כדי לגשת למבחני סימולציה ועוד המון שאלות נוספות, פתחו גישה מלאה
תתי-נושאים של אינדוקציה אלקטרומגנטית
רמת קושי:
נתון התקן אלקטרומגנטי בעל סימטריה גלילית: גובה ההתקן בציר z הוא d והרדיוס החיצוני R2. שני בסיסים עגולים ב-z=0 וב-z=d עשויים מוליך מושלם. התווך בתוך ההתקן ומחוצה לו הוא ריק. בגליל פנימי שרדיוסו R1 יש מוליכות חשמלית σ וציר סימטריה משותף עם הבסיסים. ההתקן מחובר למקור זרם המפולג באחידות על המעטפת ρ=R2; הזרם הכולל על מעטפת זו הוא I0cos(ωt) בכיוון השלילי של z^, ומוזרם אל/מהגליל הפנימי דרך הבסיסים (זרם משטחי רדיאלי). נתון d≪R1,R2 ולכן השדות אינם משתנים ביחס ל-z.
סעיף א (4 נק'): מהם רכיבי השדה החשמלי שאינם מתאפסים בהתקן?
עבור סעיפים ב–ו נתון σ→∞ בגליל הפנימי.
סעיף ב (6 נק'): מה התנאי על תדר המקור לקבלת משטר קוואזי-סטטי בהתקן? מה סוג המשטר שיתקבל?
סעיף ג (6 נק'): בהנחת המשטר הקוואזי-סטטי, מהו פאזור השדה הדומיננטי בתחום 0<ρ<R2? ומהו מחוץ להתקן, מיד ליד המעטפת (ברדיוס גדול במקצת מ-R2)?
סעיף ד (6 נק'): מהו פאזור התיקון הראשון בשדה המשני בתחום 0<r<R2? ומהו מחוץ להתקן מיד ליד המעטפת?
סעיף ה (6 נק'): מהי צפיפות הזרם המשטחית על הבסיסים העגולים ועל המעטפת ב-r=R2?
סעיף ו (6 נק'): מהו אימפדנס הכניסה להתקן (הכניסה מוגדרת כמעטפת r=R2)?
עבור סעיפים ז–ח נתון כי σ בגליל הפנימי סופי והזרם מפולג באחידות בתוך החומר המוליך (שרדיוסו R1).
סעיף ז (8 נק'): אילו משטרים קוואזי-סטטיים ייתכנו בגליל הפנימי? עבור כל משטר, רשמו את התנאים המקשרים בין תכונות החומר (ε,μ,σ) והמימדים לבין תדר המקור ω.
סעיף ח (8 נק'): עבור כל משטר מסעיף ז, חשבו את הפאזורים של השדות (הדומיננטי והמשני) בגליל הפנימי.
נתון התקן אלקטרו-מגנטי המתואר ע"י חתך במישור xz. ההתקן אינסופי ואחיד בציר y (ניתן להניח אורך סופי W המקיים d,L≪W), חצי-אינסופי בכיוון z החיובי ובעל אורך L בכיוון z השלילי. הדפנות במישורים x=0 ו-x=d עשויות מוליך מושלם, ובמישור z=−L סוגר את ההתקן לוח מוליך מושלם. התווך בפנים ריק. במישור z=0 מקור מתח משתנה בזמן מאלץ הפרש מתחים בין הלוח העליון והתחתון, מפולג באחידות ב-y: V(t)=V0cos(ωt). נמצא כי השדה החשמלי אינו תלוי ב-x.
סעיף א (7 נק'): רשמו את תנאי המעבר ותנאי השפה עבור פאזור השדה החשמלי בכל אחד מחלקי ההתקן (z>0 ו-z<0) ובמישור המקור z=0.
סעיף ב (7 נק'): חשבו את פאזור השדה החשמלי (כולל הקבועים) בכל חלק.
סעיף ג (8 נק'): חשבו את וקטור פוינטינג הקומפלקסי בכל חלק. מהו ההבדל העקרוני בין שני החלקים וכיצד הוא בא לידי ביטוי בוקטור פוינטינג?
