איך לתרגל שאלות סטיית תקן בהסתברות?

באתר prepd תמצאו שאלות סטיית תקן בהסתברות ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות סטיית תקן יש בהסתברות?

באתר prepd יש עשרות שאלות סטיית תקן בהסתברות ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על סטיית תקן לקראת מבחן בהסתברות?

סטיית תקן הוא אחד הנושאים המרכזיים בהסתברות. תרגול שאלות ממבחנים בנושא סטיית תקן הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

הסתברות - סטיית תקן

הסתברות, משתנים מקריים והתפלגויות

סטטיסטיקות מבחנים

רמת קושי:

בכד יש 3 כדורים כחולים ו-2 כדורים לבנים. רונן מוציא מהכד שני כדורים, בזה אחר זה, באקראי, ללא החזרה. נגדיר את המשתנה המקרי

X

להיות מספר הכדורים הכחולים שהוצאו בסך-הכל.

סעיף א: (8 נק')
הוכח כי

E [X] = \frac{6}{5}

(רמז: הגדר אינדיקטורים

X_{1}, X_{2}

).

נגדיר את המאורע

B

שבו שני הכדורים שהוצאו הם בצבע כחול.

סעיף ב: (8 נק')
מצא את

P (B)

.

סעיף ג: (9 נק')
נסמן ב-

σ [X]

את סטיית התקן של

X

. הוכח כי

σ [X] = \frac{3}{5}

(רמז: חשב את

C o v (X_{1}, X_{2})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2026 · סמסטר א

★★★★★

משתנה מקרי בדידתוחלתשונותסטיית תקןהסתברות מותניתנוסחת ההסתברות השלמהשונות משותפתסכום משתנים מקריים

לקוח עובר בין

n

מאפיות. בהגיעו למאפיה, הוא קונה מצה אקראית. בהסתברות

\frac{1}{4}

יקבל מצה עם שוקולד שעולה 10₪ ובהסתברות

\frac{3}{4}

יקנה מצה רגילה שעולה

\frac{2}{3}

₪. בכל מקרה, לאחר שישלם עליה, יעבור למאפיה הבאה.

יהא

X_{i}

מ"מ המציין את הסכום אותו שילם במאפיה ה-

i

-ית. נתבונן על העלות הממוצעת של מצה:

\overline{X}_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

סעיף א: (8 נק')
מצא את התוחלת וסטיית התקן של

\overline{X}_{n}

.

סעיף ב: (9 נק')
קבע, החל מאיזה

n \in N

, מתקים כי

P (\overline{X}_{n} \in (\frac{2}{3}, \frac{16}{3})) \geq \frac{96}{99}

סעיף ג: (8 נק')
נתבונן בסכום הכולל שהלקוח שילם באותו היום:

S_{n} = i = 1 \sum n X_{i}

מצא קֵרוב להסתברות

P (S_{n} \leq 3 n + \frac{49 n}{48})

. האם הערך שקיבלת תלוי ב-

n

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

משתנה מקרי בדידתוחלתשונותסטיית תקןאי-שוויון צ'בישבמשפט הגבול המרכזיסכום משתנים מקרייםהתפלגות נורמלית

נתונה סדרה

X_{1}, X_{2}, X_{3}, \dots

של משתנים מקריים רציפים בלתי-תלויים

X_{i} \sim U (0, 1)

.
לכל

i \geq 1

, נגדיר את המשתנים המקריים:

Y_{i} = (X_{i})^{2}

ואת

Z_{i} = (Y_{i})^{2}

.

סעיף א: (8 נק')
מצאו את

E [Y_{i}]

ואת

E [Z_{i}]

.

סעיף ב: (7 נק')
מצאו את

V a r [Y_{i}]

ואת סטיית התקן של

Y_{i}

.

סעיף ג: (10 נק')
עבור

n \geq 1, n \in N

נתבונן בסכום:

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}

.
קבעו, בעזרת משפט הגבול המרכזי, עבור איזה ערך של

n

, ההסתברות:

P (S_{n} \leq \frac{1}{3 5} + \frac{n}{3}) \approx Φ (\frac{1}{20})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

משתנה מקרי רציףתוחלתשונותסטיית תקןהתפלגות אחידהסכום משתנים מקרייםמשפט הגבול המרכזי

יהי

X

משתנה מקרי נורמלי עם תוחלת

μ

וסטיית תקן

σ = 1.3

.

ידוע כי

P {X < 0.7} = P {X > 3.3}

.

.1 מהי התוחלת של

X

?

.2 מהו

a

המקיים את השוויון

P {X > a} = 0.63

?

.3 חשבו את

P {X < 3.1∣ X > 2}

.

נא לבצע אינטרפולציה לינארית בסעיפים בהם יש צורך.

יהי

X

משתנה מקרי אחיד רציף על הקטע

(a, b)

.

