איך לתרגל שאלות משתנה מקרי בהסתברות?

באתר prepd תמצאו שאלות משתנה מקרי בהסתברות ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות משתנה מקרי יש בהסתברות?

באתר prepd יש עשרות שאלות משתנה מקרי בהסתברות ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על משתנה מקרי לקראת מבחן בהסתברות?

משתנה מקרי הוא אחד הנושאים המרכזיים בהסתברות. תרגול שאלות ממבחנים בנושא משתנה מקרי הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

הסתברות - משתנה מקרי

הסתברות, משתנים מקריים והתפלגויות

סטטיסטיקות מבחנים

רמת קושי:

4 קופסאות ממוספרות מסודרות בשורה, משמאל לימין בסדר עולה לפי מספריהן. לכל

1 \leq i \leq 4

נועה שמה מטבע בקופסא ה-

i

-ית בהסתברות

\frac{i}{4}

, באופן בלתי-תלוי בקופסאות האחרות. ליאור פותחת את הקופסאות בסדר עולה עד שהיא נתקלת במטבע.
נגדיר את המשתנה המקרי

X

להיות מספר הקופסאות שליאור פתחה.

סעיף א' (8 נק')
הוכח:

P (X = k) > \frac{1}{3}

אם ורק אם

k = 2

.

סעיף ב' (8 נק')
מצא את

E [X]

.

סעיף ג' (9 נק')
נגדיר את

Y

להיות המספר הכולל של המטבעות שנועה הניחה בתוך כלל הקופסאות. הוכח או הפרך:

E [Y] = 4 V [Y]

(רמז: הגדירו משתנה מקרי

Y_{i}

שהוא אינדיקטור להאם יש מטבע בקופסא ה-

i

-ית).

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2026 · סמסטר א

★★★★★

אי-תלותמשתנה מקרימשתנה מקרי בדידפונקציית הסתברותתוחלתשונותסכום משתנים מקרייםהתפלגויות בדידות

יהי

X

משתנה מקרי רציף שפונקציית הצפיפות שלו היא:

f_{X} (x) = c x

3 < x < 5

.

א. (5 נק') מצאו את

c

.

ב. (5 נק') חשבו את התוחלת של

X

.

ג. (5 נק') מצאו את פונקציית ההתפלגות המצטברת של

X

. רשמו אותה באופן מדויק.

ד. (5 נק') מצאו את

P {X > 4}

.

ה. (5 נק') חשבו את השונות של

X

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

משתנה מקרימשתנה מקרי רציףפונקציית צפיפותתוחלתשונותפונקציית התפלגות מצטברת

מסדרים באקראי בשורה את הספרות

1, 2, \dots, 9

כך שכל האפשרויות לסידורים השונים הן שוות הסתברות.

לכל

i = 1, 2, \dots, 9

, נסמן ב-

X_{i}

את המשתנה המקרי המוגדר על-ידי המיקום הסידורי בשורה של הספרה

i

.

למשל, אם הספרה 5 נמצאת במקום השביעי בשורה, אז

X_{5} = 7

.

א. (6 נק') חשבו את

P {X_{5} > 5}

.

ב. (6 נק') חשבו את השונות של

\sum_{i = 1}^{8} X_{i}

. (שימו לב לגבול העליון של הסכימה.)

ג. (13 נק') יהי

Y

המשתנה המקרי המוגדר על-ידי כמות הספרות שעבורן מתקיים

i = X_{i}

.

1. חשבו את התוחלת של

Y

.

2. חשבו את השונות של

Y

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הסתברותקומבינטוריקהמשתנה מקרימשתנה מקרי בדידתוחלתשונותהתפלגות אחידהשונות משותפתסכום משתנים מקריים

מספר הלקוחות הנכנסים לחנות מכשירי-חשמל במשך שעה, הוא משתנה מקרי פואסוני עם הפרמטר 40.

א. מהי ההסתברות שבמשך חצי-שעה ייכנסו לחנות 18 לקוחות בדיוק?

ב. אם ידוע שבמשך שעה אחת נכנסו לחנות 40 לקוחות, מהי ההסתברות ש5- מהם נכנסו לחנות ברבע השעה הראשונה של אותה השעה?

ג. נכנסתם לחנות בזמן אקראי. מהי התוחלת והשונות של הזמן בדקות שתאלצו להמתין עד כניסת הלקוח השלישי מרגע כניסתכם (לא כולל אתכם)?

ד. מצאו קירוב להסתברות, שבמשך 3 שעות ייכנסו לחנות לפחות 112 לקוחות. נמקו את דרך הפתרון.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

משתנה מקריהתפלגות פואסוןהתפלגות בינומיתהתפלגות מעריכיתהתפלגות נורמליתתוחלתשונותהסתברות מותניתמשפט הגבול המרכזי

קצב מחלק

n

חתיכות בשר לעניים. כל חתיכת בשר יכולה להיות כשרה או לא כשרה.

סעיף א: (9 נק')
נניח (לסעיף זה בלבד) כי מספר החתיכות הלא כשרות מתפלג באופן לא ידוע, אך עם תוחלת

\frac{n}{10}

.
תנו חסם עליון להסתברות שמספר חתיכות הבשר שאינן כשרות יהיה גדול מ

\frac{n}{3}

.

מעתה והלאה, כל חתיכה היא אינה כשרה בהסתברות 0.01 באופן בלתי תלוי אחת בשנייה.

סעיף ב: (8 נק')
נניח (לסעיף זה בלבד) שהקצב חילק

n = 5000

חתיכות. חשבו חסם תחתון (מספרי) להסתברות שמספר החתיכות שאינן כשרות יהיה בין 30 ל-100.