סעיף ד (7 נק'): הראו את קיום משפט פוינטינג הקומפלקסי עבור צד שמאל (z<0).
סעיף ה (7 נק'): מהו אימפדנס הכניסה במישור z=0 עבור ההתקן המלא?
סעיף ו (7 נק'): ממלאים את הצד הימני (z≥0) בחומר פרואלקטרי בעל צפיפות קיטוב P=P0x^ (P0 קבוע). חשבו את השדה החשמלי הכולל בצד הימני.
סעיף ז (7 נק'): כמו סעיף ו, אך כעת P=P0dxx^. שימו לב שבשל התלות ב-x ההנחה על אי-תלות השדה ב-x אינה תקפה בהכרח. חשבו את השדה החשמלי הכולל בצד הימני. רמז: ניתן להתחיל מחוק גאוס הדיפרנציאלי.
נתון התקן אלקטרו-מגנטי המתואר ע"י חתך במישור xz. ההתקן אינסופי ואחיד בציר y וחצי-אינסופי בציר z. הדפנות במישורים x=0 ו-x=d עשויות מוליך מושלם. התווך בתוך ההתקן מאופיין במקדמים יחסיים εr,μr. במישור z=0 מאולצת צפיפות זרם משטחית מפולגת באחידות ב-y: Js(t)=K0cos(ωt)x^. עובי ההתקן d מקיים d≪λ. התווך מעל ומתחת (x<0, x>d) הוא ריק והשדות בו אפס.
עבור סעיפים א,ב בלבד נתון שפאזור השדה החשמלי בתוך ההתקן הוא E=E1e−jk⋅r+E2ejk⋅r, כאשר E1,E2 וקטורים קבועים ו-∣E1∣2+∣E2∣2=E0 (E0 נתון).
סעיף א (7 נק'): בעזרת תנאי השפה, קבעו את E1, E2 ואת וקטור הגל k.
סעיף ב (7 נק'): רשמו את פאזור השדה המגנטי בתוך ההתקן.
כעת סוגרים את ההתקן מצידו הימני בתווך חצי-אינסופי עם μr→∞. הסעיפים הבאים מתייחסים לתחום 0<x<d, 0<z<L.
סעיף ג (7 נק'): רשמו את תנאי השפה שהפאזורים מקיימים בהתקן.
סעיף ד (7 נק'): חשבו את הפאזורים של השדות בהתקן.
סעיף ה (7 נק'): הראו את קיום משפט פוינטינג הקומפלקסי בהתקן.
סעיף ו (7 נק'): חשבו את אימפדנס הכניסה להתקן.
סעיף ז (8 נק'): כעת נתון שלחומר יש גם מוליכות σ. כיצד תשתנה התשובה לסעיף ד? הדרכה: הסבר מילולי וחישוב קצר.
נתון חתך התקן אלקטרו-מגנטי במישור xz, בעל אורך 2L בציר z ועובי d בציר x. ההתקן מוזן ע"י V(t)=V0cos(ωt) (V0 ממשי נתון). החומר מאופיין במקדמים יחסיים קבועים μr,εr. ההתקן אינסופי בציר y וצר מאוד בציר x (d≪L). המישורים x=0, x=d ו-z=L עשויים מוליך מושלם, המקור ב-z=−L. אין מקור חופשי ושדות מחוץ להתקן אפס.
סעיף א (2 נק'): מהם כיווני השדות הא"מ בהתקן ובאילו קואורדינטות הם תלויים?
סעיף ב (3 נק'): רשמו את תנאי השפה שעל פאזור השדה החשמלי לקיים.
סעיף ג (15 נק'): מצאו את פאזור השדה החשמלי בתוך ההתקן, בצורה הפשוטה ביותר לאחר הצבת הקבועים. רמז: 2jsin(az)=ejaz−e−jaz.
סעיף ד (5 נק'): מצאו את פאזור השדה המגנטי בתוך ההתקן.
