איך לתרגל שאלות משוואת לפלס בשדות אלקטרומגנטיים?

באתר prepd תמצאו שאלות משוואת לפלס בשדות אלקטרומגנטיים ממבחנים אמיתיים של הטכניון. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות משוואת לפלס יש בשדות אלקטרומגנטיים?

באתר prepd יש עשרות שאלות משוואת לפלס בשדות אלקטרומגנטיים ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על משוואת לפלס לקראת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים?

משוואת לפלס הוא אחד הנושאים המרכזיים בשדות אלקטרומגנטיים. תרגול שאלות ממבחנים בנושא משוואת לפלס הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

שדות אלקטרומגנטיים - משוואת לפלס

אלקטרוסטטיקה, מגנטוסטטיקה, משוואות מקסוול וגלים אלקטרומגנטיים

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של בעיות ערך שפה

רמת קושי:

נתונה תיבה העשויה מחומר פרואלקטרי עם פולריזציה קבועה במרחב (לא תלויה ב-

r

) המכוונת בכיוון

y

P_{1} = P_{1} \overset{y}{^}

. התיבה אינסופית בכיוונים

x, z

וגובהה (בציר

y

) הוא

L

(בין

y = 0

ל-

y = L

). אין מטענים חופשיים, ומחוץ לחומר

D (r) = 0

.

סעיף 1 (5 נק'): מה השדה החשמלי

E (r)

בתוך ההתקן?

סעיף 2 (4 נק'): מהו

ρ_{P, s}

על שפות התיבה

y = 0

ו-

y = L

?

כעת מוסיפים תיבה נוספת (בין

y = L

ל-

y = 2 L

) מחומר פרואלקטרי בעל פולריזציה המשתנה במרחב

P_{2} (r) = P_{2} y^{2} \overset{y}{^}

, אינסופית ב-

x, z

וגובהה

L

.

סעיף 3 (8 נק'): מהו

ρ_{P, s}

במשטחים

y = 0

y = L

ו-

y = 2 L

?

סעיף 4 (5 נק'): מה השדה החשמלי בכל אחת מהתיבות?

סעיף 5 (10 נק'): האם ניתן למצוא

ϕ_{D} (r)

כך שבכל המרחב

D (r) = - \nabla ϕ_{D} (r)

? אם לא, הסבירו מדוע; אם כן, הסבירו ומצאו את המשוואה שיש לפתור עבור

ϕ_{D} (r)

.

בסעיפים הבאים התיבה הראשונה מוכנסת בין לוחות קבל המאלצים צפיפות מטען חופשי משטחית (חיובית על הלוח העליון, שלילית על התחתון):

ρ_{s} = ρ_{s, 0} + ρ_{s, 1} cos ω t

, כאשר

ω

נמוך דיו לקיום קוואזי-סטטיקה, והמקדם הדיאלקטרי היחסי של החומר הוא

1

.

סעיף 6 (8 נק'): מהו השדה החשמלי הכולל

E (r, t)

בתחום

0 \leq y \leq L

?

סעיף 7 (10 נק'): מהו סך צפיפות האנרגיה החשמלית הממוצעת בזמן

⟨ w_{E} ⟩

ב-

y = L /2

? הדרכה: התחילו בתחום הזמן ובצעו מיצוע מפורש.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד א · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

דיאלקטריקיםקיטובשדה ההעתקהחוק גאוסתנאי רציפותפוטנציאל חשמלימשוואת לפלסאנרגיה אלקטרוסטטיתקוואזי-סטטיקהמקדם דיאלקטרי

נתונה קוביה פרו-אלקטרית בעלת אורך צלע

a

שמרכזה בראשית הצירים, בעלת וקטור צפיפות קיטוב

P (r)

. הקוביה מוקפת במוליך מושלם מוארק המאלץ פוטנציאל חשמלי אפס על שפתה.

סעיף א (4 נק'): מהי המשוואה שהפוטנציאל החשמלי

ϕ

מקיים בתוך הקוביה ומחוצה לה?

עבור סעיפים ב–ה נתון

P (r) = P_{0} (\overset{x}{^} + \overset{y}{^})

, כאשר

P_{0}

סקלר ממשי קבוע במרחב.

סעיף ב (4 נק'): מהי כעת המשוואה שהפוטנציאל

ϕ

מקיים בתוך ומחוץ לקוביה?

סעיף ג (5 נק'): מהי צפיפות מטען הקיטוב המשטחי על כל אחת משפות הקוביה?

