איך לתרגל שאלות משפט הגבול המרכזי בהסתברות?

באתר prepd תמצאו שאלות משפט הגבול המרכזי בהסתברות ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות משפט הגבול המרכזי יש בהסתברות?

באתר prepd יש עשרות שאלות משפט הגבול המרכזי בהסתברות ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על משפט הגבול המרכזי לקראת מבחן בהסתברות?

משפט הגבול המרכזי הוא אחד הנושאים המרכזיים בהסתברות. תרגול שאלות ממבחנים בנושא משפט הגבול המרכזי הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

הסתברות - משפט הגבול המרכזי

הסתברות, משתנים מקריים והתפלגויות

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של משפטי גבול

רמת קושי:

יהא

X \sim N (0, 1)

משתנה מקרי.

סעיף א: (10 נק')
ללא שימוש בטבלה, הוכח כי לכל

ε > 0

מתקיים:

P (X \in (- ε, ε)) \geq \frac{( ε + 1 ) \cdot ( ε - 1 )}{ε ^{2}}

(רמז: אי-שוויון צ'בישב).

סעיף ב: (15 נק')
תהא

(Y_{i})_{i = 1}^{\infty}

סדרת משתנים מקרים ב"ת שווי התפלגות בעלי תוחלת

μ

ושונות

σ^{2}

כך ש-

μ = σ = \frac{3}{2}

. עבור כל

n \in N

, נגדיר את המשתנים המקריים:

S_{n} = i = 1 \sum n Y_{i}

Z_{n} = S_{n} \cdot \frac{2}{3 n} - n

הוכח, ללא שימוש בטבלת ההסתברות הנורמלית סטנדרטית, כי:

n \to \infty lim P (Z_{n} \in (- \frac{3}{2}, \frac{3}{2})) \geq \frac{5}{9}

(רמז: הראו שהמשתנה

Z_{n}

בעל תוחלת 0 ושונות 1. לאחר מכן, היעזרו במשפט הגבול המרכזי כדי להראות שעבור

Z \sim N (0, 1)

מתקיים

lim_{n \to \infty} P (Z_{n} \in (- \frac{3}{2}, \frac{3}{2})) = P (Z \in (- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}))

. כעת, השתמשו בסעיף א').

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2026 · סמסטר א

★★★★★

אי-שוויון צ'בישבמשפט הגבול המרכזיהתפלגות נורמליתתוחלתשונותסכום משתנים מקריים

לקוח עובר בין

n

מאפיות. בהגיעו למאפיה, הוא קונה מצה אקראית. בהסתברות

\frac{1}{4}

יקבל מצה עם שוקולד שעולה 10₪ ובהסתברות

\frac{3}{4}

יקנה מצה רגילה שעולה

\frac{2}{3}

₪. בכל מקרה, לאחר שישלם עליה, יעבור למאפיה הבאה.

יהא

X_{i}

מ"מ המציין את הסכום אותו שילם במאפיה ה-

i

-ית. נתבונן על העלות הממוצעת של מצה:

\overline{X}_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

סעיף א: (8 נק')
מצא את התוחלת וסטיית התקן של

\overline{X}_{n}

.

סעיף ב: (9 נק')
קבע, החל מאיזה

n \in N

, מתקים כי

P (\overline{X}_{n} \in (\frac{2}{3}, \frac{16}{3})) \geq \frac{96}{99}

סעיף ג: (8 נק')
נתבונן בסכום הכולל שהלקוח שילם באותו היום:

S_{n} = i = 1 \sum n X_{i}

מצא קֵרוב להסתברות

P (S_{n} \leq 3 n + \frac{49 n}{48})

. האם הערך שקיבלת תלוי ב-

n

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

משתנה מקרי בדידתוחלתשונותסטיית תקןאי-שוויון צ'בישבמשפט הגבול המרכזיסכום משתנים מקרייםהתפלגות נורמלית

שולפים קלפים מחפיסת קלפים המורכבת רק מבני המלוכה והאסים (16 קלפים מ-4 צבעים שונים, 4 בכל צבע: נסיך, מלכה, מלך ואס). בכל שלב בניסוי, שולפים קלף אקראי באופן אחיד, מתבוננים בו ולאחר-מכן מחזירים אותו לחפיסה.
חוזרים על הניסוי במשך

n

שלבים. כל שליפות הקלפים הינן בלתי-תלויות.
יהא

X

מ"מ המתאר את מספר הניסויים בהם נשלף מלך לב. ידוע כי

E [2 X] = 1920

(שימו לב: התוחלת הנתונה היא של

2 X

)

