כדי לגשת למבחני סימולציה ועוד המון שאלות נוספות, פתחו גישה מלאה
תתי-נושאים של אלקטרוסטטיקה
רמת קושי:
נתון התקן אלקטרומגנטי בעל סימטריה גלילית: גובה ההתקן בציר z הוא d והרדיוס החיצוני R2. שני בסיסים עגולים ב-z=0 וב-z=d עשויים מוליך מושלם. התווך בתוך ההתקן ומחוצה לו הוא ריק. בגליל פנימי שרדיוסו R1 יש מוליכות חשמלית σ וציר סימטריה משותף עם הבסיסים. ההתקן מחובר למקור זרם המפולג באחידות על המעטפת ρ=R2; הזרם הכולל על מעטפת זו הוא I0cos(ωt) בכיוון השלילי של z^, ומוזרם אל/מהגליל הפנימי דרך הבסיסים (זרם משטחי רדיאלי). נתון d≪R1,R2 ולכן השדות אינם משתנים ביחס ל-z.
סעיף א (4 נק'): מהם רכיבי השדה החשמלי שאינם מתאפסים בהתקן?
עבור סעיפים ב–ו נתון σ→∞ בגליל הפנימי.
סעיף ב (6 נק'): מה התנאי על תדר המקור לקבלת משטר קוואזי-סטטי בהתקן? מה סוג המשטר שיתקבל?
סעיף ג (6 נק'): בהנחת המשטר הקוואזי-סטטי, מהו פאזור השדה הדומיננטי בתחום 0<ρ<R2? ומהו מחוץ להתקן, מיד ליד המעטפת (ברדיוס גדול במקצת מ-R2)?
סעיף ד (6 נק'): מהו פאזור התיקון הראשון בשדה המשני בתחום 0<r<R2? ומהו מחוץ להתקן מיד ליד המעטפת?
סעיף ה (6 נק'): מהי צפיפות הזרם המשטחית על הבסיסים העגולים ועל המעטפת ב-r=R2?
סעיף ו (6 נק'): מהו אימפדנס הכניסה להתקן (הכניסה מוגדרת כמעטפת r=R2)?
עבור סעיפים ז–ח נתון כי σ בגליל הפנימי סופי והזרם מפולג באחידות בתוך החומר המוליך (שרדיוסו R1).
סעיף ז (8 נק'): אילו משטרים קוואזי-סטטיים ייתכנו בגליל הפנימי? עבור כל משטר, רשמו את התנאים המקשרים בין תכונות החומר (ε,μ,σ) והמימדים לבין תדר המקור ω.
סעיף ח (8 נק'): עבור כל משטר מסעיף ז, חשבו את הפאזורים של השדות (הדומיננטי והמשני) בגליל הפנימי.
נתון התקן אלקטרו-מגנטי המתואר ע"י חתך במישור xz. ההתקן אינסופי ואחיד בציר y (ניתן להניח אורך סופי W המקיים d,L≪W), חצי-אינסופי בכיוון z החיובי ובעל אורך L בכיוון z השלילי. הדפנות במישורים x=0 ו-x=d עשויות מוליך מושלם, ובמישור z=−L סוגר את ההתקן לוח מוליך מושלם. התווך בפנים ריק. במישור z=0 מקור מתח משתנה בזמן מאלץ הפרש מתחים בין הלוח העליון והתחתון, מפולג באחידות ב-y: V(t)=V0cos(ωt). נמצא כי השדה החשמלי אינו תלוי ב-x.
סעיף א (7 נק'): רשמו את תנאי המעבר ותנאי השפה עבור פאזור השדה החשמלי בכל אחד מחלקי ההתקן (z>0 ו-z<0) ובמישור המקור z=0.
סעיף ב (7 נק'): חשבו את פאזור השדה החשמלי (כולל הקבועים) בכל חלק.
סעיף ג (8 נק'): חשבו את וקטור פוינטינג הקומפלקסי בכל חלק. מהו ההבדל העקרוני בין שני החלקים וכיצד הוא בא לידי ביטוי בוקטור פוינטינג?
