נק'): בעזרת תנאי השפה, קבעו את E1, E2 ואת וקטור הגל k.
סעיף ב (7 נק'): רשמו את פאזור השדה המגנטי בתוך ההתקן.
כעת סוגרים את ההתקן מצידו הימני בתווך חצי-אינסופי עם μr→∞. הסעיפים הבאים מתייחסים לתחום 0<x<d, 0<z<L.
סעיף ג (7 נק'): רשמו את תנאי השפה שהפאזורים מקיימים בהתקן.
סעיף ד (7 נק'): חשבו את הפאזורים של השדות בהתקן.
סעיף ה (7 נק'): הראו את קיום משפט פוינטינג הקומפלקסי בהתקן.
סעיף ו (7 נק'): חשבו את אימפדנס הכניסה להתקן.
סעיף ז (8 נק'): כעת נתון שלחומר יש גם מוליכות σ. כיצד תשתנה התשובה לסעיף ד? הדרכה: הסבר מילולי וחישוב קצר.
נתון חתך התקן אלקטרו-מגנטי במישור xz, בעל אורך 2L בציר z ועובי d בציר x. ההתקן מוזן ע"י V(t)=V0cos(ωt) (V0 ממשי נתון). החומר מאופיין במקדמים יחסיים קבועים μr,εr. ההתקן אינסופי בציר y וצר מאוד בציר x (d≪L). המישורים x=0, x=d ו-z=L עשויים מוליך מושלם, המקור ב-z=−L. אין מקור חופשי ושדות מחוץ להתקן אפס.
סעיף א (2 נק'): מהם כיווני השדות הא"מ בהתקן ובאילו קואורדינטות הם תלויים?
סעיף ב (3 נק'): רשמו את תנאי השפה שעל פאזור השדה החשמלי לקיים.
סעיף ג (15 נק'): מצאו את פאזור השדה החשמלי בתוך ההתקן, בצורה הפשוטה ביותר לאחר הצבת הקבועים. רמז: 2jsin(az)=ejaz−e−jaz.
סעיף ד (5 נק'): מצאו את פאזור השדה המגנטי בתוך ההתקן.
כעת נבחן את התנהגות ההתקן בגבול הקוואזי-סטטי.
סעיף ה (5 נק'): מהו התנאי על המכפלה kL לקיום הנחת הקוואזי-סטטיקה?
סעיף ו (10 נק'): בעזרת התנאי מסעיף ה, בצעו קירוב טיילור מסדר ראשון לפאזורי השדה החשמלי והמגנטי, ורשמו אותם במפורש.
סעיף ז (10 נק'): באיזה משטר קוואזי-סטטי נמצא ההתקן? ההסבר חייב להתייחס לתוצאות סעיף ו.
נתון חתך התקן אלקטרו-מגנטי במישור xz, אינסופי בכיוון z ובכיוון y. הכיול הוא כיול לורנץ ∇⋅A=−c21∂t∂U (A פוטנציאל מגנטי וקטורי, U פוטנציאל חשמלי סקלרי). המרחב בפנים חסר מקורות. על x=0 מאולץ U=U0cos(ωt) ועל x=d מאולץ U=0. כל הסעיפים בתחום 0≤x≤d.
סעיף א (3 נק'): רשמו את המשוואה הדיפרנציאלית ש-U מקיים בתוך ההתקן (רק לרשום את סוג המשוואה).
סעיף ב (5 נק'): באילו קואורדינטות מרחביות U יכול להיות תלוי? נמקו.
סעיף ג (5 נק'): רשמו את המשוואה מסעיף א באופן מפורש (הציבו את מסקנות סעיף ב).
סעיף ד (3 נק'): העבירו לרישום פאזורי עבור U~ ורשמו את תנאי השפה.
כעת נתון d=4λ, כאשר λ אורך הגל המתאים לתדר ω.
סעיף ה (10 נק'): פתרו את המשוואה עבור U~ ורשמו את U(x,t) בתחום הזמן.
סעיף ו (10 נק'): האם קיימים עוד ערכי d שעבורם נקבל את אותו ביטוי בדיוק? אם כן מצאו אותם, אחרת הסבירו מדוע לא.
כעת נתון A(x,t)=c1U0sin(cωx)sin(ωt)x^.
סעיף ז (9 נק'): חשבו את האינדוקציה המגנטית B ואת השדה החשמלי E בתחום הזמן.
סעיף ח (5 נק'): הסבירו את התוצאה של סעיף ז (הסבר מילולי, ללא חזרה על החישוב).
נתון חתך התקן אלקטרומגנטי במישור xz. ההתקן אינסופי ואחיד בכיוון y וחצי-אינסופי בכיוון z. הדפנות ב-x=0 ו-x=d עשויות מוליך מושלם, השדות מחוץ להתקן אפס, והתווך בפנים ריק. ההתקן דק מאוד ביחס לאורך הגל (d≪λ). בכניסה (z=0) מאולץ מקור מתח V(t)=V0cos(ωt).
