איך לתרגל שאלות התפלגות נורמלית בהסתברות?

באתר prepd תמצאו שאלות התפלגות נורמלית בהסתברות ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות התפלגות נורמלית יש בהסתברות?

באתר prepd יש עשרות שאלות התפלגות נורמלית בהסתברות ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על התפלגות נורמלית לקראת מבחן בהסתברות?

התפלגות נורמלית הוא אחד הנושאים המרכזיים בהסתברות. תרגול שאלות ממבחנים בנושא התפלגות נורמלית הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

הסתברות - התפלגות נורמלית

הסתברות, משתנים מקריים והתפלגויות

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של התפלגויות רציפות

רמת קושי:

יהא

X \sim N (0, 1)

משתנה מקרי.

סעיף א: (10 נק')
ללא שימוש בטבלה, הוכח כי לכל

ε > 0

מתקיים:

P (X \in (- ε, ε)) \geq \frac{( ε + 1 ) \cdot ( ε - 1 )}{ε ^{2}}

(רמז: אי-שוויון צ'בישב).

סעיף ב: (15 נק')
תהא

(Y_{i})_{i = 1}^{\infty}

סדרת משתנים מקרים ב"ת שווי התפלגות בעלי תוחלת

μ

ושונות

σ^{2}

כך ש-

μ = σ = \frac{3}{2}

. עבור כל

n \in N

, נגדיר את המשתנים המקריים:

S_{n} = i = 1 \sum n Y_{i}

Z_{n} = S_{n} \cdot \frac{2}{3 n} - n

הוכח, ללא שימוש בטבלת ההסתברות הנורמלית סטנדרטית, כי:

n \to \infty lim P (Z_{n} \in (- \frac{3}{2}, \frac{3}{2})) \geq \frac{5}{9}

(רמז: הראו שהמשתנה

Z_{n}

בעל תוחלת 0 ושונות 1. לאחר מכן, היעזרו במשפט הגבול המרכזי כדי להראות שעבור

Z \sim N (0, 1)

מתקיים

lim_{n \to \infty} P (Z_{n} \in (- \frac{3}{2}, \frac{3}{2})) = P (Z \in (- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}))

. כעת, השתמשו בסעיף א').

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2026 · סמסטר א

★★★★★

אי-שוויון צ'בישבמשפט הגבול המרכזיהתפלגות נורמליתתוחלתשונותסכום משתנים מקריים

לקוח עובר בין

n

מאפיות. בהגיעו למאפיה, הוא קונה מצה אקראית. בהסתברות

\frac{1}{4}

יקבל מצה עם שוקולד שעולה 10₪ ובהסתברות

\frac{3}{4}

יקנה מצה רגילה שעולה

\frac{2}{3}

₪. בכל מקרה, לאחר שישלם עליה, יעבור למאפיה הבאה.

יהא

X_{i}

מ"מ המציין את הסכום אותו שילם במאפיה ה-

i

-ית. נתבונן על העלות הממוצעת של מצה:

\overline{X}_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

סעיף א: (8 נק')
מצא את התוחלת וסטיית התקן של

\overline{X}_{n}

.

סעיף ב: (9 נק')
קבע, החל מאיזה

n \in N

, מתקים כי

P (\overline{X}_{n} \in (\frac{2}{3}, \frac{16}{3})) \geq \frac{96}{99}

סעיף ג: (8 נק')
נתבונן בסכום הכולל שהלקוח שילם באותו היום:

S_{n} = i = 1 \sum n X_{i}

מצא קֵרוב להסתברות

P (S_{n} \leq 3 n + \frac{49 n}{48})

. האם הערך שקיבלת תלוי ב-

n

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

משתנה מקרי בדידתוחלתשונותסטיית תקןאי-שוויון צ'בישבמשפט הגבול המרכזיסכום משתנים מקרייםהתפלגות נורמלית

שולפים קלפים מחפיסת קלפים המורכבת רק מבני המלוכה והאסים (16 קלפים מ-4 צבעים שונים, 4 בכל צבע: נסיך, מלכה, מלך ואס). בכל שלב בניסוי, שולפים קלף אקראי באופן אחיד, מתבוננים בו ולאחר-מכן מחזירים אותו לחפיסה.
חוזרים על הניסוי במשך

n

שלבים. כל שליפות הקלפים הינן בלתי-תלויות.
יהא

X

מ"מ המתאר את מספר הניסויים בהם נשלף מלך לב. ידוע כי

E [2 X] = 1920

(שימו לב: התוחלת הנתונה היא של

2 X

)

