כדי לגשת למבחני סימולציה ועוד המון שאלות נוספות, פתחו גישה מלאה
רמת קושי:
נתון התקן אלקטרומגנטי בעל סימטריה גלילית: גובה ההתקן בציר z הוא d והרדיוס החיצוני R2. שני בסיסים עגולים ב-z=0 וב-z=d עשויים מוליך מושלם. התווך בתוך ההתקן ומחוצה לו הוא ריק. בגליל פנימי שרדיוסו R1 יש מוליכות חשמלית σ וציר סימטריה משותף עם הבסיסים. ההתקן מחובר למקור זרם המפולג באחידות על המעטפת ρ=R2; הזרם הכולל על מעטפת זו הוא I0cos(ωt) בכיוון השלילי של z^, ומוזרם אל/מהגליל הפנימי דרך הבסיסים (זרם משטחי רדיאלי). נתון d≪R1,R2 ולכן השדות אינם משתנים ביחס ל-z.
סעיף א (4 נק'): מהם רכיבי השדה החשמלי שאינם מתאפסים בהתקן?
עבור סעיפים ב–ו נתון σ→∞ בגליל הפנימי.
סעיף ב (6 נק'): מה התנאי על תדר המקור לקבלת משטר קוואזי-סטטי בהתקן? מה סוג המשטר שיתקבל?
סעיף ג (6 נק'): בהנחת המשטר הקוואזי-סטטי, מהו פאזור השדה הדומיננטי בתחום 0<ρ<R2? ומהו מחוץ להתקן, מיד ליד המעטפת (ברדיוס גדול במקצת מ-R2)?
סעיף ד (6 נק'): מהו פאזור התיקון הראשון בשדה המשני בתחום 0<r<R2? ומהו מחוץ להתקן מיד ליד המעטפת?
סעיף ה (6 נק'): מהי צפיפות הזרם המשטחית על הבסיסים העגולים ועל המעטפת ב-r=R2?
סעיף ו (6 נק'): מהו אימפדנס הכניסה להתקן (הכניסה מוגדרת כמעטפת r=R2)?
עבור סעיפים ז–ח נתון כי σ בגליל הפנימי סופי והזרם מפולג באחידות בתוך החומר המוליך (שרדיוסו R1).
סעיף ז (8 נק'): אילו משטרים קוואזי-סטטיים ייתכנו בגליל הפנימי? עבור כל משטר, רשמו את התנאים המקשרים בין תכונות החומר (ε,μ,σ) והמימדים לבין תדר המקור ω.
סעיף ח (8 נק'): עבור כל משטר מסעיף ז, חשבו את הפאזורים של השדות (הדומיננטי והמשני) בגליל הפנימי.
נתונה תיבה העשויה מחומר פרואלקטרי עם פולריזציה קבועה במרחב (לא תלויה ב-r) המכוונת בכיוון y: P1=P1y^. התיבה אינסופית בכיוונים x,z וגובהה (בציר y) הוא L (בין y=0 ל-y=L). אין מטענים חופשיים, ומחוץ לחומר D(r)=0.
סעיף 1 (5 נק'): מה השדה החשמלי E(r) בתוך ההתקן?
סעיף 2 (4 נק'): מהו ρP,s על שפות התיבה y=0 ו-y=L?
כעת מוסיפים תיבה נוספת (בין y=L ל-y=2L) מחומר פרואלקטרי בעל פולריזציה המשתנה במרחב P2(r)=P2y2y^, אינסופית ב-x,z וגובהה L.
סעיף 3 (8 נק'): מהו ρP,s במשטחים y=0, y=L ו-y=2L?
סעיף 4 (5 נק'): מה השדה החשמלי בכל אחת מהתיבות?
סעיף 5 (10 נק'): האם ניתן למצוא ϕD(r) כך שבכל המרחב D(r)=−∇ϕD(r)? אם לא, הסבירו מדוע; אם כן, הסבירו ומצאו את המשוואה שיש לפתור עבור ϕD(r).