סעיף ד (7 נק'): מהו השדה החשמלי

E (r)

בכל המרחב (בתוך ומחוץ לקוביה)?

סעיף ה (8 נק'): מהי צפיפות המטען המשטחי על כל אחת מפאות המוליך המושלם?

עבור שני הסעיפים הבאים נתון

P (r) = P_{0} {x^{2} \overset{x}{^} + [y^{2} - (\frac{a}{2})^{2}] \overset{y}{^} + [z^{2} - (\frac{a}{2})^{2}] \overset{z}{^}}

.

סעיף ו (10 נק'): נתון כי פונקציית גרין בתוך התיבה ידועה ומסומנת

G (r ∣ r_{s})

. רשמו ביטוי אינטגרלי לפוטנציאל

ϕ

בתוך ומחוץ לקוביה.

סעיף ז (12 נק'): מסירים את המוליך המושלם (התיבה נשארת ללא אילוץ פוטנציאל על שפתה). רשמו ביטוי אינטגרלי לפוטנציאל

ϕ

בכל המרחב, מפושט ומפורש ככל הניתן.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד ב · 2021 · סמסטר א

★★★★★

דיאלקטריקיםקיטובשדה ההעתקהחוק גאוסמשוואת לפלסמשוואת פואסוןפוטנציאל חשמלימוליכיםבעיות ערך שפהפונקציית גרין

נתונים שני לוחות ריבועיים בצלע

D

מחומר מוליך מושלם: הלוח ב-

y = - b

מוארק (

U = 0

) והלוח ב-

y = a

מוחזק בפוטנציאל קבוע

V

. על המישור

y = 0

שבין הלוחות מאולצת צפיפות מטען משטחית חופשית

ρ_{s} = ρ_{0} sin (k x)

. ההתקן צר מאוד,

D ≫ a + b

. כל הסעיפים בתחום שבין הלוחות.

עבור סעיפים א,ב נתון

V = 0

.

סעיף א (10 נק'): רשמו את המשוואה הדיפרנציאלית ש-

U

מקיים, ואת תנאי השפה והמעבר הרלוונטיים.

סעיף ב (15 נק'): רשמו את הביטוי ל-

U

בתוך ההתקן (בעזרת פונקציות היפרבוליות; אין צורך לחשב קבועים במפורש).

עבור סעיף ג נתון

V = V_{0}

(ועדיין מאולצת צפיפות מטען על

y = 0

).

סעיף ג (5 נק'): מהו

U

בתוך ההתקן?

עבור הסעיפים הבאים

V = Re {V_{0} e^{j ω t}}

.

סעיף ד (5 נק'): מהו התנאי על

ω

כדי לעבוד במשטר קוואזי-סטטי? איזה משטר?

סעיף ה (10 נק'): בהנחת התנאי מסעיף ד, מצאו את השדה החשמלי

E

בתחום הזמן.

סעיף ו (5 נק'): מהי צפיפות האנרגיה החשמלית הממוצעת בזמן

⟨ w_{e} ⟩

בתוך ההתקן?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד ב · 2020 · סמסטר ב

★★★★★

משוואת לפלספוטנציאל חשמליתנאי שפהתנאי רציפותשדה ההעתקהמוליכיםקוואזי-סטטיקהאנרגיה אלקטרוסטטיתקיבולשדה חשמלי

נתון גליל בעל רדיוס

R

, אינסופי ביחס לציר

z

. מחוץ לגליל וקטור המגנטיזציה הוא

M_{o u t} = M_{1} \overset{y}{^}

, ובתוך הגליל

M_{in} = M_{2} \overset{x}{^}

(

M_{1}, M_{2}

קבועים נתונים,

ε_{r} = 1

). מרכז הגליל מתלכד עם ראשית הצירים.

א. מהי צפיפות מטען הקיטוב (המגנטי) המשטחי

ρ_{s m}

על פני הגליל?

ב. בעזרת משוואות מקסוול הסבירו מדוע ניתן להגדיר פוטנציאל מגנטי סקלרי

U_{m}

.

ג. מצאו את

U_{m}

בכל המרחב (בהנחה

∣ U_{m} (r \to \infty) ∣ < \infty

).

ד. מצאו את השדה המגנטי בכל המרחב.

כעת נתון כי בתוך הגליל קיימת צפיפות זרם נפחית

J = J_{0} \overset{z}{^}

, בנוסף למגנטיזציה.