סעיף א: (10 נק')
הראו כי

n = 15360

סעיף ב: (15 נק')
קבעו האם הקירוב (לפי משפט הגבול המרכזי) להסתברות

P (X \leq 486)

גדול או קטן מאשר

\frac{3}{5}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

התפלגות בינומיתתוחלתשונותמשפט הגבול המרכזיהתפלגות נורמלית

נתונה סדרה

X_{1}, X_{2}, X_{3}, \dots

של משתנים מקריים רציפים בלתי-תלויים

X_{i} \sim U (0, 1)

.
לכל

i \geq 1

, נגדיר את המשתנים המקריים:

Y_{i} = (X_{i})^{2}

ואת

Z_{i} = (Y_{i})^{2}

.

סעיף א: (8 נק')
מצאו את

E [Y_{i}]

ואת

E [Z_{i}]

.

סעיף ב: (7 נק')
מצאו את

V a r [Y_{i}]

ואת סטיית התקן של

Y_{i}

.

סעיף ג: (10 נק')
עבור

n \geq 1, n \in N

נתבונן בסכום:

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}

.
קבעו, בעזרת משפט הגבול המרכזי, עבור איזה ערך של

n

, ההסתברות:

P (S_{n} \leq \frac{1}{3 5} + \frac{n}{3}) \approx Φ (\frac{1}{20})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

משתנה מקרי רציףתוחלתשונותסטיית תקןהתפלגות אחידהסכום משתנים מקרייםמשפט הגבול המרכזי

מספר השיעולים בטיסה בקו 654 מתפלג פואסונית עם קצב של 2 שיעולים בדקה.

א. (6 נק') מהי ההסתברות שבמשך 4 דקות מסוימות בטיסה יהיו לכל היותר 3 שיעולים?

ב. (6 נק') ידוע שב-5 הדקות הראשונות של הטיסה היו בדיוק 8 שיעולים. מהי ההסתברות ש-3 מהם היו בדקה הראשונה של הטיסה?

ג. (6 נק') דקת מנוחה היא דקה בה אין כלל שיעולים. מהי התוחלת ומהי השונות של מספר דקות המנוחה בשעת טיסה בקו 654?

ד. (7 נק') מהי בקירוב ההסתברות שבשעת טיסה נתונה בקו 654 יהיו לכל היותר 125 שיעולים?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

התפלגות פואסוןפונקציית הסתברותהסתברות מותניתהתפלגות בינומיתתוחלתשונותהתפלגות נורמליתמשפט הגבול המרכזי

מספר השיעולים בטיסה בקו 654 מתפלג פואסונית עם קצב של 2 שיעולים בדקה.

א. מהי ההסתברות שבמשך 4 דקות מסוימות בטיסה יהיו לכל היותר 3 שיעולים? (6 נק')

ב. ידוע שב-5 הדקות הראשונות של הטיסה היו בדיוק 8 שיעולים. מהי ההסתברות ש-3 מהם היו בדקה הראשונה של הטיסה? (6 נק')

ג. דקת מנוחה היא דקה בה אין כלל שיעולים. מהי התוחלת ומהי השונות של מספר דקות המנוחה בשעת טיסה בקו 654? (6 נק')

ד. מהי בקירוב ההסתברות שבשעת טיסה נתונה בקו 654 יהיו לכל היותר 125 שיעולים? (7 נק')

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

התפלגות פואסוןהסתברות מותניתהתפלגות בינומיתתוחלתשונותמשפט הגבול המרכזיהתפלגות נורמלית

מטבע עם הסתברות

p

עבור H מוטל 1,000 פעמים. נסמן ב-

X

את מספר ההטלות שתוצאתן היא H.

