איך לתרגל שאלות אי-שוויונות בהסתברות?

באתר prepd תמצאו שאלות אי-שוויונות בהסתברות ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות אי-שוויונות יש בהסתברות?

באתר prepd יש עשרות שאלות אי-שוויונות בהסתברות ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על אי-שוויונות לקראת מבחן בהסתברות?

אי-שוויונות הוא אחד הנושאים המרכזיים בהסתברות. תרגול שאלות ממבחנים בנושא אי-שוויונות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

הסתברות - אי-שוויונות

הסתברות, משתנים מקריים והתפלגויות

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של אי-שוויונות

רמת קושי:

יהא

X

משתנה מקרי (לאו דוקא אי-שלילי).

סעיף א: (10 נק')
הוכח כי לכל

a > 0

מתקים:

P (X^{2} \geq a) \leq \frac{V [ X ] + ( E [ X ] ) ^{2}}{a}

.

סעיף ב: (15 נק')
ידוע כי

- b \leq X \leq b

רציף, וכן כי

f_{X} (x) \leq \frac{1}{2 x ^{2}}

.
הוכח כי לכל

a > 0

מתקים:

P (X^{2} \geq a) \leq \frac{b}{a}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2026 · סמסטר א

★★★★★

אי-שוויון מרקובאי-שוויונותתוחלתשונותמשתנה מקרי רציףפונקציית צפיפות

תייר עובר בין

n

כפרים במזרח. החל מרגע הגיעו לכפר, הוא מודד את כמות הגשם (מיליארדי קוב) שירדה במשך שנה ולאחר מכן עובר לכפר הבא. ידוע כי כמות הגשם בשנה בכל אחד מהכפרים מתפלגת פואסונית עם

λ = 27

. יהא

X_{i}

מ"מ המציין את כמות הגשם שירדה, במהלך שנה, בביקורו בכפר ה-

i

-י. כמויות הגשמים בכפרים שונים הינן ב"ת.
נתבונן על כמות הגשם הממוצעת:

\overline{X}_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

ועל סך-כמות הגשם בכל ביקוריו:

S_{n} = i = 1 \sum n X_{i}

ונגדיר מ"מ חדש:

Y = S_{n} + 64 \cdot \overline{X}_{n}

.

סעיף א: (8 נק')
הוכח כי

E [Y] = 27 \cdot (n + 64)

וכי

V [Y] = \frac{27 \cdot ( n + 64 ) ^{2}}{n}

.

סעיף ב: (8 נק')
עבור איזה

n

החסם הניתן על-פי אי-שויון מרקוב בעבור המאורע

P (Y \geq 576 \cdot n)

הינו בדיוק

\frac{3}{4}

?

סעיף ג: (9 נק')
עבור איזה

n

החסם הניתן על-פי אי-שויון צ'בישב בעבור המאורע

P (26 \cdot (n + 64) < Y < 28 \cdot (n + 64))

הינו בדיוק

\frac{2}{3}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

התפלגות פואסוןסכום משתנים מקרייםתוחלתשונותאי-שוויון מרקובאי-שוויון צ'בישבאי-שוויונות

מספר הודעות הטקסט שדפנה מקבלת ביום הוא משתנה מקרי פואסוני עם תוחלת

5

.
ערך המשתנה בכל יום הוא בלתי תלוי בערכו בימים האחרים.
נסמן ב-

X

את מספר הימים בשנה (בת 365 ימים) שדפנה לא מקבלת שום הודעת טקסט.

סעיף א: (9 נק')
חשבו במדויק את

P (X \leq 2)

. נמק את החישוב.

סעיף ב: (8 נק')
הצע שתי דרכים שונות לחשב קירוב לערך של

P (X \leq 2)

.

סעיף ג: (8 נק')
חשב חסם עליון (טוב ככל האפשר) להסתברות שדפנה תקבל 12 הודעות או יותר ביום?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2023 · סמסטר א

★★★★★

התפלגות פואסוןהתפלגות בינומיתהתפלגות נורמליתמשפט הגבול המרכזיאי-שוויונותאי-שוויון מרקובאי-שוויון צ'בישבמשתנה מקרי בדידפונקציית הסתברותתוחלתשונות

מרחב המדגם שווה ההסתברות הבא:

Ω = {- 2, - 1, 0, 1, 2}

מתאר תוצאות ניסוי מדעי כלשהו.

חזרו על הניסוי 150 פעמים באופן בלתי תלוי.