בסעיפים הבאים התיבה הראשונה מוכנסת בין לוחות קבל המאלצים צפיפות מטען חופשי משטחית (חיובית על הלוח העליון, שלילית על התחתון): ρs=ρs,0+ρs,1cosωt, כאשר ω נמוך דיו לקיום קוואזי-סטטיקה, והמקדם הדיאלקטרי היחסי של החומר הוא 1.
סעיף 6 (8 נק'): מהו השדה החשמלי הכולל E(r,t) בתחום 0≤y≤L?
סעיף 7 (10 נק'): מהו סך צפיפות האנרגיה החשמלית הממוצעת בזמן ⟨wE⟩ ב-y=L/2? הדרכה: התחילו בתחום הזמן ובצעו מיצוע מפורש.
נתון חתך התקן אלקטרו-מגנטי במישור xz, בעל אורך 2L בציר z ועובי d בציר x. ההתקן מוזן ע"י V(t)=V0cos(ωt) (V0 ממשי נתון). החומר מאופיין במקדמים יחסיים קבועים μr,εr. ההתקן אינסופי בציר y וצר מאוד בציר x (d≪L). המישורים x=0, x=d ו-z=L עשויים מוליך מושלם, המקור ב-z=−L. אין מקור חופשי ושדות מחוץ להתקן אפס.
סעיף א (2 נק'): מהם כיווני השדות הא"מ בהתקן ובאילו קואורדינטות הם תלויים?
סעיף ב (3 נק'): רשמו את תנאי השפה שעל פאזור השדה החשמלי לקיים.
סעיף ג (15 נק'): מצאו את פאזור השדה החשמלי בתוך ההתקן, בצורה הפשוטה ביותר לאחר הצבת הקבועים. רמז: 2jsin(az)=ejaz−e−jaz.
סעיף ד (5 נק'): מצאו את פאזור השדה המגנטי בתוך ההתקן.
כעת נבחן את התנהגות ההתקן בגבול הקוואזי-סטטי.
סעיף ה (5 נק'): מהו התנאי על המכפלה kL לקיום הנחת הקוואזי-סטטיקה?
סעיף ו (10 נק'): בעזרת התנאי מסעיף ה, בצעו קירוב טיילור מסדר ראשון לפאזורי השדה החשמלי והמגנטי, ורשמו אותם במפורש.
סעיף ז (10 נק'): באיזה משטר קוואזי-סטטי נמצא ההתקן? ההסבר חייב להתייחס לתוצאות סעיף ו.
מקור מתח V(t)=V0cos(ωt) מחובר להתקן גלילי בעל אורך 2d ורדיוס R (מתקיים d≪R); הלוחות החיצוניים עשויים מוליך מושלם. החומר בתוך ההתקן: מוליכות סופית σ בחלקו העליון, וחומר דיאלקטרי בעל מקדם דיאלקטרי יחסי εr בחלקו התחתון. מן המקור זורם זרם פאזורי I. נתון תנאי הפסדים נמוכים σ≫ωε0 עבור החלק העליון. השדה החשמלי מחוץ להתקן אפס.
סעיף א (5 נק'): מהו התנאי על תדר המקור ω כדי שההתקן יהיה במשטר קוואזי-סטטי? באיזה סוג משטר מדובר?
כעת נתון כי בחלק העליון (המוליך) זורם זרם הולכה פאזורי בכיוון −z^ בעל צפיפות זרם אחידה, J=−J0z^. פתרו את הסעיפים הבאים ללא הזנחת הפסדים.
סעיף ב (10 נק'): מצאו את המתח הנופל על כל אחד מחצאי ההתקן (המוליך לחוד והדיאלקטרי לחוד) כפונקציה של V0 ו-J0.
סעיף ג (5 נק'): מצאו את צפיפות המטען המשטחית ρs על השפה העליונה ועל השפה התחתונה.
סעיף ד (10 נק'): מצאו את הפאזור של השדה המגנטי H בכל ההתקן כפונקציה של V0 ו-J0 (אזימוטלי בלבד, מתאפס בציר הסימטריה).
סעיף ה (10 נק'): רשמו את תנאי המעבר על השדה המגנטי בין המוליך לדיאלקטרי, והשתמשו בו לביטוי J0 כפונקציה של V0.