סעיף א: (10 נק')
הראו כי

n = 15360

סעיף ב: (15 נק')
קבעו האם הקירוב (לפי משפט הגבול המרכזי) להסתברות

P (X \leq 486)

גדול או קטן מאשר

\frac{3}{5}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

התפלגות בינומיתתוחלתשונותמשפט הגבול המרכזיהתפלגות נורמלית

יהי

X

משתנה מקרי נורמלי עם תוחלת

μ

וסטיית תקן

σ = 1.3

.

ידוע כי

P {X < 0.7} = P {X > 3.3}

.

.1 מהי התוחלת של

X

?

.2 מהו

a

המקיים את השוויון

P {X > a} = 0.63

?

.3 חשבו את

P {X < 3.1∣ X > 2}

.

נא לבצע אינטרפולציה לינארית בסעיפים בהם יש צורך.

יהי

X

משתנה מקרי אחיד רציף על הקטע

(a, b)

.

הוכיחו כי:

.1

E [X] = \frac{a + b}{2}

Var (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

התפלגות נורמליתהתפלגות אחידההתפלגויות רציפותתוחלתשונותסטיית תקןהסתברות מותניתפונקציית צפיפות

מספר השיעולים בטיסה בקו 654 מתפלג פואסונית עם קצב של 2 שיעולים בדקה.

א. (6 נק') מהי ההסתברות שבמשך 4 דקות מסוימות בטיסה יהיו לכל היותר 3 שיעולים?

ב. (6 נק') ידוע שב-5 הדקות הראשונות של הטיסה היו בדיוק 8 שיעולים. מהי ההסתברות ש-3 מהם היו בדקה הראשונה של הטיסה?

ג. (6 נק') דקת מנוחה היא דקה בה אין כלל שיעולים. מהי התוחלת ומהי השונות של מספר דקות המנוחה בשעת טיסה בקו 654?

ד. (7 נק') מהי בקירוב ההסתברות שבשעת טיסה נתונה בקו 654 יהיו לכל היותר 125 שיעולים?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

התפלגות פואסוןפונקציית הסתברותהסתברות מותניתהתפלגות בינומיתתוחלתשונותהתפלגות נורמליתמשפט הגבול המרכזי

מספר השיעולים בטיסה בקו 654 מתפלג פואסונית עם קצב של 2 שיעולים בדקה.

א. מהי ההסתברות שבמשך 4 דקות מסוימות בטיסה יהיו לכל היותר 3 שיעולים? (6 נק')

ב. ידוע שב-5 הדקות הראשונות של הטיסה היו בדיוק 8 שיעולים. מהי ההסתברות ש-3 מהם היו בדקה הראשונה של הטיסה? (6 נק')

ג. דקת מנוחה היא דקה בה אין כלל שיעולים. מהי התוחלת ומהי השונות של מספר דקות המנוחה בשעת טיסה בקו 654? (6 נק')

ד. מהי בקירוב ההסתברות שבשעת טיסה נתונה בקו 654 יהיו לכל היותר 125 שיעולים? (7 נק')

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

התפלגות פואסוןהסתברות מותניתהתפלגות בינומיתתוחלתשונותמשפט הגבול המרכזיהתפלגות נורמלית

יהיו

X, Y, Z

משתנים מקריים רציפים בלתי תלויים.
נתון כי

X

מתפלג נורמלי עם פרמטרים

N (μ, σ^{2})

.
נתון כי

Y

Z

מתפלגים אחיד

U (0, 2)

.

סעיף א: (10 נק')
1. חשבו את

E [Y^{2} + Z^{2}]

.

סעיף ב: (15 נק')
נתון כי

E [X^{2} Y + X Y Z] = 13

וכן כי

E [X Y^{2} + Z X^{2}] = 14

.
מצא את

μ

ואת

σ

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

משתנה מקרי רציףתוחלתשונותאי-תלותהתפלגות נורמליתהתפלגות אחידה

שאלה 5

משקלו של אבטיח מזן מסוים הוא משתנה מקרי נורמלי עם תוחלת של 4 ק"ג וסטיית-תקן של 0.2 ק"ג.
אין תלות בין משקלים של אבטיחים שונים.