כעת נבחן את התנהגות ההתקן בגבול הקוואזי-סטטי.
סעיף ה (5 נק'): מהו התנאי על המכפלה kL לקיום הנחת הקוואזי-סטטיקה?
סעיף ו (10 נק'): בעזרת התנאי מסעיף ה, בצעו קירוב טיילור מסדר ראשון לפאזורי השדה החשמלי והמגנטי, ורשמו אותם במפורש.
סעיף ז (10 נק'): באיזה משטר קוואזי-סטטי נמצא ההתקן? ההסבר חייב להתייחס לתוצאות סעיף ו.
נתון חתך התקן אלקטרומגנטי הבנוי מחומר לא-איזוטרופי: עבור ציר x מקדם דיאלקטרי יחסי εr,x ומקדם מגנטי יחסי μr,x, ועבור ציר y מקדם דיאלקטרי יחסי εr,y ומקדם מגנטי יחסי μr,y (כל המקדמים קבועים). החומר אינסופי ביחס ל-x,y ואורכו בציר z הוא L. אין מקורות חופשיים. גל א"מ מישורי המתקדם בכיוון z בעל תדר ω ואמפליטודה ממשית E0 פוגע בהתקן ב-z=0; הגל מקוטב לינארית בזווית 45∘ ביחס לציר x. יש להתעלם מהחזרות (התקדמות ב-+z בלבד).
עבור סעיפים א–ד נתון μr,x=μr,y=1 ו-L=8εr,x−εr,yλ, כאשר λ הוא אורך הגל בריק.
סעיף א (2 נק'): רשמו את הפאזור של השדה החשמלי באזור z<0.
סעיף ב (3 נק'): מהו תנאי המעבר על מישור z=0 עבור הפאזור של השדה החשמלי?
סעיף ג (5 נק'): מהו הפאזור של השדה החשמלי בתוך הגביש עבור 0<z≤L?
סעיף ד (15 נק'): רשמו את הפאזור של השדה החשמלי במישור היציאה z=L בצורתו הפשוטה ביותר, והסבירו מהו סוג הקיטוב (לינארי, מעגלי או אליפטי).
כעת ע"י שינוי μr,x,μr,y רוצים לקבל קיטוב מעגלי בלבד במוצא הגביש, כאשר אורך הגביש נותר ללא שינוי.
סעיף ה (10 נק'): מהו הפאזור של השדה החשמלי בתוך הגביש עבור μr,x,μr,y כלליים?
בסעיפים הבאים הניחו μr,x=μr,y=μr.
סעיף ו (10 נק'): מהו הערך המינימלי של μr שעבורו יתקבל קיטוב מעגלי במוצא הגביש?
סעיף ז (5 נק'): מהם כל ערכי μr שעבורם יתקבל קיטוב מעגלי במוצא הגביש?
נתון חתך התקן אלקטרו-מגנטי במישור xz, אינסופי בכיוון z ובכיוון y. הכיול הוא כיול לורנץ ∇⋅A=−c21∂t∂U (A פוטנציאל מגנטי וקטורי, U פוטנציאל חשמלי סקלרי). המרחב בפנים חסר מקורות. על x=0 מאולץ U=U0cos(ωt) ועל x=d מאולץ U=0. כל הסעיפים בתחום 0≤x≤d.
סעיף א (3 נק'): רשמו את המשוואה הדיפרנציאלית ש-U מקיים בתוך ההתקן (רק לרשום את סוג המשוואה).
סעיף ב (5 נק'): באילו קואורדינטות מרחביות U יכול להיות תלוי? נמקו.
סעיף ג (5 נק'): רשמו את המשוואה מסעיף א באופן מפורש (הציבו את מסקנות סעיף ב).
סעיף ד (3 נק'): העבירו לרישום פאזורי עבור U~ ורשמו את תנאי השפה.
כעת נתון d=4λ, כאשר λ אורך הגל המתאים לתדר ω.
סעיף ה (10 נק'): פתרו את המשוואה עבור U~ ורשמו את U(x,t) בתחום הזמן.
