איך לתרגל שאלות הסתברות מותנית בהסתברות?

באתר prepd תמצאו שאלות הסתברות מותנית בהסתברות ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות הסתברות מותנית יש בהסתברות?

באתר prepd יש עשרות שאלות הסתברות מותנית בהסתברות ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על הסתברות מותנית לקראת מבחן בהסתברות?

הסתברות מותנית הוא אחד הנושאים המרכזיים בהסתברות. תרגול שאלות ממבחנים בנושא הסתברות מותנית הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

הסתברות - הסתברות מותנית

הסתברות, משתנים מקריים והתפלגויות

סטטיסטיקות מבחנים

רמת קושי:

בכד יש 3 כדורים כחולים ו-2 כדורים לבנים. רונן מוציא מהכד שני כדורים, בזה אחר זה, באקראי, ללא החזרה. נגדיר את המשתנה המקרי

X

להיות מספר הכדורים הכחולים שהוצאו בסך-הכל.

סעיף א: (8 נק')
הוכח כי

E [X] = \frac{6}{5}

(רמז: הגדר אינדיקטורים

X_{1}, X_{2}

).

נגדיר את המאורע

B

שבו שני הכדורים שהוצאו הם בצבע כחול.

סעיף ב: (8 נק')
מצא את

P (B)

.

סעיף ג: (9 נק')
נסמן ב-

σ [X]

את סטיית התקן של

X

. הוכח כי

σ [X] = \frac{3}{5}

(רמז: חשב את

C o v (X_{1}, X_{2})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2026 · סמסטר א

★★★★★

משתנה מקרי בדידתוחלתשונותסטיית תקןהסתברות מותניתנוסחת ההסתברות השלמהשונות משותפתסכום משתנים מקריים

שחקן משתתף בתחרות בת 2 שלבים:
• ההסתברות שהוא ינצח בשלב הראשון היא

p

.
• בהינתן שהשחקן ניצח בשלב הראשון, ההסתברות שהוא ינצח בשלב השני היא

q

.
• בהינתן שהשחקן הפסיד בשלב הראשון, ההסתברות שהוא ינצח בשלב השני היא

r

.

ידוע כי ההסתברות שהוא יפסיד לפחות באחד השלבים היא

\frac{5}{6}

וכי ההסתברות שתוצאתו בשלב הראשון תהיה זהה לתוצאתו בשלב השני היא

\frac{1}{2}

.

סעיף א' (8 נק')
הראה כי ההסתברות לכך שיפסיד גם בשלב הראשון וגם בשלב השני היא

\frac{1}{3}

.

ידוע בנוסף כי ההסתברות שינצח בשלב הראשון בהינתן שניצח בשלב השני היא

\frac{7}{23}

.

סעיף ב' (12 נק')
מצא את

p, q, r

.

סעיף ג' (5 נק')
האם נצחון בשלב הראשון ב"ת בנצחון בשלב השני?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

הסתברות מותניתנוסחת ההסתברות השלמהנוסחת בייסאי-תלות

נתונים שלושה מטבעות שונים. מטבע מספר 1 עם הסתברות

p

ל-H. מטבע מספר 2 עם הסתברות

q

ל-H. מטבע מספר 3 עם הסתברות

r

ל-H.
מוגדר משחק הכולל עד שלושה שלבים, אותם מבצע שחקן יחיד בזה אחר זה, לפי הכללים הבאים:
1) בשלב 1 מוטל מטבע מספר 1. אם תוצאת ההטלה היא H השחקן ממשיך לשלב 2. אם תוצאת ההטלה היא T המשחק מסתיים בהפסד.
2) בשלב 2 מוטל מטבע מספר 2. אם תוצאת ההטלה היא H השחקן ממשיך לשלב 3. אם תוצאת ההטלה היא T המשחק מסתיים בהפסד.
3) בשלב 3 מוטל מטבע מספר 3. אם תוצאת ההטלה היא H המשחק מסתיים בניצחון. אם תוצאת ההטלה היא T המשחק מסתיים בהפסד.

ידוע כי ההסתברות לעבור את שני השלבים הראשונים במשחק היא 0.28
ההסתברות ששחקן שעבר את שני השלבים הראשונים במשחק יפסיד גדולה פי 3 מההסתברות ששחקן שעבר את שני השלבים הראשונים במשחק ינצח.

סעיף א' (8 נק')
חשב את ההסתברות לניצחון במשחק.