סעיף ו (10 נק'): מצאו את הזרם הפאזורי הכולל I המוזן ממקור המתח.
נתונה ליבה מגנטית בצורת טורוס מחומר פרומגנטי עם μr≫1. מסביב לליבה כרוך תיל נושא זרם קבוע בזמן I (DC) עם N ליפופים. עובי הליבה D ורדיוסה R, כך ש-D≪R. כיוון ההיקפי של הטורוס מסומן θ^ וכיוון החתך φ^. רשמו את גודל השדות כפונקציה של נתוני הבעיה בלבד.
סעיף א (5 נק'): מהי האינדוקציה המגנטית B בתוך הליבה?
סעיף ב (5 נק'): מהי המגנטיזציה M בתוך הליבה?
סעיף ג (5 נק'): האם צפיפות זרם המגנטיזציה הנפחי JM שווה לאפס בתוך הליבה?
סעיף ד (5 נק'): מהי צפיפות זרם המגנטיזציה המשטחי JMS על שפת הליבה?
סעיף ה (10 נק'): בהינתן JM(r), JMS(r) וצפיפות הזרם החופשי J(r), רשמו ביטוי אינטגרלי לפוטנציאל המגנטי הוקטורי A(r).
כעת נתון שהזרם הוא I(t)=IACcos(ωt), וההתקן במשטר מגנטו-קוואזי-סטטי.
סעיף ו (10 נק'): חשבו את הפאזור של השדה החשמלי E (בהנחה שהוא בכיוון המשיקי של הזרם, φ^).
כעת נתון I(t)=IDC+IACcos(ωt).
סעיף ז (10 נק'): מצאו את השדה החשמלי E בתחום הזמן, בהנחת מגנטו-קוואזי-סטטיקה.
סעיף ח (10 נק'): נתון עקום B–H המגיע לרוויה Bs, וכי IDC יוצר Bs עם IDC≫IAC. כיצד תשתנה התשובה לסעיף ז?
נתון חתך התקן אלקטרומגנטי במישור xz. ההתקן אינסופי ואחיד בכיוון y וחצי-אינסופי בכיוון z. הדפנות ב-x=0 ו-x=d עשויות מוליך מושלם, השדות מחוץ להתקן אפס, והתווך בפנים ריק. ההתקן דק מאוד ביחס לאורך הגל (d≪λ). בכניסה (z=0) מאולץ מקור מתח V(t)=V0cos(ωt).
עבור סעיפים א–ג נניח שהשדות מקיימים את משוואת הגלים בריק.
סעיף א (5 נק'): מהם כיווני השדה החשמלי והמגנטי בהתקן ובאילו קואורדינטות הם תלויים?
סעיף ב (5 נק'): הוכיחו כי השדה החשמלי משמר על פני המישורים z=const.
סעיף ג (7 נק'): מצאו את פאזורי השדה החשמלי והמגנטי בתוך ההתקן (כולל הקבועים).
כעת סוגרים את ההתקן ב-z=L בלוח מוליך מושלם, והתווך בפנים מאופיין ע"י σ,ε=ε0εr,μ0 קבועים, כאשר σ≫ωε0εr.
סעיף ד (5 נק'): פתחו את המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני עבור השדה החשמלי.
סעיף ה (5 נק'): רשמו את הביטוי הכללי לפאזורי השדה החשמלי והמגנטי (ללא חישוב הקבועים).
סעיף ו (5 נק'): בסעיף זה בלבד נתון L→∞. חזרו על סעיף ה.
סעיף ז (8 נק'): איזה תנאי צריך L לקיים כדי שהתוצאה מסעיף ו תהיה נכונה בקירוב? האם ייתכן שהתקן כזה יהיה במשטר קוואזי-סטטי?