עבור סעיפים א–ג נניח שהשדות מקיימים את משוואת הגלים בריק.
סעיף א (5 נק'): מהם כיווני השדה החשמלי והמגנטי בהתקן ובאילו קואורדינטות הם תלויים?
סעיף ב (5 נק'): הוכיחו כי השדה החשמלי משמר על פני המישורים z=const.
סעיף ג (7 נק'): מצאו את פאזורי השדה החשמלי והמגנטי בתוך ההתקן (כולל הקבועים).
כעת סוגרים את ההתקן ב-z=L בלוח מוליך מושלם, והתווך בפנים מאופיין ע"י σ,ε=ε0εr,μ0 קבועים, כאשר σ≫ωε0εr.
סעיף ד (5 נק'): פתחו את המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני עבור השדה החשמלי.
סעיף ה (5 נק'): רשמו את הביטוי הכללי לפאזורי השדה החשמלי והמגנטי (ללא חישוב הקבועים).
סעיף ו (5 נק'): בסעיף זה בלבד נתון L→∞. חזרו על סעיף ה.
סעיף ז (8 נק'): איזה תנאי צריך L לקיים כדי שהתוצאה מסעיף ו תהיה נכונה בקירוב? האם ייתכן שהתקן כזה יהיה במשטר קוואזי-סטטי?
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןמועד א · 2020 · סמסטר ב
★★★★★
גלים אלקטרומגנטייםמשוואת הגליםחוק פאראדיישדה מגנטימוליכיםעומק חדירהקוואזי-סטטיקהתנאי שפהשדה חשמלי
נתונים שני לוחות ריבועיים בצלע D מחומר מוליך מושלם: הלוח ב-y=−b מוארק (U=0) והלוח ב-y=a מוחזק בפוטנציאל קבוע V. על המישור y=0 שבין הלוחות מאולצת צפיפות מטען משטחית חופשית ρs=ρ0sin(kx). ההתקן צר מאוד, D≫a+b. כל הסעיפים בתחום שבין הלוחות.
עבור סעיפים א,ב נתון V=0.
סעיף א (10 נק'): רשמו את המשוואה הדיפרנציאלית ש-U מקיים, ואת תנאי השפה והמעבר הרלוונטיים.
סעיף ב (15 נק'): רשמו את הביטוי ל-U בתוך ההתקן (בעזרת פונקציות היפרבוליות; אין צורך לחשב קבועים במפורש).
עבור סעיף ג נתון V=V0 (ועדיין מאולצת צפיפות מטען על y=0).
סעיף ג (5 נק'): מהו U בתוך ההתקן?
עבור הסעיפים הבאים V=Re{V0ejωt}.
סעיף ד (5 נק'): מהו התנאי על ω כדי לעבוד במשטר קוואזי-סטטי? איזה משטר?
סעיף ה (10 נק'): בהנחת התנאי מסעיף ד, מצאו את השדה החשמלי E בתחום הזמן.
סעיף ו (5 נק'): מהי צפיפות האנרגיה החשמלית הממוצעת בזמן ⟨we⟩ בתוך ההתקן?
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןמועד ב · 2020 · סמסטר ב
★★★★★
משוואת לפלספוטנציאל חשמליתנאי שפהתנאי רציפותשדה ההעתקהמוליכיםקוואזי-סטטיקהאנרגיה אלקטרוסטטיתקיבולשדה חשמלי
נתון התקן אלקטרומגנטי באורך L (סופי בכיוון התקדמות ההספק), מחומר עם מקדם דיאלקטרי יחסי εr, חדירות מגנטית יחסית μr=1 ומוליכות סופית σ, המוזן במקור בתדר ω כך שמתקיים σ≫ωε0εr. עבור סעיפים א–ג נתון גרף של ∣H∣ בתוך ההתקן הדועך אקספוננציאלית עם המרחק; קצה ההתקן ב-z=L סגור בפיסה דקה של חומר מוליך.
א. האם ההתקן נמצא במשטר קווזי-סטטי כלשהו? אם כן, קבעו את סוגו ונמקו. אם לא, הסבירו מדוע.
ב. האם ניתן, בעזרת שינוי תדר המקור בלבד, לקבל תשובה הפוכה לזו שבסעיף א? אם כן, יש להגדיל או להקטין את התדר?
ג. שרטטו איכותית כיצד ייראה הגרף עבור אורך L′=2020L (שאר הפרמטרים ללא שינוי), וכיצד תשתנה התשובה לסעיף א.
כעת נדון בהתקן המחולק לשני חלקים: החלק הימני באורך L (סופי בציר z), והחלק השמאלי אינסופי בציר z; שניהם אינסופיים בציר y וצרים בציר x בין מוליכים מושלמים ב-x=0 וב-x=d (L≫d). מקור זרם משטחי Js=2J0cos(ωt)x^ נמצא על מישור z=0. הנחות: הפסדים גבוהים σ≫ωε0; μ0σL22≫ω וגם L2πc≫ω; W≫L,d (יחידת אורך בציר y); צפיפות הזרם מתחלקת שווה בין שני החלקים.
