איך לתרגל שאלות קומבינטוריקה בהסתברות?

באתר prepd תמצאו שאלות קומבינטוריקה בהסתברות ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות קומבינטוריקה יש בהסתברות?

באתר prepd יש עשרות שאלות קומבינטוריקה בהסתברות ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על קומבינטוריקה לקראת מבחן בהסתברות?

קומבינטוריקה הוא אחד הנושאים המרכזיים בהסתברות. תרגול שאלות ממבחנים בנושא קומבינטוריקה הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

הסתברות - קומבינטוריקה

הסתברות, משתנים מקריים והתפלגויות

סטטיסטיקות מבחנים

רמת קושי:

יש שש קופסאות מסודרות במעגל: מימין לקופסא מספר 1 יש את קופסא מספר 2, מימין לקופסא מספר 2 יש את קופסא מספר 3 וכך הלאה עד שמימין לקופסא מספר 6 יש את קופסא מספר 1.
שמים מטבע זהב בקופסא אקראית, ואז מטבע נוסף בקופסא שמימינה (למשל, שמים מטבע בקופסא 4 ואז בקופסא 5).

סעיף א' (12 נק'):
נועה בוחרת קופסא באקראי, פותחת אותה ומגלה שהיא ריקה. מה ההסתברות שבקופסא שמימין לקופסא של נועה יש מטבע זהב?

סעיף ב' (13 נק')
ליאור פותחת קופסא אקראית ואז את שלושת הקופסאות שמימינה (כלומר היא פותחת 4 קופסאות סך הכל).
מה ההסתברות שליאור תמצא את שני מטבעות הזהב? (רמז: מה ההסתברות ששתי הקופסאות שלא נפתחו ריקות?)
האם היה עדיף לליאור לפתוח 4 קופסאות אקראיות באופן בלתי תלוי?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מרחב הסתברותהסתברות מותניתקומבינטוריקה

בכיתה יש 10 ילדים, ממוספרים מ 1 עד 10, ויש 20 כיסאות ממוספרים מ 1 עד 20.
הילדים, לפי הסדר, מתיישבים אחד אחד, כל אחד בכיסא אקראי פנוי.
(בהתחלה ילד מספר 1, יושב בכיסא אקראי, אחרי זה ילד מספר 2 יושב בכיסא אקראי מתוך ה 19 כיסאות הפנויים, וכך הלאה עד שכל הילדים התיישבו).

אם ילד מספר

i

התיישב בכיסא

i

, אז נגיד שהילד התיישב במקום הנכון.

נסמן ב

X

את מספר הילדים שהתיישבו במקום נכון.

סעיף א: (10 נק')
הוכח שההסתברות שהילד ה

i

יישב במקום הנכון היא

\frac{1}{20}

.

סעיף ב: (5 נק')
חשבו את

E [X]

.

סעיף ג: (10 נק')
חשבו את

V a r [X]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

קומבינטוריקהמרחב הסתברותמשתנה מקרי בדידתוחלתשונותשונות משותפת

מסדרים באקראי בשורה את הספרות

1, 2, \dots, 9

כך שכל האפשרויות לסידורים השונים הן שוות הסתברות.

לכל

i = 1, 2, \dots, 9

, נסמן ב-

X_{i}

את המשתנה המקרי המוגדר על-ידי המיקום הסידורי בשורה של הספרה

i

.

למשל, אם הספרה 5 נמצאת במקום השביעי בשורה, אז

X_{5} = 7

.

א. (6 נק') חשבו את

P {X_{5} > 5}

.

ב. (6 נק') חשבו את השונות של

\sum_{i = 1}^{8} X_{i}

. (שימו לב לגבול העליון של הסכימה.)

ג. (13 נק') יהי

Y

המשתנה המקרי המוגדר על-ידי כמות הספרות שעבורן מתקיים

i = X_{i}

.

1. חשבו את התוחלת של

Y

.

2. חשבו את השונות של

Y

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הסתברותקומבינטוריקהמשתנה מקרימשתנה מקרי בדידתוחלתשונותהתפלגות אחידהשונות משותפתסכום משתנים מקריים

גננת מחלקת לילדים דפי צביעה ועליהם רישום של בית, שבו 4 פרטים לצביעה: דלת, חלון, גג וארובה.

כל ילד מקבל דף אחד ו־ 3 צבעים: אדום, כחול וצהוב.