סעיף ו (10 נק'): האם קיימים עוד ערכי d שעבורם נקבל את אותו ביטוי בדיוק? אם כן מצאו אותם, אחרת הסבירו מדוע לא.
כעת נתון A(x,t)=c1U0sin(cωx)sin(ωt)x^.
סעיף ז (9 נק'): חשבו את האינדוקציה המגנטית B ואת השדה החשמלי E בתחום הזמן.
סעיף ח (5 נק'): הסבירו את התוצאה של סעיף ז (הסבר מילולי, ללא חזרה על החישוב).
נתונה ליבה מגנטית בצורת טורוס מחומר פרומגנטי עם μr≫1. מסביב לליבה כרוך תיל נושא זרם קבוע בזמן I (DC) עם N ליפופים. עובי הליבה D ורדיוסה R, כך ש-D≪R. כיוון ההיקפי של הטורוס מסומן θ^ וכיוון החתך φ^. רשמו את גודל השדות כפונקציה של נתוני הבעיה בלבד.
סעיף א (5 נק'): מהי האינדוקציה המגנטית B בתוך הליבה?
סעיף ב (5 נק'): מהי המגנטיזציה M בתוך הליבה?
סעיף ג (5 נק'): האם צפיפות זרם המגנטיזציה הנפחי JM שווה לאפס בתוך הליבה?
סעיף ד (5 נק'): מהי צפיפות זרם המגנטיזציה המשטחי JMS על שפת הליבה?
סעיף ה (10 נק'): בהינתן JM(r), JMS(r) וצפיפות הזרם החופשי J(r), רשמו ביטוי אינטגרלי לפוטנציאל המגנטי הוקטורי A(r).
כעת נתון שהזרם הוא I(t)=IACcos(ωt), וההתקן במשטר מגנטו-קוואזי-סטטי.
סעיף ו (10 נק'): חשבו את הפאזור של השדה החשמלי E (בהנחה שהוא בכיוון המשיקי של הזרם, φ^).
כעת נתון I(t)=IDC+IACcos(ωt).
סעיף ז (10 נק'): מצאו את השדה החשמלי E בתחום הזמן, בהנחת מגנטו-קוואזי-סטטיקה.
סעיף ח (10 נק'): נתון עקום B–H המגיע לרוויה Bs, וכי IDC יוצר Bs עם IDC≫IAC. כיצד תשתנה התשובה לסעיף ז?
נתון חתך התקן אלקטרומגנטי במישור xz. ההתקן אינסופי ואחיד בכיוון y וחצי-אינסופי בכיוון z. הדפנות ב-x=0 ו-x=d עשויות מוליך מושלם, השדות מחוץ להתקן אפס, והתווך בפנים ריק. ההתקן דק מאוד ביחס לאורך הגל (d≪λ). בכניסה (z=0) מאולץ מקור מתח V(t)=V0cos(ωt).
עבור סעיפים א–ג נניח שהשדות מקיימים את משוואת הגלים בריק.
סעיף א (5 נק'): מהם כיווני השדה החשמלי והמגנטי בהתקן ובאילו קואורדינטות הם תלויים?
סעיף ב (5 נק'): הוכיחו כי השדה החשמלי משמר על פני המישורים z=const.
סעיף ג (7 נק'): מצאו את פאזורי השדה החשמלי והמגנטי בתוך ההתקן (כולל הקבועים).
כעת סוגרים את ההתקן ב-z=L בלוח מוליך מושלם, והתווך בפנים מאופיין ע"י σ,ε=ε0εr,μ0 קבועים, כאשר σ≫ωε0εr.
סעיף ד (5 נק'): פתחו את המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני עבור השדה החשמלי.
סעיף ה (5 נק'): רשמו את הביטוי הכללי לפאזורי השדה החשמלי והמגנטי (ללא חישוב הקבועים).
סעיף ו (5 נק'): בסעיף זה בלבד נתון L→∞. חזרו על סעיף ה.