סעיף ד (7 נק'): הראו את קיום משפט פוינטינג הקומפלקסי עבור צד שמאל (z<0).
סעיף ה (7 נק'): מהו אימפדנס הכניסה במישור z=0 עבור ההתקן המלא?
סעיף ו (7 נק'): ממלאים את הצד הימני (z≥0) בחומר פרואלקטרי בעל צפיפות קיטוב P=P0x^ (P0 קבוע). חשבו את השדה החשמלי הכולל בצד הימני.
סעיף ז (7 נק'): כמו סעיף ו, אך כעת P=P0dxx^. שימו לב שבשל התלות ב-x ההנחה על אי-תלות השדה ב-x אינה תקפה בהכרח. חשבו את השדה החשמלי הכולל בצד הימני. רמז: ניתן להתחיל מחוק גאוס הדיפרנציאלי.
נתון התקן אלקטרו-מגנטי המתואר ע"י חתך במישור xz. ההתקן אינסופי ואחיד בציר y וחצי-אינסופי בציר z. הדפנות במישורים x=0 ו-x=d עשויות מוליך מושלם. התווך בתוך ההתקן מאופיין במקדמים יחסיים εr,μr. במישור z=0 מאולצת צפיפות זרם משטחית מפולגת באחידות ב-y: Js(t)=K0cos(ωt)x^. עובי ההתקן d מקיים d≪λ. התווך מעל ומתחת (x<0, x>d) הוא ריק והשדות בו אפס.
עבור סעיפים א,ב בלבד נתון שפאזור השדה החשמלי בתוך ההתקן הוא E=E1e−jk⋅r+E2ejk⋅r, כאשר E1,E2 וקטורים קבועים ו-∣E1∣2+∣E2∣2=E0 (E0 נתון).
סעיף א (7 נק'): בעזרת תנאי השפה, קבעו את E1, E2 ואת וקטור הגל k.
סעיף ב (7 נק'): רשמו את פאזור השדה המגנטי בתוך ההתקן.
כעת סוגרים את ההתקן מצידו הימני בתווך חצי-אינסופי עם μr→∞. הסעיפים הבאים מתייחסים לתחום 0<x<d, 0<z<L.
סעיף ג (7 נק'): רשמו את תנאי השפה שהפאזורים מקיימים בהתקן.
סעיף ד (7 נק'): חשבו את הפאזורים של השדות בהתקן.
סעיף ה (7 נק'): הראו את קיום משפט פוינטינג הקומפלקסי בהתקן.
סעיף ו (7 נק'): חשבו את אימפדנס הכניסה להתקן.
סעיף ז (8 נק'): כעת נתון שלחומר יש גם מוליכות σ. כיצד תשתנה התשובה לסעיף ד? הדרכה: הסבר מילולי וחישוב קצר.
נתון חתך התקן אלקטרו-מגנטי במישור xz, בעל אורך 2L בציר z ועובי d בציר x. ההתקן מוזן ע"י V(t)=V0cos(ωt) (V0 ממשי נתון). החומר מאופיין במקדמים יחסיים קבועים μr,εr. ההתקן אינסופי בציר y וצר מאוד בציר x (d≪L). המישורים x=0, x=d ו-z=L עשויים מוליך מושלם, המקור ב-z=−L. אין מקור חופשי ושדות מחוץ להתקן אפס.
סעיף א (2 נק'): מהם כיווני השדות הא"מ בהתקן ובאילו קואורדינטות הם תלויים?
סעיף ב (3 נק'): רשמו את תנאי השפה שעל פאזור השדה החשמלי לקיים.
סעיף ג (15 נק'): מצאו את פאזור השדה החשמלי בתוך ההתקן, בצורה הפשוטה ביותר לאחר הצבת הקבועים. רמז: 2jsin(az)=ejaz−e−jaz.
סעיף ד (5 נק'): מצאו את פאזור השדה המגנטי בתוך ההתקן.
כעת נבחן את התנהגות ההתקן בגבול הקוואזי-סטטי.