כל ילד צובע כל פרט באחד מהצבעים. בחירת הצבע לכל פרט נעשית באופן אקראי, כך שכל פרט יכול להיות צבוע בכל אחד משלושת הצבעים בהסתברות שווה וללא תלות בפרטים אחרים.

כמו כן, אין תלות בין תוצאות בחירות הצבעים של ילדים שונים.

.א בכמה אפשרויות ניתן לצבוע כל בית?

.ב בכמה מאפשרויות הצביעה של בית יש לפחות פרט אחד שנצבע באדום?

.ג מה ההסתברות שילד יצבע בית בדיוק בשני צבעים שונים?

.ד הגננת מחלקת דפים לשני ילדים, וכל אחד מהם צובע את פרטי הבית. מהי ההסתברות שתתקבלנה שתי תוצאות זהות? כלומר, שיקבלו שני בתים שבחירת הצבעים שלהם לפרטים השונים בבית זהה לחלוטין?

.ה הגננת מחלקת דפים ל־20 ילדים. הם צובעים את כל הפרטים בדפים ומחזירים לגננת. דף צביעה מונוכרומטי הוא דף צביעה בו כל הפרטים נצבעו באותו הצבע. מהן התוחלת והשונות של מספר הדפים המונוכרומטיים שהגננת קיבלה?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

קומבינטוריקההכלה והפרדהאי-תלותמשתנה מקרי בדידהתפלגות בינומיתתוחלתשונות

יעל מטילה קובייה הוגנת עם ארבע פאות (ממוספרות 1,2,3,4), שלוש פעמים. נסמן את תוצאות ההטלות ב

X, Y, Z

בהתאמה (

X

של ההטלה הראשונה,

Y

של השנייה, ו

Z

של השלישית).

נגדיר את המאורעות הבאים:
A -- המאורע שתוצאות שלושת ההטלות זהות.
B -- המאורע שתוצאת שתיים מתוך שלוש ההטלות זהות, אך שונות מההטלה השלישית.
C -- המאורע שכל תוצאות ההטלות יצאו שונות זו מזו.

סעיף א' (8 נק')
חשבו את:

P (A), P (B), P (C)

סעיף ב' (8 נק')
בהינתן ש C מתקיים, מה הסיכוי שתוצאת אחת ההטלות היא ארבע?

סעיף ג' (9 נק')
חשבו את:

E [X Y ∣ A], E [X Y], V a r (X + Y + Z)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הסתברותקומבינטוריקההסתברות מותניתמשתנה מקרי בדידתוחלתשונותתוחלת מותניתאי-תלותסכום משתנים מקריים

בוחרים באקראי באופן אחיד מספר שלם בין 200,000 (כולל) ל- 999,999 (כולל).

א. כמה אפשרויות יש לבחירת מספר שכל ספרותיו שונות זו מזו? (6 נק')

ב. מה ההסתברות שייבחר מספר שכל ספרה בו גדולה ממש מקודמתה, החל מספרת מאות האלפים ועד ספרת האחדות? לדוגמה, המספרים 987,654 או 754,320 עונים על הקריטריון המבוקש. (6 נק')

ג. מהי פונקציית ההסתברות של המשתנה המקרי

N

המוגדר על-ידי מספר הספרות הזוגיות במספר? למשל אם נבחר המספר 693,410, נקבל

N = 3

. (6 נק')

ד. יהי

X

המשתנה המקרי המוגדר על-ידי מספר ה-0-ים במספר הנבחר, ויהי

Y

המשתנה המקרי המוגדר על-ידי מספר ה-1-ים במספר הנבחר. מהי פונקציית ההסתברות המשותפת של המשתנים המקריים

X

ו-

Y

? (7 נק')

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

קומבינטוריקהמשתנה מקרי בדידפונקציית הסתברותהתפלגות בינומיתהתפלגות משותפתוקטור אקראי

בוחרים באקראי באופן אחיד מספר שלם בין 200,000 (כולל) ל- 999,999 (כולל).

א. (6 נק') כמה אפשרויות יש לבחירת מספר שכל ספרותיו שונות זו מזו?

ב. (6 נק') מה ההסתברות שייבחר מספר שכל ספרה בו גדולה ממש מקודמתה, החל מספרת מאות האלפים ועד ספרת האחדות?