ה. בעזרת משוואות מקסוול הסבירו האם כעת ניתן להגדיר פוטנציאל מגנטי סקלרי.

ו. מצאו את השדה המגנטי בכל המרחב.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד ב · 2020 · סמסטר א

★★★★★

מגנטיזציהחומרים מגנטייםמשוואת לפלסעוצמת שדה מגנטישדה מגנטיחוק אמפר

נתון גליל פרואלקטרי (ferroelectric), אינסופי ביחס לציר

z

ובעל רדיוס

R

, עם וקטור צפיפות קיטוב

P (r) = P_{0} \overset{y}{^}

(

P_{0}

קבוע נתון). מרכז הגליל בראשית, המרחב מחוצה לו חופשי, והפוטנציאלים אינם מתבדרים באינסוף.

א. מהי צפיפות מטען הקיטוב המשטחי

ρ_{s p}

על פני הגליל?

ב. מצאו את הפוטנציאל החשמלי הסקלרי

U

בכל המרחב.

ג. מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב.

לסעיפים ד–ו: נוסף מישור אינסופי מוארק, ממוליך מושלם, במרחק

D

ממרכז הגליל בציר

x

.

ד. מהו הפוטנציאל החשמלי הסקלרי בכל המרחב? (רמז: קואורדינטות קרטזיות.)

ה. מהי צפיפות המטען המשטחי החופשי

ρ_{s, free}

על פני המישור המוארק?

ו. מהי צפיפות מטען הקיטוב המשטחית

ρ_{s p}

על פני הגליל?

כעת וקטור צפיפות הקיטוב משתנה הרמונית בזמן,

P (t) = P_{0} cos (ω t) \overset{y}{^}

, בהנחת משטר קווזי-סטטי בתוך הגליל, ושדה מגנטי בכיוון

\overset{z}{^}

המתאפס בראשית.

ז. קבעו איזה סוג משטר קווזי-סטטי מתקיים בתוך הגליל, ונמקו.

ח. חשבו את השדות

E (r, t)

ו-

H (r, t)

בתוך הגליל.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד א · 2020 · סמסטר א

★★★★★

קיטובדיאלקטריקיםמשוואת לפלסשיטת הדמויותפוטנציאל חשמלישדה חשמליקוואזי-סטטיקה

נתון קבל לוחות באורך

L

ובעובי

d

(

d ≪ L

), המחולק לשני חלקים שווים בגובהם. החלק התחתון (

0 < z < d /2

) ממולא בחומר דיאלקטרי בעל מקדם דיאלקטרי

ϵ_{r}

, והחלק העליון (

d /2 < z < d

) ממולא בחומר פרו-אלקטרי עם פולריזציה

P (r) = P_{0} \overset{z}{^}

. על הקבל מופעל מתח קבוע

V_{0}

(הלוח התחתון מוארק,

z = 0

; העליון ב-

z = d

במתח

V_{0}

). מחוץ להתקן השדות מתאפסים.

א. מצאו את המשוואה שהפוטנציאל החשמלי מקיים בכל אחד מן התחומים בתוך ההתקן.

ב. רשמו את הביטויים עבור הפוטנציאל והשדה החשמלי בהתקן, ואת תנאי המעבר והשפה הדרושים לפתרון (אין צורך למצוא את המקדמים).

ג. מצאו את השדה החשמלי בהתקן.

ד. מהי צפיפות המטען המשטחי החופשי

ρ_{S, f}

ב-

z = d

?

ה. מהי צפיפות מטען הקיטוב המשטחית

ρ_{S, P}

ב-

z = d /2

?

ו. בסעיף זה בלבד

P (r) = P_{0} \overset{y}{^}

. מצאו את השדה החשמלי בהתקן במקרה זה.

עבור הסעיפים הבאים מחליפים את מקור המתח הקבוע במקור מתח בעל תדר

ω

V_{a c} cos (ω t)

.

ז. מהו התנאי על נתוני השאלה לכך שהמשוואה שמצאתם בסעיף א תקפה גם למקרה זה? הסבירו.

ח. מהו השדה החשמלי בתוך ההתקן?