סעיף ב' (9 נק')
ההסתברות להפסיד במשחק לאחר שני השלבים הראשונים היא 0.42 (כלומר בשלב 1 תוצאת ההטלה היא H ובשלב 2 תוצאת ההטלה היא T). חשב את ערכו של

p

.

סעיף ג' (8 נק')
הילדים רונה, קרן ויוסי שיחקו כל אחד במשחק המטבעות פעם אחת. ידוע ששלושתם עברו את שלב 1 בהצלחה
1) חשב את ההסתברות שבדיוק שניים משלושת הילדים ינצחו במשחק
2) חשב את ההסתברות שמבין שלושת הילדים רק קרן ויוסי ינצחו במשחק

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

הסתברות מותניתאי-תלותהתפלגות בינומית

נתונה קובייה קסומה בעלת 3 פאות הממוספרות: 1,2,3. בהטלתה הראשונה, הקובייה תמיד תציג '1'. בכל הטלה אחרת, הקובייה תציג את אותו הערך כמו בהטלתה הקודמת בסיכוי

p \in [0, 1]

, ובסיכוי

\frac{1 - p}{2}

תציג כל אחד מהערכים האחרים. לכל

i \in N, i \geq 1

נגדיר את המאורעות הבאים:

$A_{i}$ בו בהטלה ה- $i$ -ית הקובייה הראתה '1'.
$B_{i}$ בו בהטלה ה- $i$ -ית הקובייה הראתה '2'.
$C_{i}$ בו בהטלה ה- $i$ -ית הקובייה הראתה '3'.

(למשל מתקיים

P (A_{1}) = 1, P (B_{1}) = P (C_{1}) = 0

)

סעיף א' (12 נק')
הוכיחו כי

P (A_{i + 1}) = \frac{1 - p}{2} + P (A_{i}) \cdot \frac{3 p - 1}{2}

.

סעיף ב' (13 נק')
נתון כי

P (A_{i + 1} ∣ \overline{A_{i}}) = \frac{2}{5}

וכי

P (\overline{A_{i}}) \neq = 0

.
מצאו את

p

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

הסתברות מותניתנוסחת ההסתברות השלמה

יש שש קופסאות מסודרות במעגל: מימין לקופסא מספר 1 יש את קופסא מספר 2, מימין לקופסא מספר 2 יש את קופסא מספר 3 וכך הלאה עד שמימין לקופסא מספר 6 יש את קופסא מספר 1.
שמים מטבע זהב בקופסא אקראית, ואז מטבע נוסף בקופסא שמימינה (למשל, שמים מטבע בקופסא 4 ואז בקופסא 5).

סעיף א' (12 נק'):
נועה בוחרת קופסא באקראי, פותחת אותה ומגלה שהיא ריקה. מה ההסתברות שבקופסא שמימין לקופסא של נועה יש מטבע זהב?

סעיף ב' (13 נק')
ליאור פותחת קופסא אקראית ואז את שלושת הקופסאות שמימינה (כלומר היא פותחת 4 קופסאות סך הכל).
מה ההסתברות שליאור תמצא את שני מטבעות הזהב? (רמז: מה ההסתברות ששתי הקופסאות שלא נפתחו ריקות?)
האם היה עדיף לליאור לפתוח 4 קופסאות אקראיות באופן בלתי תלוי?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מרחב הסתברותהסתברות מותניתקומבינטוריקה

בשאלה זו כל המטבעות מסומנים בצד אחד ב-H ובצד השני ב-T עם הסתברות

p

ל-H, כאשר

0 < p < 1

.

סעיף א' (8 נק')
מטבע כלשהו שבצידו האחד H ובצידו השני T מוטל על ידי דני שלוש פעמים.
נסמן את התוצאה של שלוש ההטלות ב-

X_{1}, X_{2}, X_{3}

.
נסמן ב-A את המאורע אשר

X_{1} \neq = X_{2}

או

X_{2} \neq = X_{3}

או

X_{1} \neq = X_{3}

.
חשב את ההסתברות למאורע A.

סעיף ב' (8 נק')
אם דני מקבל את אותה התוצאה בשלוש ההטלות, אז דנה מטילה קובייה הוגנת (עם שש פאות).
אחרת, דנה מטילה קובייה שאינה הוגנת (עם שש פאות), כאשר הסיכוי לקבל 6 הוא

q

, וכל מספר אחר מתקבל בסיכוי

\frac{1 - q}{5}

.
מה ההסתברות (כתלות ב-

p

ו-

q

) שתוצאת ההטלה של דנה תהיה 4 או יותר?