סעיף ה (5 נק'): מהו התנאי על המכפלה kL לקיום הנחת הקוואזי-סטטיקה?
סעיף ו (10 נק'): בעזרת התנאי מסעיף ה, בצעו קירוב טיילור מסדר ראשון לפאזורי השדה החשמלי והמגנטי, ורשמו אותם במפורש.
סעיף ז (10 נק'): באיזה משטר קוואזי-סטטי נמצא ההתקן? ההסבר חייב להתייחס לתוצאות סעיף ו.
מקור מתח V(t)=V0cos(ωt) מחובר להתקן גלילי בעל אורך 2d ורדיוס R (מתקיים d≪R); הלוחות החיצוניים עשויים מוליך מושלם. החומר בתוך ההתקן: מוליכות סופית σ בחלקו העליון, וחומר דיאלקטרי בעל מקדם דיאלקטרי יחסי εr בחלקו התחתון. מן המקור זורם זרם פאזורי I. נתון תנאי הפסדים נמוכים σ≫ωε0 עבור החלק העליון. השדה החשמלי מחוץ להתקן אפס.
סעיף א (5 נק'): מהו התנאי על תדר המקור ω כדי שההתקן יהיה במשטר קוואזי-סטטי? באיזה סוג משטר מדובר?
כעת נתון כי בחלק העליון (המוליך) זורם זרם הולכה פאזורי בכיוון −z^ בעל צפיפות זרם אחידה, J=−J0z^. פתרו את הסעיפים הבאים ללא הזנחת הפסדים.
סעיף ב (10 נק'): מצאו את המתח הנופל על כל אחד מחצאי ההתקן (המוליך לחוד והדיאלקטרי לחוד) כפונקציה של V0 ו-J0.
סעיף ג (5 נק'): מצאו את צפיפות המטען המשטחית ρs על השפה העליונה ועל השפה התחתונה.
סעיף ד (10 נק'): מצאו את הפאזור של השדה המגנטי H בכל ההתקן כפונקציה של V0 ו-J0 (אזימוטלי בלבד, מתאפס בציר הסימטריה).
סעיף ה (10 נק'): רשמו את תנאי המעבר על השדה המגנטי בין המוליך לדיאלקטרי, והשתמשו בו לביטוי J0 כפונקציה של V0.
סעיף ו (10 נק'): מצאו את הזרם הפאזורי הכולל I המוזן ממקור המתח.
נתונה קוביה פרו-אלקטרית בעלת אורך צלע a שמרכזה בראשית הצירים, בעלת וקטור צפיפות קיטוב P(r). הקוביה מוקפת במוליך מושלם מוארק המאלץ פוטנציאל חשמלי אפס על שפתה.
סעיף א (4 נק'): מהי המשוואה שהפוטנציאל החשמלי ϕ מקיים בתוך הקוביה ומחוצה לה?
עבור סעיפים ב–ה נתון P(r)=P0(x^+y^), כאשר P0 סקלר ממשי קבוע במרחב.
סעיף ב (4 נק'): מהי כעת המשוואה שהפוטנציאל ϕ מקיים בתוך ומחוץ לקוביה?
סעיף ג (5 נק'): מהי צפיפות מטען הקיטוב המשטחי על כל אחת משפות הקוביה?
סעיף ד (7 נק'): מהו השדה החשמלי E(r) בכל המרחב (בתוך ומחוץ לקוביה)?
סעיף ה (8 נק'): מהי צפיפות המטען המשטחי על כל אחת מפאות המוליך המושלם?
עבור שני הסעיפים הבאים נתון P(r)=P0{x2x^+[y2−(2a)2]y^+[z2−(2a)2]z^}.
סעיף ו (10 נק'): נתון כי פונקציית גרין בתוך התיבה ידועה ומסומנת G(r∣rs). רשמו ביטוי אינטגרלי לפוטנציאל ϕ בתוך ומחוץ לקוביה.