ט. מהו הזרם שמוזרם ע"י מקור המתח? ניתן להניח שהאלקטרודות ריבועיות עם שטח

L^{2}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד א · 2019 · סמסטר ב

★★★★★

קיטובדיאלקטריקיםמשוואת לפלספוטנציאל חשמלישדה חשמליקבלשדה ההעתקה

נתון התקן המורכב משני לוחות מוליכים מושלמים עגולים קונצנטריים ברדיוס

R_{2}

. בחלל בין הלוחות (גובה

h

) מכניסים קליפה גלילית ברדיוס

R_{1}

ממוליך מושלם, בעלת ציר סימטריה משותף עם הלוחות. את החלל הנותר ממלאים בחומר מגנטי בעל וקטור מגנוט

M

המפולג באחידות בהיקף. ההתקן מוזן ע"י זרם משטחי

K = K_{0} cos (ω t) \overset{z}{^}

. הנחות:

h ≪ R_{1}, R_{2}

(הזנחת אפקטי קצוות),

ϵ_{r} = 1

, אין שדות מחוץ להתקן, וסימטריה אזימוטלית מלאה (

\partial_{ϕ} = 0

).

עבור סעיפים א-ד נתון

M = 0

.

א. מהו התנאי על תדר המקור

ω

כדי לנתח את ההתקן בקירוב הקווזי-סטטי?

ב. באיזה משטר נמצא ההתקן? פרטו כיצד קבעתם.

ג. חשבו את פאזורי השדה החשמלי והמגנטי בהתקן.

ד. האם מתבזבז הספק בהתקן? נמקו מילולית.

עבור סעיפים ה-ו נתון

M = M_{0} n = 0 \sum 10 (\frac{z}{r})^{n} \hat{ϕ}

(

M_{0}

קבוע).

ה. חשבו את צפיפות מטען המגנוט הנפחית

ρ_{m}

והמשטחית

ρ_{s m}

בהתקן ועל שפתיו.

ו. האם השדות החשמלי והמגנטי שונים מאלה שבסעיף ג? אם כן חשבו, אם לא הסבירו מדוע.

עבור סעיפים ז-ח נתון

M = \frac{M _{0}}{r} \overset{r}{^}

(

M_{0}

קבוע) וכן

K_{0} = 0

.

ז. מדוע ניתן להגדיר פוטנציאל מגנטי סקלרי בתוך ההתקן? כתבו צורת פתרון כללי.

ח. חשבו במפורש את הפוטנציאל המגנטי הסקלרי

U_{m}

בתוך ההתקן (ניתן להניח

U_{m} = 0

ב-

r = R_{2}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד ב · 2019 · סמסטר א

★★★★★

קוואזי-סטטיקהחוק אמפרמגנטיזציהעוצמת שדה מגנטימשוואת לפלסחומרים מגנטייםפוטנציאל חשמלי

נתון כדור פרו-אלקטרי ברדיוס

R_{1}

בעל וקטור צפיפות קיטוב

P

, המוקף בקליפה כדורית מוארקת ברדיוס

R_{2}

. בכל המרחב (פרט לכדור הפרו-אלקטרי) המקדם הדיאלקטרי הוא

ϵ_{0}

.

1. באילו תנאים מקיים הפוטנציאל החשמלי הסקלרי את משוואת לפלס בכל המרחב?

כעת נתון כי

P = P_{0} \overset{z}{^}

.

2. מצאו את צפיפויות מטען הקיטוב הנפחית

ρ_{P} (r)

והמשטחית

ρ_{P, S} (r)

בכל המרחב.

3. חשבו את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב.

4. מהו המטען הכולל על הקליפה הכדורית המוארקת?

5. בהינתן שפונקציית גרין של הבעיה ידועה,

G (r ∣ r_{s})

, רשמו את הביטוי עבור הפוטנציאל החשמלי עבור

r < R_{2}

ע"י משפט גרין. ניתן להשתמש ב-

ρ_{t o t} (r) = ρ_{P} (r) + ρ_{P, S} (r) δ (r - R_{1})

(אין צורך בפתרון האינטגרלים).

עבור הסעיפים הבאים ניתן להניח שהפוטנציאל שחושב בסעיפים 3 ו-5 ידוע,

ϕ_{0} (r)

. כעת מפעילים על הקליפה מתח בעל אמפליטודה

V_{0}

ותדר זוויתי

ω

.

6. מהו התנאי לשימוש בקירוב האלקטרו-קווזי-סטטי עבור

r < R_{2}

, ומהו התנאי עבור

r > R_{2}

?

7. בהנחה שהתנאי בסעיף 6 מתקיים, מהו השדה החשמלי הכולל עבור

r < R_{2}

? (יש להתעלם מאיברים מסדרים גבוהים בקירוב הקווזי-סטטי.)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד א · 2019 · סמסטר א

★★★★★

קיטובדיאלקטריקיםמשוואת לפלספוטנציאל חשמליפונקציית גריןשדה חשמליקוואזי-סטטיקה

נתון גליל פרו-אלקטרי אינסופי בכיוון

\overset{z}{^}

עם מומנט דיפול סגולי

P (r)

, בעל רדיוס

R

, המצוי בוואקום.