סעיף ג: (8 נק')
(תזכורת: הקצב מחלק

n

חתיכות כך שכל חתיכה היא אינה כשרה בהסתברות 0.01 באופן בלתי תלוי אחת בשנייה).
נניח כי הקצב רוצה שבהסתברות 0.9, מספר החתיכות הלא כשרות שחילק יהיה בטל בשישים. כלומר, הקצב רוצה שבהסתברות 0.9, מספר החתיכות הלא כשרות שחילק יהיה

\frac{1}{60}

מסך החתיכות.
הערך את מספר החתיכות שיצטרך לחלק.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

אי-שוויון מרקובתוחלתמשתנה מקריאי-שוויון צ'בישבהתפלגות בינומיתשונותמשפט הגבול המרכזיהתפלגות נורמלית

מניחים 4 כדורים שונים ב־6 תאים ממוספרים, כאשר כל תא יכול להכיל כל מספר של כדורים בין 0 ל־4 וכך שכל האפשרויות להנחת הכדורים בתאים הן שוות הסתברות.

א. מה ההסתברות שכל אחד מהכדורים יונח בתא אחר?

ב. מה ההסתברות שכל הכדורים יונחו בדיוק בשני תאים?

ג. מהן התוחלת והשונות של מספר התאים אשר מכילים כדורים?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2022 · סמסטר ג

★★★★★

מרחב הסתברותקומבינטוריקההכלה והפרדהמשתנה מקריתוחלתשונותשונות משותפת

בגן ילדים מחלקים באקראי ל-

30

ילדים

60

מסטיקים צבעוניים:

20

אדומים,

20

צהובים ו-

20

ירוקים.
כל ילד מקבל בדיוק

2

מסטיקים.
יהי

X

המשתנה המקרי המוגדר על-ידי מספר הילדים בגן שלא מקבלים אף מסטיק אדום.

א. חשבו את

P {X = 10}

.

ב. חשבו את התוחלת של

X

.

ג. חשבו את השונות של

X

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א1 · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

משתנה מקרימשתנה מקרי בדידתוחלתשונותקומבינטוריקההסתברות מותנית

שאלה 2

בטורניר הערב משתתפים 15 שחקנים. לקראת הטורניר כל שחקן התבקש לבחור שורה כלשהי מלוח השחמט. הבחירה של כל שחקן נעשית באופן בלתי תלוי בשחקנים אחרים, כך ששורה כלשהי יכולה להיבחר על-ידי יותר משחקן אחד.

שימו לב, הבחירה היא של שורה ולא של משבצת. בלוח שחמט 8 שורות.

יהי

X

- מספר השורות שנבחרו על ידי לפחות שני שחקנים.

א. (6 נק') חשבו את התוחלת של

X

.

ב. (12 נק') חשבו את השונות של

X

.

ג. (7 נק') מצאו את התוחלת של

X^{2} - 4 X + 3

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

משתנה מקריתוחלתשונותהתפלגות בינומיתשונות משותפתקומבינטוריקה

בוחרים באקראי שלוש משבצות בלוח שחמט

8 \times 8

.

נסמן:

X

– מספר העמודות שאינן ריקות (עמודה היא ריקה אם לא נבחרה בה אף משבצת).

Y

– מספר הזוגות של משבצות שנבחרו הנמצאות באותה שורה או באותה עמודה. שימו לב, אם כל המשבצות נבחרו באותה השורה או אותה העמודה

Y = 3

.

א. חשבו את

P {X = 3, Y = 1}

. (5 נק')

ב. מצאו את פונקציית ההסתברות המשותפת של

X

ו-

Y

. (12 נק')

ג. מצאו את

F_{X, Y} (2, 3)

. (3 נק')

ד. מצאו את

E [X ∣ Y > 1]

. (5 נק')

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2021 · סמסטר ב

★★★★★

מרחב הסתברותקומבינטוריקהמשתנה מקריהתפלגות משותפתהתפלגות שוליתהתפלגות מותניתפונקציית התפלגות מצטברתתוחלת מותנית

נתונה קובייה הוגנת הממוספרת מ-1 ועד 6 (לכל תוצאה אותה ההסתברות). נערך הניסוי הבא: מטילים את הקובייה עד שמתקבל מספר זוגי. נסמן ב-

X

את מספר ההטלות בניסוי (כולל ההטלה האחרונה).

סעיף א (8 נק')
1. חשב/י את

E [X]

. נמק/י את חישובך. (4 נק')
2. בהינתן שתוצאת ההטלה הראשונה היא 3, חשב את התוחלת של

X

(4 נק').

סעיף ב (9 נק')
נסמן ב-

Y

את סכום התוצאות הכולל בכל ההטלות שנערכו בניסוי. חשב את

E [Y ∣ X \leq 2]

. נמק/י את חישוביך.

סעיף ג (8 נק')
נערך הניסוי החדש הבא: קוביית משחק הוגנת מוטלת עד שמתקבל רצף של שני מספרים זוגיים בשתי הטלות עוקבות. נסמן ב-

Z

את מספר ההטלות הכולל (כולל ההטלה האחרונה). חשב/י את

E [Z]

. נמק/י את חישובך.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2020 · סמסטר א

★★★★★

משתנה מקרימשתנה מקרי בדידהתפלגות גאומטריתתוחלתתוחלת מותניתהסתברות מותניתאי-תלות

שאלות משתנה מקרי בהסתברות עם פתרונות

שאלות תרגול בהסתברות בנושא משתנה מקרי ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא משתנה מקרי.