לדוגמה, המספרים 987,654 או 754,320 עונים על הקריטריון המבוקש.

ג. (6 נק') מהי פונקציית ההסתברות של המשתנה המקרי

N

המוגדר על-ידי מספר הספרות הזוגיות במספר?

למשל אם נבחר המספר 693,410, נקבל

N = 3

.

ד. (7 נק') יהי

X

המשתנה המקרי המוגדר על-ידי מספר ה-0-ים במספר הנבחר,

ויהי

Y

המשתנה המקרי המוגדר על-ידי מספר ה-1-ים במספר הנבחר.

מהי פונקציית ההסתברות המשותפת של המשתנים המקריים

X

ו-

Y

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

קומבינטוריקהמרחב הסתברותמשתנה מקרי בדידפונקציית הסתברותהתפלגויות בדידותהתפלגות בינומיתהתפלגות משותפתהתפלגות רב-נומית

שאלה 2

ילד קטן מקליד את 22 האותיות העבריות מ-א' עד ת' (ללא אותיות סופיות) בסדר אקראי, כך שכל אחת מ22- האותיות מופיעה בדיוק פעם אחת ברצף ההקלדה.

א. מהי ההסתברות שבהקלדת האותיות א', ב' ו-ג' תופענה עד (וכולל) למקום העשירי?
(שלוש האותיות לא חייבות להופיע במקומות סמוכים או בסדר מסוים).

ב. מהי ההסתברות שברצף ההקלדה האותיות ד' ו-ה' תופענה לפני האותיות צ' ו-ק'?

ג. מהי ההסתברות שברצף ההקלדה תופיע לפחות אחת משלוש המילים "נמל", "ספה" ו"רשת"?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2024 · סמסטר א

★★★★★

קומבינטוריקההכלה והפרדהמרחב הסתברות

בכיתה בה 10 תלמידים, כל תלמיד הביא לכיתה משלוח מנות אחד לכבוד פורים. לאחר מכן, 10 משלוחי המנות חולקו בחזרה ל10 התלמידים באופן אקראי, כאשר כל תלמיד קיבל משלוח מנות אחד.

א. מהי ההסתברות שבדיוק 6 תלמידים יקבלו את המשלוחים שהביאו בעצמם לכיתה?

ב. 6 מהמשלוחים שהובאו לכיתה הם מתוצרת "עלית" והיתר מתוצרת "אסם".
אפרת הביאה משלוח מתוצרת עלית וגלעד הביא משלוח מתוצרת אסם.
יהי X מספר התלמידים מבין השניים (כלומר, מבין אפרת וגלעד) שקיבלו משלוח מתוצרת זהה לזו של המשלוח שאותו הם הביאו לכיתה, ויהי Y מספר המשלוחים מתוצרת עלית ששני תלמידים אלו קיבלו.

.1 מצאו את פונקציית ההסתברות המשותפת של X ו- Y.

.2 האם X ו- Y בלתי-מתואמים?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2024 · סמסטר א

★★★★★

קומבינטוריקההתפלגות משותפתתוחלתשונות משותפת

מהמר משחק

n

משחקים בלתי-תלויים בזה אחר זה, וההסתברות לזכייה בכל אחד מהם שווה ל

p

(כאשר

0 < p < 1

). לכל

i = 1, \dots, n

, אם המהמר זוכה במשחק ה-

i

-י הוא מרוויח

2^{i}

שקלים, ואם הוא מפסיד בו הוא נאלץ להיפרד מ-

2^{i} /2

שקלים.

יהי X הרווח הכולל של המהמר בסוף סדרת המשחקים המתוארים לעיל.

א. חשבו את התוחלת של X.

ב. חשבו את השונות של X.

ג. נניח כי

n = 8

. מהי ההסתברות שהמהמר יזכה בדיוק 3 פעמים?

ד. נניח כי

n = 8

. מהי ההסתברות שהמהמר יזכה 3 פעמים בסך-הכל, מבלי שיהיו לו שתי זכיות (או יותר) רצופות?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2024 · סמסטר א

★★★★★

תוחלתשונותאי-תלותסכום משתנים מקרייםמשתנה מקרי בדידהתפלגות בינומיתקומבינטוריקה

שאלות קומבינטוריקה בהסתברות עם פתרונות

שאלות תרגול בהסתברות בנושא קומבינטוריקה ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא קומבינטוריקה.