סעיף ז (12 נק'): מסירים את המוליך המושלם (התיבה נשארת ללא אילוץ פוטנציאל על שפתה). רשמו ביטוי אינטגרלי לפוטנציאל ϕ בכל המרחב, מפושט ומפורש ככל הניתן.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןמועד ב · 2021 · סמסטר א
★★★★★
דיאלקטריקיםקיטובשדה ההעתקהחוק גאוסמשוואת לפלסמשוואת פואסוןפוטנציאל חשמלימוליכיםבעיות ערך שפהפונקציית גרין
נתון חתך התקן אלקטרו-מגנטי במישור xz, אינסופי בכיוון z ובכיוון y. הכיול הוא כיול לורנץ ∇⋅A=−c21∂t∂U (A פוטנציאל מגנטי וקטורי, U פוטנציאל חשמלי סקלרי). המרחב בפנים חסר מקורות. על x=0 מאולץ U=U0cos(ωt) ועל x=d מאולץ U=0. כל הסעיפים בתחום 0≤x≤d.
סעיף א (3 נק'): רשמו את המשוואה הדיפרנציאלית ש-U מקיים בתוך ההתקן (רק לרשום את סוג המשוואה).
סעיף ב (5 נק'): באילו קואורדינטות מרחביות U יכול להיות תלוי? נמקו.
סעיף ג (5 נק'): רשמו את המשוואה מסעיף א באופן מפורש (הציבו את מסקנות סעיף ב).
סעיף ד (3 נק'): העבירו לרישום פאזורי עבור U~ ורשמו את תנאי השפה.
כעת נתון d=4λ, כאשר λ אורך הגל המתאים לתדר ω.
סעיף ה (10 נק'): פתרו את המשוואה עבור U~ ורשמו את U(x,t) בתחום הזמן.
סעיף ו (10 נק'): האם קיימים עוד ערכי d שעבורם נקבל את אותו ביטוי בדיוק? אם כן מצאו אותם, אחרת הסבירו מדוע לא.
כעת נתון A(x,t)=c1U0sin(cωx)sin(ωt)x^.
סעיף ז (9 נק'): חשבו את האינדוקציה המגנטית B ואת השדה החשמלי E בתחום הזמן.
סעיף ח (5 נק'): הסבירו את התוצאה של סעיף ז (הסבר מילולי, ללא חזרה על החישוב).
נתון חתך התקן אלקטרומגנטי במישור xz. ההתקן אינסופי ואחיד בכיוון y וחצי-אינסופי בכיוון z. הדפנות ב-x=0 ו-x=d עשויות מוליך מושלם, השדות מחוץ להתקן אפס, והתווך בפנים ריק. ההתקן דק מאוד ביחס לאורך הגל (d≪λ). בכניסה (z=0) מאולץ מקור מתח V(t)=V0cos(ωt).
עבור סעיפים א–ג נניח שהשדות מקיימים את משוואת הגלים בריק.
סעיף א (5 נק'): מהם כיווני השדה החשמלי והמגנטי בהתקן ובאילו קואורדינטות הם תלויים?
סעיף ב (5 נק'): הוכיחו כי השדה החשמלי משמר על פני המישורים z=const.
סעיף ג (7 נק'): מצאו את פאזורי השדה החשמלי והמגנטי בתוך ההתקן (כולל הקבועים).
כעת סוגרים את ההתקן ב-z=L בלוח מוליך מושלם, והתווך בפנים מאופיין ע"י σ,ε=ε0εr,μ0 קבועים, כאשר σ≫ωε0εr.
סעיף ד (5 נק'): פתחו את המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני עבור השדה החשמלי.
סעיף ה (5 נק'): רשמו את הביטוי הכללי לפאזורי השדה החשמלי והמגנטי (ללא חישוב הקבועים).
סעיף ו (5 נק'): בסעיף זה בלבד נתון L→∞. חזרו על סעיף ה.
סעיף ז (8 נק'): איזה תנאי צריך L לקיים כדי שהתוצאה מסעיף ו תהיה נכונה בקירוב? האם ייתכן שהתקן כזה יהיה במשטר קוואזי-סטטי?