סעיף ז (8 נק'): איזה תנאי צריך L לקיים כדי שהתוצאה מסעיף ו תהיה נכונה בקירוב? האם ייתכן שהתקן כזה יהיה במשטר קוואזי-סטטי?
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןמועד א · 2020 · סמסטר ב
★★★★★
גלים אלקטרומגנטייםמשוואת הגליםחוק פאראדיישדה מגנטימוליכיםעומק חדירהקוואזי-סטטיקהתנאי שפהשדה חשמלי
התקן מורכב משני גלילים קונצנטריים ברדיוסים R1;R2 ואורכם d. בתחום r<R1 חומר בעל מוליכות σ1, בתחום R1<r<R2 חומר מבודד (μ0,ϵ0), ובבסיסי הגלילים (z=0,d) המוליכות אינסופית. דרך שפת הגליל החיצוני מזינים זרם משטחי
K(t)=K1cos(ωt)z^+K2cos(2ωt)z^.
נתון d≪R2, σ1→∞. הניחו סימטריה אזימוטלית, שדות אפס מחוץ להתקן, שדה מגנטי אזימוטלי בלבד, שדה חשמלי בכיוון z^ בלבד, והזנחת אפקטי קצוות.
1. באילו תנאים מתקיים בהתקן משטר קווזי-סטטי?
2. בהנחה שהתנאים בסעיף 1 מתקיימים, באיזה משטר קווזי-סטטי נמצא ההתקן? הסבירו.
3. חשבו את השדות החשמלי והמגנטי בהתקן (עם תלות זמנית).
4. מהו הערך הממוצע בזמן של וקטור פוינטינג?
5. מהי צפיפות המטען המשטחית על פני כל אחת מהפלטות לכל זמן t?
6. מהי צפיפות הזרם המשטחית על פני בסיסי הגלילים לכל זמן t?
בשני הסעיפים הבאים נתון K2=0.
7. מהו אימפדנס הכניסה שרואה מקור הזרם כפונקציה של התדר, ומהו המעגל המקובץ המתאים?
8. כעת σ1 סופי. מהם התנאים על σ1 כדי שהמשטר מסעיף 2 עדיין יתקיים?
מערכת קו תמסורת עילי: שני חוטים בגובה h=20m, מרחק בין החוטים d=5m, אורך L=10km. בכניסה מוזרק זרם I(t)=Re[I0ejωt] עם f=50Hz, I0=1kA. הנקודה A בראשית, התיל מוליך מושלם, Ex,y(z=L)=0, ומצב התפשטות TEM. בחישוב השדה המגנטי ניתן להזניח אפקטי קצוות (חוטים אינסופיים).
א. חשבו את אורך הגל. האם ניתן להניח קווזי-סטטיקה? קבעו את המשטר.
ב. רשמו שדות חשמלי ומגנטי מסדר אפס.
ג. שרטטו את קווי השדה הדומיננטי במישור XY.
ד. חשבו את השדה הדומיננטי על פני הקרקע במרחק שווה בין שני התיילים.
ה. רשמו את המשוואה הדיפרנציאלית של התיקון הראשון לשדה המשני.
ו. חשבו את התיקון הראשון לשדה המשני על פני הקרקע במרחק שווה בין התיילים.
ז. ציירו את קווי השדה המשני במישור XY עבור −2d≤x≤2d.
ח. מציבים סליל על הקרקע במרחק שווה בין התיילים למדידת השדה המגנטי; N ליפופים, קוטר D≪d, μr=1. (a) מהי האוריינטציה הנדרשת? (b) חשבו את מתח ההדקים הפתוחים המושרה.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןמועד א, חלק 1 · 2016 · סמסטר א
★★★★★
קוואזי-סטטיקהחוק אמפרשדה מגנטיאינדוקציה אלקטרומגנטיתחוק פאראדייהשראותשדה חשמלי
שאלות חוק פאראדיי בשדות אלקטרומגנטיים עם פתרונות
שאלות תרגול בשדות אלקטרומגנטיים בנושא חוק פאראדיי ממבחנים של הטכניון. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא חוק פאראדיי.