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןמועד א · 2020 · סמסטר ב
★★★★★
גלים אלקטרומגנטייםמשוואת הגליםחוק פאראדיישדה מגנטימוליכיםעומק חדירהקוואזי-סטטיקהתנאי שפהשדה חשמלי
נתונים שני לוחות ריבועיים בצלע D מחומר מוליך מושלם: הלוח ב-y=−b מוארק (U=0) והלוח ב-y=a מוחזק בפוטנציאל קבוע V. על המישור y=0 שבין הלוחות מאולצת צפיפות מטען משטחית חופשית ρs=ρ0sin(kx). ההתקן צר מאוד, D≫a+b. כל הסעיפים בתחום שבין הלוחות.
עבור סעיפים א,ב נתון V=0.
סעיף א (10 נק'): רשמו את המשוואה הדיפרנציאלית ש-U מקיים, ואת תנאי השפה והמעבר הרלוונטיים.
סעיף ב (15 נק'): רשמו את הביטוי ל-U בתוך ההתקן (בעזרת פונקציות היפרבוליות; אין צורך לחשב קבועים במפורש).
עבור סעיף ג נתון V=V0 (ועדיין מאולצת צפיפות מטען על y=0).
סעיף ג (5 נק'): מהו U בתוך ההתקן?
עבור הסעיפים הבאים V=Re{V0ejωt}.
סעיף ד (5 נק'): מהו התנאי על ω כדי לעבוד במשטר קוואזי-סטטי? איזה משטר?
סעיף ה (10 נק'): בהנחת התנאי מסעיף ד, מצאו את השדה החשמלי E בתחום הזמן.
סעיף ו (5 נק'): מהי צפיפות האנרגיה החשמלית הממוצעת בזמן ⟨we⟩ בתוך ההתקן?
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןמועד ב · 2020 · סמסטר ב
★★★★★
משוואת לפלספוטנציאל חשמליתנאי שפהתנאי רציפותשדה ההעתקהמוליכיםקוואזי-סטטיקהאנרגיה אלקטרוסטטיתקיבולשדה חשמלי
נתון התקן אלקטרומגנטי באורך L (סופי בכיוון התקדמות ההספק), מחומר עם מקדם דיאלקטרי יחסי εr, חדירות מגנטית יחסית μr=1 ומוליכות סופית σ, המוזן במקור בתדר ω כך שמתקיים σ≫ωε0εr. עבור סעיפים א–ג נתון גרף של ∣H∣ בתוך ההתקן הדועך אקספוננציאלית עם המרחק; קצה ההתקן ב-z=L סגור בפיסה דקה של חומר מוליך.
א. האם ההתקן נמצא במשטר קווזי-סטטי כלשהו? אם כן, קבעו את סוגו ונמקו. אם לא, הסבירו מדוע.
ב. האם ניתן, בעזרת שינוי תדר המקור בלבד, לקבל תשובה הפוכה לזו שבסעיף א? אם כן, יש להגדיל או להקטין את התדר?
ג. שרטטו איכותית כיצד ייראה הגרף עבור אורך L′=2020L (שאר הפרמטרים ללא שינוי), וכיצד תשתנה התשובה לסעיף א.
כעת נדון בהתקן המחולק לשני חלקים: החלק הימני באורך L (סופי בציר z), והחלק השמאלי אינסופי בציר z; שניהם אינסופיים בציר y וצרים בציר x בין מוליכים מושלמים ב-x=0 וב-x=d (L≫d). מקור זרם משטחי Js=2J0cos(ωt)x^ נמצא על מישור z=0. הנחות: הפסדים גבוהים σ≫ωε0; μ0σL22≫ω וגם L2πc≫ω; W≫L,d (יחידת אורך בציר y); צפיפות הזרם מתחלקת שווה בין שני החלקים.
ד. עבור כל חלק, באיזה משטר קווזי-סטטי הוא נמצא (או מדוע לא מתקיים)?
ה. רשמו את קירוב משוואות מקסוול הפאזורי לכל חלק (עבור ∇×E ו-∇×H).
ו. קבעו את כיווני השדות בשני החלקים ובאילו קואורדינטות הם תלויים.
ז. מצאו את פאזור השדה החשמלי בחלק הימני.
ח. חשבו את פאזור השדה המגנטי בחלק הימני (בהינתן Eleft,Hleft ידועים).