ד. עבור כל חלק, באיזה משטר קווזי-סטטי הוא נמצא (או מדוע לא מתקיים)?
ה. רשמו את קירוב משוואות מקסוול הפאזורי לכל חלק (עבור ∇×E ו-∇×H).
ו. קבעו את כיווני השדות בשני החלקים ובאילו קואורדינטות הם תלויים.
ז. מצאו את פאזור השדה החשמלי בחלק הימני.
ח. חשבו את פאזור השדה המגנטי בחלק הימני (בהינתן Eleft,Hleft ידועים).
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןמועד ב · 2020 · סמסטר א
★★★★★
קוואזי-סטטיקהעומק חדירהמשוואות מקסוולשדה מגנטימוליכיםתנאי שפה
נתון התקן בצורת תיבה הבנוי משני מקורות זרם הנמצאים במישורים z=±d, היוצרים זרם משטחי קבוע ±J0y^ לאורך כל אחד מהמישורים. הנחות: ההתקן אינסופי ביחס לצירים x ו-y; השדה החשמלי מתאפס על מישור z=0; השדה המגנטי קבוע בהתקן ומתאפס מחוצה לו.
א. מתוך הסימטריות בבעיה, מצאו את כיוון השדה המגנטי בתוך ההתקן.
ב. מצאו את השדות הא"מ בהתקן.
מעתה מקור הזרם תלוי בזמן, כך שצפיפויות הזרם המשטחי מקיימות Js(z=±d)=±J0cos(ωt)y^.
ג. מהו התנאי למשטר קווזי-סטטי על התדר ω? איזה סוג משטר זה יהיה?
ד. מה יהיה כיוון השדה החשמלי כעת, ובאיזו קואורדינטה יהיה תלוי?
ה. מצאו את השדות הא"מ הדומיננטיים בהתקן לפי סוג המשטר שבחרתם (לכל שדה — הסדר הראשון בפיתוח השונה מאפס).
ו. מצאו את הממוצע בזמן של צפיפות האנרגיה החשמלית והמגנטית בהתקן, והסבירו דרכם מדוע המשטר הקווזי-סטטי מוצדק.
ז. מצאו את וקטור פוינטינג הקומפלקסי והראו את קיום משפט פוינטינג הדיפרנציאלי הקומפלקסי בתוך ההתקן.
כעת מכניסים פיסת חומר דיאמגנטי בעלת μr,ϵ0 לתוך ההתקן, עד נקודה y0. אורך ההתקן בציר y הוא L, וניתן להניח L גדול בהרבה מכל אורך אחר בבעיה.
ח. מצאו את הביטוי בזמן לשדה המגנטי בכל נקודה בהתקן.
ט. מצאו את סך האנרגיה המגנטית ליחידת אורך בציר x^ בהתקן, כתלות ב-y0 ובזמן.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןמועד א · 2019 · סמסטר ב
★★★★★
חוק אמפרשדה מגנטיקוואזי-סטטיקהאנרגיה מגנטיתוקטור פוינטינגתנאי שפהחומרים מגנטיים
נתון חתך התקן אלקטרו-מגנטי במישור xz. ההתקן מוזן ע"י מקור צפיפות זרם משטחי עם תלות זמנית K(t)=K0cos(ωt)x^ (על הדופן z=0). החומר בתוך ההתקן מאופיין ע"י מקדם דיאלקטרי של מרחב חופשי יחד עם וקטור מגנטיזציה קבוע במרחב אך בעל אותה תלות זמנית כמו המקור, M(t)=M0cos(ωt)y^. הדפנות ב-x=0, x=h וב-z=L מוליכות מושלמות. הנחות: ההתקן נמצא במשטר קווזי-סטטי כלשהו; אינסופי בכיוון y ומקיים h≪L; שדות אפס מחוץ להתקן; K0,M0 ממשיים עם K0>M0.
א. קבעו איזה סוג משטר קווזי-סטטי מתקיים בהתקן, ונמקו.
ב. רשמו את משוואות מקסוול המתאימות למשטר זה בתוך ההתקן, וקבעו באילו כיוונים קיימים השדות ובאילו קואורדינטות הם תלויים.
ג. רשמו את תנאי השפה שעל השדות הא"מ לקיים.
ד. חשבו את השדות הא"מ בהתקן.
ה. חשבו את סך האנרגיה החשמלית והמגנטית הממוצעת בזמן ליחידת אורך של ציר y, בתוך ההתקן.
ו. בעזרת סעיף ה, מצאו תנאי על הנתונים הגיאומטריים ותדר המקור המצדיק את המשטר הקווזי-סטטי שבחרתם.
עבור הסעיפים ז-ח הניחו כי וקטור המגנטיזציה אינו תלוי זמן, M=M0y^.
ז. האם תשובתכם לסעיף א תשתנה? אם כן כיצד, אם לא נמקו מדוע.
שאלות תרגול בשדות אלקטרומגנטיים בנושא תנאי שפה ממבחנים של הטכניון. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא תנאי שפה.