עבור

1 \leq i \leq 150

נסמן ב-

X_{i}

את תוצאת הניסוי ה-

i

ויהא

Y_{i} = X_{i}^{2}

.

לאחר סיום 150 החזרות על הניסוי מוטל מטבע הוגן. אם תוצאתו "עץ" סדרת המספרים

Z_{i}

שווה לסדרת המספרים

X_{i}

. אם תוצאתו "פלי" סדרת המספרים

Z_{i}

שווה לסדרת המספרים

Y_{i}

.

סעיף א (8 נק')
1. מה היא פונקציית מסת ההסתברות של

Y_{1}

. (4 נק')
2. הוכח או הפרך: האם

Z_{i}, Z_{j}

בלתי תלויים עבור

i \neq = j

? (4 נק')

סעיף ב (8 נק')
עבור

1 \leq i \leq 150

יהא

W_{i} = X_{i} + Y_{i}

. חשב/י את

E [\sum_{i = 1}^{150} W_{i}]

ואת

Var [\sum_{i = 1}^{150} W_{i}]

. נמק/י את חישובך.

סעיף ג (9 נק')
הצע/י חסם עליון, טוב ככל האפשר, להסתברות של המאורע

\sum_{i = 1}^{150} W_{i} \leq 180

. נמק/י את חישובך.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2020 · סמסטר א

★★★★★

מרחב הסתברותאי-תלותמשתנה מקריפונקציית הסתברותתוחלתשונותסכום משתנים מקרייםאי-שוויונותאי-שוויון צ'בישבטרנספורמציה של משתנה מקרינוסחת ההסתברות השלמה

נתונה קבוצה של 50 שחקני טניס ו-50 שחקניות טניס. 100 השחקנים והשחקניות מחולקים בצורה אקראית לזוגות (כך שההסתברות של המשתתף ה-

i

להיות בזוג עם אחד מ-99 המשתתפים האחרים היא

1/99

).
נסמן ב-

X

את מספר הזוגות המעורבים, כלומר זוגות שמורכבים משחקן ושחקנית.

סעיף א (8 נקודות)
חשב/י את

E [X]

. נמק/י את חישובך.

סעיף ב (8 נקודות)
חשב/י את

V a r [X]

. נמק/י את חישובך.

סעיף ג (9 נקודות)
הצע/י חסם עליון, טוב ככל האפשר, להסתברות שמספר הזוגות המעורבים, כלומר זוגות המורכבים משחקן ושחקנית הוא לכל היותר 15. נמק/י את חישובך.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2020 · סמסטר א

★★★★★

משתנה מקרי בדידתוחלתשונותשונות משותפתאי-שוויונותאי-שוויון צ'בישב

מתבצע ניסוי על מנת לאמוד את ערכו של פרמטר כלשהו בטבע. במהלך הניסוי מתבצעות 30 מדידות בלתי תלויות ושוות התפלגות. נסמן את תוצאת המדידה ה-

i

ב-

X_{i}

. נסמן ב-

S

את סכום תוצאות המדגם, כלומר

S = \sum_{i = 1}^{30} X_{i}

. נסמן את ממוצע המדגם ב-

\overset{ˉ}{X}

, כלומר

\overset{ˉ}{X} = S /30

.

סעיף א (8 נקודות)
חשב את

C O V (X_{i} - \overset{ˉ}{X}, \overset{ˉ}{X})

. הצג את דרך הפתרון והסבר כל שלב.

סעיף ב (9 נקודות)
נסמן את ערכו האמיתי של הפרמטר ב-

B

. הנח כעת כי התוחלת של

X_{i} - B

היא

1/4

לכל

i

. חשב חסם עליון ל:

P (S - 30 B > 8)

. הצג את דרך הפתרון והסבר כל שלב.

סעיף ג (8 נקודות)
נסמן את ערכו האמיתי של הפרמטר ב-

B

. כעת ידוע כי

X_{i} - B

מתפלג אחיד בקטע

[- 3/4, 3/4]

לכל

i

. על סמך נתונים אלו חשב חסם עליון ל:

P (\overset{ˉ}{X} - B > 1/8)

הצג את דרך הפתרון והסבר כל שלב.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2019 · סמסטר א

★★★★★

שונות משותפתאי-שוויון מרקובאי-שוויון צ'בישבאי-שוויונותתוחלתשונותהתפלגות אחידהאי-תלות

שאלות אי-שוויונות בהסתברות עם פתרונות

שאלות תרגול בהסתברות בנושא אי-שוויונות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא אי-שוויונות.