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןמועד א · 2020 · סמסטר ב
★★★★★
גלים אלקטרומגנטייםמשוואת הגליםחוק פאראדיישדה מגנטימוליכיםעומק חדירהקוואזי-סטטיקהתנאי שפהשדה חשמלי
נתונים שני לוחות ריבועיים בצלע D מחומר מוליך מושלם: הלוח ב-y=−b מוארק (U=0) והלוח ב-y=a מוחזק בפוטנציאל קבוע V. על המישור y=0 שבין הלוחות מאולצת צפיפות מטען משטחית חופשית ρs=ρ0sin(kx). ההתקן צר מאוד, D≫a+b. כל הסעיפים בתחום שבין הלוחות.
עבור סעיפים א,ב נתון V=0.
סעיף א (10 נק'): רשמו את המשוואה הדיפרנציאלית ש-U מקיים, ואת תנאי השפה והמעבר הרלוונטיים.
סעיף ב (15 נק'): רשמו את הביטוי ל-U בתוך ההתקן (בעזרת פונקציות היפרבוליות; אין צורך לחשב קבועים במפורש).
עבור סעיף ג נתון V=V0 (ועדיין מאולצת צפיפות מטען על y=0).
סעיף ג (5 נק'): מהו U בתוך ההתקן?
עבור הסעיפים הבאים V=Re{V0ejωt}.
סעיף ד (5 נק'): מהו התנאי על ω כדי לעבוד במשטר קוואזי-סטטי? איזה משטר?
סעיף ה (10 נק'): בהנחת התנאי מסעיף ד, מצאו את השדה החשמלי E בתחום הזמן.
סעיף ו (5 נק'): מהי צפיפות האנרגיה החשמלית הממוצעת בזמן ⟨we⟩ בתוך ההתקן?
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןמועד ב · 2020 · סמסטר ב
★★★★★
משוואת לפלספוטנציאל חשמליתנאי שפהתנאי רציפותשדה ההעתקהמוליכיםקוואזי-סטטיקהאנרגיה אלקטרוסטטיתקיבולשדה חשמלי
גל אלקטרומגנטי מישורי, עם שדה חשמלי בעל קיטוב לינארי בציר y, מתקדם במרחב המאופיין ע"י ε0εr,μ0 בכיוון ציר z, עם אמפליטודה E0 ותדר ω. (c — מהירות האור בריק.)
א. רשמו ביטוי פאזורי עבור השדה החשמלי והמגנטי.
ב. חשבו את וקטור פוינטינג הקומפלקסי.
כעת נתון כי במרחב חצי-אינסופי z>0 נמצא מוליך מושלם, ובמרחב חצי-אינסופי z<0 מאופיין ע"י ε0εr,μ0. הגל המקורי פוגע במוליך המושלם ונוסף גל חוזר, כך שהשדה הכולל הוא E(z<0)=Ei+Er.
ג. רשמו את תנאי השפה על מישור z=0.
ד. רשמו מפורשות את פאזור השדה החשמלי הכולל עבור z<0.
ה. מצאו את הנקודות בהן פאזור השדה מתאפס זהותית, ובטאו את ההפרש בין נקודות סמוכות בעזרת אורך הגל λ.
ו. רשמו את וקטור פוינטינג הקומפלקסי עבור z<0. האם יש העברת הספק בכיוון מסוים?
כעת כל המרחב מאופיין ע"י ε0,μ0 ומוליכות סופית σ, כך שניתן להגדיר מקדם דיאלקטרי יחסי אפקטיבי εr,eff=1−jωε0σ. נתון גל עם E(z=0)=E0y^ המתקדם בכיוון z.
ז. רשמו ביטוי פאזורי עבור השדה החשמלי והמגנטי עבור z>0.
ח. רשמו את וקטור פוינטינג הקומפלקסי עבור z>0 והסבירו את מקור ההבדל מסעיף ב, בפרט עבור z→∞.
שאלות תרגול בשדות אלקטרומגנטיים בנושא מוליכים ממבחנים של הטכניון. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא מוליכים.