1. מהי המשוואה שהפוטנציאל החשמלי

ϕ

מקיים בתוך הגליל ומחוצה לו?

עבור סעיפים 2-5 נתון

P (r) = P_{0} (α \overset{x}{^} + β \overset{y}{^})

, כאשר

P_{0}, α, β

סקלרים ממשיים קבועים במרחב.

2. מהי כעת המשוואה שהפוטנציאל

ϕ

מקיים בתוך הגליל ומחוצה לו?

3. מהי צפיפות מטען הקיטוב המשטחי על שפת הגליל?

4. מהם תנאי השפה המלאים הדרושים למציאת הפוטנציאל

ϕ

?

5. מהו הביטוי עבור

ϕ

? (אין צורך במציאת המקדמים, אך אין לכלול מקדמים שערכם אפס זהותית.)

עבור סעיפים 6-7 נתון

P (r) = P_{0} \overset{y}{^}

.

6. מהו הפוטנציאל החשמלי

ϕ

בכל המרחב?

7. מהו השדה החשמלי

E

בכל המרחב?

עבור סעיף 8 נתון

P (r) = P_{0} \overset{ρ}{^}

(רדיאלי בקואורדינטות גליליות).

8. האם הפוטנציאל

ϕ

בתוך הגליל מקיים את משוואת לפלס? אם כן — הוכיחו; אם לא — מצאו את המשוואה שהוא מקיים.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד א · 2018 · סמסטר ב

★★★★★

קיטובדיאלקטריקיםמשוואת לפלסמשוואת פואסוןפוטנציאל חשמלישדה חשמליתנאי שפה

התקן בנוי מגליל ברדיוס

R_{1}

מחומר מגנטי בעל וקטור מגנוט

M_{1}

, המוכנס לקליפה גלילית עבה (רדיוס פנימי

R_{1}

, חיצוני

R_{2}

) בעלת וקטור מגנוט

M_{2}

. מחוץ להתקן ריק. הנחות: ההתקן אינסופי בכיוון

z

, אין שינוי בזמן, והפוטנציאלים אינם מתבדרים ב-

r \to \infty

. לכל אורך השאלה

M_{1} = M_{0} (sin θ \overset{r}{^} + (cos θ + \frac{R _{1}}{r}) \hat{θ})

כאשר

M_{0}

קבוע.

עבור סעיפים א-ג הצורה הכללית של

M_{2} = α (θ) \overset{r}{^} + β (θ) \hat{θ}

, המקיים

\nabla \cdot M_{2} = 0

; צפיפות מטען המגנוט על

r = R_{1}

היא

ρ_{s m} = 2 μ_{0} M_{0} sin θ

.

א. מהן הפונקציות

α (θ), β (θ)

בהינתן

β (θ = \frac{π}{2}) = 0

?

ב. מהו סך מטען המגנוט ליחידת אורך ב-

\overset{z}{^}

על המשטחים

r = R_{1}

ו-

r = R_{2}

?

ג. מהי צפיפות הזרם המגנטי הנפחי

J_{M}

בכל המרחב?

עבור כל הסעיפים הבאים

M_{2} = 0

(הקליפה מוחלפת בריק), כך שיש רק שני תחומים.

ד. האם ניתן להגדיר פוטנציאל מגנטי סקלרי

U_{m}

? התייחסו לכל תחום בנפרד.

ה. מהם תנאי השפה עבור

U_{m}

ונגזרותיו בכל תחום (הפוטנציאל אינו מתבדר)?

ו. פתרו את הפוטנציאל בכל המרחב.

ז. מהו השדה המגנטי בכל המרחב?

ח. מהי צפיפות האנרגיה המגנטית בכל נקודה במרחב?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד ב · 2018 · סמסטר ב

★★★★★

מגנטיזציהחומרים מגנטייםמשוואת לפלסעוצמת שדה מגנטישדה מגנטיאנרגיה מגנטיתתנאי רציפות

שאלות משוואת לפלס בשדות אלקטרומגנטיים עם פתרונות

שאלות תרגול בשדות אלקטרומגנטיים בנושא משוואת לפלס ממבחנים של הטכניון. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא משוואת לפלס.