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןמועד ב · 2020 · סמסטר א
★★★★★
קוואזי-סטטיקהעומק חדירהמשוואות מקסוולשדה מגנטימוליכיםתנאי שפה
נתון גליל פרואלקטרי (ferroelectric), אינסופי ביחס לציר z ובעל רדיוס R, עם וקטור צפיפות קיטוב P(r)=P0y^ (P0 קבוע נתון). מרכז הגליל בראשית, המרחב מחוצה לו חופשי, והפוטנציאלים אינם מתבדרים באינסוף.
א. מהי צפיפות מטען הקיטוב המשטחי ρsp על פני הגליל?
ב. מצאו את הפוטנציאל החשמלי הסקלרי U בכל המרחב.
ג. מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב.
לסעיפים ד–ו: נוסף מישור אינסופי מוארק, ממוליך מושלם, במרחק D ממרכז הגליל בציר x.
ד. מהו הפוטנציאל החשמלי הסקלרי בכל המרחב? (רמז: קואורדינטות קרטזיות.)
ה. מהי צפיפות המטען המשטחי החופשי ρs,free על פני המישור המוארק?
ו. מהי צפיפות מטען הקיטוב המשטחית ρsp על פני הגליל?
כעת וקטור צפיפות הקיטוב משתנה הרמונית בזמן, P(t)=P0cos(ωt)y^, בהנחת משטר קווזי-סטטי בתוך הגליל, ושדה מגנטי בכיוון z^ המתאפס בראשית.
ז. קבעו איזה סוג משטר קווזי-סטטי מתקיים בתוך הגליל, ונמקו.
נתון התקן בצורת תיבה הבנוי משני מקורות זרם הנמצאים במישורים z=±d, היוצרים זרם משטחי קבוע ±J0y^ לאורך כל אחד מהמישורים. הנחות: ההתקן אינסופי ביחס לצירים x ו-y; השדה החשמלי מתאפס על מישור z=0; השדה המגנטי קבוע בהתקן ומתאפס מחוצה לו.
א. מתוך הסימטריות בבעיה, מצאו את כיוון השדה המגנטי בתוך ההתקן.
ב. מצאו את השדות הא"מ בהתקן.
מעתה מקור הזרם תלוי בזמן, כך שצפיפויות הזרם המשטחי מקיימות Js(z=±d)=±J0cos(ωt)y^.
ג. מהו התנאי למשטר קווזי-סטטי על התדר ω? איזה סוג משטר זה יהיה?
ד. מה יהיה כיוון השדה החשמלי כעת, ובאיזו קואורדינטה יהיה תלוי?
ה. מצאו את השדות הא"מ הדומיננטיים בהתקן לפי סוג המשטר שבחרתם (לכל שדה — הסדר הראשון בפיתוח השונה מאפס).
ו. מצאו את הממוצע בזמן של צפיפות האנרגיה החשמלית והמגנטית בהתקן, והסבירו דרכם מדוע המשטר הקווזי-סטטי מוצדק.
ז. מצאו את וקטור פוינטינג הקומפלקסי והראו את קיום משפט פוינטינג הדיפרנציאלי הקומפלקסי בתוך ההתקן.
כעת מכניסים פיסת חומר דיאמגנטי בעלת μr,ϵ0 לתוך ההתקן, עד נקודה y0. אורך ההתקן בציר y הוא L, וניתן להניח L גדול בהרבה מכל אורך אחר בבעיה.
ח. מצאו את הביטוי בזמן לשדה המגנטי בכל נקודה בהתקן.
ט. מצאו את סך האנרגיה המגנטית ליחידת אורך בציר x^ בהתקן, כתלות ב-y0 ובזמן.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
הטכניוןמועד א · 2019 · סמסטר ב
★★★★★
חוק אמפרשדה מגנטיקוואזי-סטטיקהאנרגיה מגנטיתוקטור פוינטינגתנאי שפהחומרים מגנטיים
שאלות קוואזי-סטטיקה בשדות אלקטרומגנטיים עם פתרונות
שאלות תרגול בשדות אלקטרומגנטיים בנושא קוואזי-סטטיקה ממבחנים של הטכניון. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא קוואזי-סטטיקה.