סעיף ג' (9 נק')
דנה טוענת כי כאשר

p = \frac{1}{2}

קיים ערך

q > \frac{1}{6}

עבורו המאורע בו דני מקבל שלוש פעמים את אותה התוצאה, בלתי תלוי במאורע בו היא מקבלת בקובייה את המספר 4 או יותר. הוכח או הפרך את טענתה של דנה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מרחב הסתברותהסתברות מותניתנוסחת ההסתברות השלמהאי-תלות

בסל יש 300 קוביות בעלות 4 פאות בהן כל פאה מתקבלת בהסתברות שווה.
ב-200 מהקוביות הפאות ממוספרות בספרות 1,2,3,4, נקרא לקוביות אלו – קוביות מלאות.
ב-100 מהקוביות הפאות ממוספרות בספרות 1,2,2,4, נקרא לקוביות אלו – קוביות חסרות.
דני בוחר קובייה אחת באקראי מהסל ומטיל אותה שוב ושוב עד הפעם הראשונה שתוצאת ההטלה היא 2.

סעיף א: (12 נק')
בהינתן כי בשלושת ההטלות הראשונות התקבלה תוצאה שאינה 2, מה ההסתברות שדני בחר קובייה מלאה?

סעיף ב: (13 נק')
בהינתן כי בשלושת ההטלות הראשונות התקבלה תוצאה שאינה 2, מה ההסתברות שמספר ההטלות הכולל (כולל ההטלה האחרונה שיוצאת 2) יהיה 5 או יותר?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר א

★★★★★

הסתברות מותניתנוסחת ההסתברות השלמהנוסחת בייסאי-תלותמשתנה מקרי בדיד

יהי

X

משתנה מקרי נורמלי עם תוחלת

μ

וסטיית תקן

σ = 1.3

.

ידוע כי

P {X < 0.7} = P {X > 3.3}

.

.1 מהי התוחלת של

X

?

.2 מהו

a

המקיים את השוויון

P {X > a} = 0.63

?

.3 חשבו את

P {X < 3.1∣ X > 2}

.

נא לבצע אינטרפולציה לינארית בסעיפים בהם יש צורך.

יהי

X

משתנה מקרי אחיד רציף על הקטע

(a, b)

.

הוכיחו כי:

.1

E [X] = \frac{a + b}{2}

Var (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

התפלגות נורמליתהתפלגות אחידההתפלגויות רציפותתוחלתשונותסטיית תקןהסתברות מותניתפונקציית צפיפות

מספר השיעולים בטיסה בקו 654 מתפלג פואסונית עם קצב של 2 שיעולים בדקה.

א. (6 נק') מהי ההסתברות שבמשך 4 דקות מסוימות בטיסה יהיו לכל היותר 3 שיעולים?

ב. (6 נק') ידוע שב-5 הדקות הראשונות של הטיסה היו בדיוק 8 שיעולים. מהי ההסתברות ש-3 מהם היו בדקה הראשונה של הטיסה?

ג. (6 נק') דקת מנוחה היא דקה בה אין כלל שיעולים. מהי התוחלת ומהי השונות של מספר דקות המנוחה בשעת טיסה בקו 654?

ד. (7 נק') מהי בקירוב ההסתברות שבשעת טיסה נתונה בקו 654 יהיו לכל היותר 125 שיעולים?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

התפלגות פואסוןפונקציית הסתברותהסתברות מותניתהתפלגות בינומיתתוחלתשונותהתפלגות נורמליתמשפט הגבול המרכזי

מספר השיעולים בטיסה בקו 654 מתפלג פואסונית עם קצב של 2 שיעולים בדקה.

א. מהי ההסתברות שבמשך 4 דקות מסוימות בטיסה יהיו לכל היותר 3 שיעולים? (6 נק')

ב. ידוע שב-5 הדקות הראשונות של הטיסה היו בדיוק 8 שיעולים. מהי ההסתברות ש-3 מהם היו בדקה הראשונה של הטיסה? (6 נק')

ג. דקת מנוחה היא דקה בה אין כלל שיעולים. מהי התוחלת ומהי השונות של מספר דקות המנוחה בשעת טיסה בקו 654? (6 נק')

ד. מהי בקירוב ההסתברות שבשעת טיסה נתונה בקו 654 יהיו לכל היותר 125 שיעולים? (7 נק')

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

התפלגות פואסוןהסתברות מותניתהתפלגות בינומיתתוחלתשונותמשפט הגבול המרכזיהתפלגות נורמלית

שאלות הסתברות מותנית בהסתברות עם פתרונות

שאלות תרגול בהסתברות בנושא הסתברות מותנית ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא הסתברות מותנית.