סעיף א: (8 נק')
מצאו חסם תחתון גדול מאפס שאינו תלוי ב

p

(חסם מספרי) שעבורו:

P (1000 p - 50 \leq X \leq 1000 p + 60)

סעיף ב: (8 נק')
נתון כי

p = 0.1

מצאו את ה-

y

הקטן ביותר שמקיים

P (∣ X - 100∣ \geq y) \leq 0.2

סעיף ג: (9 נק')
יהיו

X_{1}, \dots, X_{25}

משתנים מקריים בלתי תלויים בשאר

X_{i}

מקבל 1 בהסתברות 0.6, ומקבל -1 בהסתברות 0.4.
נסמן ב

Y = X_{1} + \dots + X_{25}

.
השתמשו במשפט הגבול המרכזי על מנת לקבל קירוב טוב ככל הניתן של ההסתברות

P (4 \leq Y \leq 6)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

אי-שוויון צ'בישבמשפט הגבול המרכזיתוחלתשונותהתפלגות בינומיתסכום משתנים מקריים

מכונת מזל מגרילה מספר

X

שהתפלגותו פואסונית עם הפרמטר

λ = 2

.

מהמר נדרש לשלם 10 ₪ עבור השתתפות בהגרלה אחת של מספר. סכום הזכייה שלו מהגרלה בודדת הוא

X^{2}

₪.

.א מהי ההסתברות שהרווח מהגרלה בודדת יהיה חיובי?

.ב מהי תוחלת הרווח הנקי של מהמר בהגרלה בודדת?

.ב מהי שונות הרווח הנקי של מהמר בהגרלה בודדת?

.ג אדם מגריל מספרים שוב ושוב, כאשר תוצאות ההגרלות השונות הן בלתי תלויות.

.1 מהי ההסתברות שיקבל לראשונה את המספר 4 לאחר ההגרלה העשירית?

.2 מהי בקירוב ההסתברות שיקבל את המספר 4 לפחות ארבעים פעמים, במהלך 300 ההגרלות הראשונות?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

התפלגות פואסוןתוחלתשונותטרנספורמציה של משתנה מקריהתפלגות גאומטריתהתפלגות בינומיתמשפט הגבול המרכזיאי-תלות

מפעל מייצר

X_{i}

צעצועים ביום

i

X_{i}

משתנים מקריים זהים בלתי תלויים עם תוחלת 5 ושונות 9.

סעיף א: (8 נק')
מצא קירוב להסתברות שמספר הצעצועים הכולל שיוצרו במשך 100 ימים נמוך מ-440.

סעיף ב: (8 נק')
מצא את ערך ה-

i

הגדול ביותר עבורו מתקיים:

P (X_{1} + \dots + X_{i} \geq 200 + 5 i) \leq 0.05

סעיף ג: (9 נק')
יהא N מספר היום בו לראשונה סך הצעצועים הכולל שיוצרו מיום מספר אחד הוא לפחות 1000. הערך את ההסתברות ש-N הוא לפחות 220?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2024 · סמסטר א

★★★★★

סכום משתנים מקרייםמשפט הגבול המרכזיהתפלגות נורמליתתוחלתשונות

יהי

X_{1}

משתנה מקרי מעריכי עם הפרמטר

λ_{1}

ויהי

X_{2}

משתנה מקרי מעריכי עם הפרמטר

λ_{2}

.
נגדיר את המשתנה המקרי Y באמצעות פונקציית הצפיפות:

f_{Y} (y) = \frac{5}{4} f_{X_{1}} (y) - \frac{1}{4} f_{X_{2}} (y), y > 0

א. הראו ש-

f_{Y}

היא פונקציית צפיפות.

ב. חשבו את התוחלת של Y.

ג. חשבו את השונות של Y.

ד. חשבו את

P {Y > 1}

.

ה. יהיו

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{100}

משתנים מקריים בלתי-תלויים, שלכל אחד מהם פונקציית הצפיפות

f_{Y}

.
מצאו קירוב להסתברות ש-

\sum_{i = 1}^{100} Y_{i} > 110

. נמקו את דרך הפתרון.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2024 · סמסטר א

★★★★★

משתנה מקרי רציףפונקציית צפיפותתוחלתשונותהתפלגות מעריכיתמשפט הגבול המרכזי

שאלות משפט הגבול המרכזי בהסתברות עם פתרונות

שאלות תרגול בהסתברות בנושא משפט הגבול המרכזי ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא משפט הגבול המרכזי.