א. מהו המשקל, שההסתברות שאבטיח מקרי מזן זה ישקול יותר ממנו היא 0.85?

ב. מהי ההסתברות שמשקל אבטיח כלשהו מזן זה יהיה לפחות 3.5 ק"ג?

ג. מהי ההסתברות שמשקל אבטיח כלשהו מזן זה יהיה לפחות 3.5 ק"ג, אם ידוע שמשקלו נמוך מ- 4.5 ק"ג?

ד. המחיר לק"ג אחד של אבטיח מהזן המדובר הוא 2 ש"ח.
מהי התפלגות של מחיר של אבטיח מקרי?

ה. בוחרים באקראי 50 אבטיחים מהזן שלעיל.
ידוע שלפחות שניים מ50- האבטיחים הללו שוקלים יותר מ4.2- ק"ג.
מהי ההסתברות שבדיוק 7 מהם שוקלים יותר מ4.2- ק"ג?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2024 · סמסטר א

★★★★★

התפלגות נורמליתמשתנה מקרי רציףהסתברות מותניתהתפלגות בינומיתטרנספורמציה של משתנה מקרי

התפלגות המשקל (בגרמים) של תפוח ירוק היא נורמלית עם תוחלת 100 וסטיית-תקן 10.
התפלגות המשקל (בגרמים) של תפוח אדום היא נורמלית עם תוחלת 150 וסטיית-תקן 20.
אין תלות בין משקלים של תפוחים שונים.

א. יעל הולכת לירקן כדי לקנות 10 תפוחים – 5 תפוחים ירוקים ו- 5 תפוחים אדומים. היא בוחרת באקראי את כל התפוחים: תחילה את התפוחים הירוקים ואחר-כך את האדומים, ושמה את כולם בשקית אחת.

.1 מהי ההסתברות שכל אחד מ10 התפוחים שיעל בוחרת שוקל בין 100 גרם ל- 150 גרם?

.2 בהנחה שמשקל השקית הריקה זניח:

מהי סטיית התקן של המשקל הכולל של כלל התפוחים בשקית?

.3 מה ההסתברות שיהיה בדיוק תפוח אחד מתוך 10 התפוחים ששוקל מתחת ל- 130 גרם?

ב. יעל מחליטה לאפות עוגת תפוחים. לשם כך, היא זקוקה ל3 תפוחים ירוקים שמשקל כל אחד מהם גבוה מ111 גרם, ול3 תפוחים אדומים שמשקל כל אחד מהם נמוך מ143 גרם.
יעל מתחילה לבחור באקראי תפוחים ירוקים, ושוקלת אותם אחד-אחד עד למציאת מבוקשה. אחר-כך היא בוחרת באותו אופן את התפוחים האדומים שלהם היא זקוקה.
מהי תוחלת מספר התפוחים שיעל תשקול עד למציאת כל התפוחים הדרושים לה לאפיית העוגה? בסעיף זה הניחו שאין הגבלה למספר התפוחים (מכל צבע) ברשות יעל.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2024 · סמסטר א

★★★★★

התפלגות נורמליתסכום משתנים מקרייםתוחלתשונותסטיית תקןהתפלגות בינומיתהתפלגות בינומית שליליתאי-תלות

מפעל מייצר

X_{i}

צעצועים ביום

i

X_{i}

משתנים מקריים זהים בלתי תלויים עם תוחלת 5 ושונות 9.

סעיף א: (8 נק')
מצא קירוב להסתברות שמספר הצעצועים הכולל שיוצרו במשך 100 ימים נמוך מ-440.

סעיף ב: (8 נק')
מצא את ערך ה-

i

הגדול ביותר עבורו מתקיים:

P (X_{1} + \dots + X_{i} \geq 200 + 5 i) \leq 0.05

סעיף ג: (9 נק')
יהא N מספר היום בו לראשונה סך הצעצועים הכולל שיוצרו מיום מספר אחד הוא לפחות 1000. הערך את ההסתברות ש-N הוא לפחות 220?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2024 · סמסטר א

★★★★★

סכום משתנים מקרייםמשפט הגבול המרכזיהתפלגות נורמליתתוחלתשונות

שאלות התפלגות נורמלית בהסתברות עם פתרונות

שאלות תרגול בהסתברות בנושא התפלגות נורמלית ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא התפלגות נורמלית.