הוכיחו כי:

.1

E [X] = \frac{a + b}{2}

Var (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

התפלגות נורמליתהתפלגות אחידההתפלגויות רציפותתוחלתשונותסטיית תקןהסתברות מותניתפונקציית צפיפות

התפלגות המשקל (בגרמים) של תפוח ירוק היא נורמלית עם תוחלת 100 וסטיית-תקן 10.
התפלגות המשקל (בגרמים) של תפוח אדום היא נורמלית עם תוחלת 150 וסטיית-תקן 20.
אין תלות בין משקלים של תפוחים שונים.

א. יעל הולכת לירקן כדי לקנות 10 תפוחים – 5 תפוחים ירוקים ו- 5 תפוחים אדומים. היא בוחרת באקראי את כל התפוחים: תחילה את התפוחים הירוקים ואחר-כך את האדומים, ושמה את כולם בשקית אחת.

.1 מהי ההסתברות שכל אחד מ10 התפוחים שיעל בוחרת שוקל בין 100 גרם ל- 150 גרם?

.2 בהנחה שמשקל השקית הריקה זניח:

מהי סטיית התקן של המשקל הכולל של כלל התפוחים בשקית?

.3 מה ההסתברות שיהיה בדיוק תפוח אחד מתוך 10 התפוחים ששוקל מתחת ל- 130 גרם?

ב. יעל מחליטה לאפות עוגת תפוחים. לשם כך, היא זקוקה ל3 תפוחים ירוקים שמשקל כל אחד מהם גבוה מ111 גרם, ול3 תפוחים אדומים שמשקל כל אחד מהם נמוך מ143 גרם.
יעל מתחילה לבחור באקראי תפוחים ירוקים, ושוקלת אותם אחד-אחד עד למציאת מבוקשה. אחר-כך היא בוחרת באותו אופן את התפוחים האדומים שלהם היא זקוקה.
מהי תוחלת מספר התפוחים שיעל תשקול עד למציאת כל התפוחים הדרושים לה לאפיית העוגה? בסעיף זה הניחו שאין הגבלה למספר התפוחים (מכל צבע) ברשות יעל.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א · 2024 · סמסטר א

★★★★★

התפלגות נורמליתסכום משתנים מקרייםתוחלתשונותסטיית תקןהתפלגות בינומיתהתפלגות בינומית שליליתאי-תלות

במאפייה מייצרים לחמניות שמשקלן מתפלג נורמלית עם תוחלת של 50 גרם וסטיית תקן של 4 גרם. הניחו כי משקלן של לחמניות שונות הם משתנים מקריים בלתי תלויים.

א. דוגמים באקראי 40 לחמניות שנאפו במאפייה.

.1 מהי השונות של מספר הלחמניות שמשקלן גבוה מ- 42 גרם?

.2 מהי ההסתברות שהמשקל הממוצע ללחמניה במדגם יהיה לפחות 52 גרם?

ב. הלחמניות שמשקלן נמוך מ- 40 גרם נתרמות, והיתר משווקות. איזה אחוז מתוך הלחמניות המשווקות, שוקלות מתחת ל- 51 גרם?

ג. על כל לחמניה השוקלת יותר מ- 54 גרם מפזרים שומשום בהסתברות 0.7, ועל כל לחמניה השוקלת לכל היותר 54 גרם מפזרים שומשום בהסתברות 0.2. אם נבחרה לחמניה שעליה שומשום, מה ההסתברות שהלחמניה שוקלת מעל 54 גרם?

שימו לב, בסעיפים הנדרשים, עליכם לבצע אינטרפולציה לינארית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב · 2022 · סמסטר ג

★★★★★

התפלגות נורמליתהתפלגות בינומיתסכום משתנים מקרייםהסתברות מותניתנוסחת בייסנוסחת ההסתברות השלמהתוחלתשונותסטיית תקן

אורך של קיסם (בס"מ), שמיוצר במכונה מסוימת, הוא משתנה מקרי, שנסמנו ב-

X

, והתפלגותו נורמלית עם תוחלת של 5 ס"מ וסטיית-תקן

σ

.

א. (7 נק') אם מתקיים

P {4.847 \leq X \leq 5.153} = 0.874

, מהו הערך של

σ

?

ב. (6 נק') מהו האורך של קיסם, שההסתברות שהמכונה תייצר קיסם ארוך ממנו היא 0.76?

קיסמים שמיוצרים נארזים בחבילות של 50 יחידות. נניח כי אין תלות בין אורכי קיסמים שונים שהמכונה מייצרת או שנארזים בחבילות.

ג. (6 נק') פותחים חבילת קיסמים. מהי ההסתברות שאורכו של הקיסם הקצר ביותר בחבילה יהיה קטן מ- 4.83 ס"מ?

ד. (6 נק') נניח שבחבילה מסוימת יש בדיוק 20 קיסמים (מתוך 50) שאורכם קצר מ- 5 ס"מ. אם בוחרים מחבילה זו 18 קיסמים באופן מקרי, מהי שונות מספר הקיסמים הנבחרים שאורכם קצר מ- 5 ס"מ?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד א2 · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

התפלגות נורמליתסטיית תקןשונותהתפלגות היפרגאומטריתאי-תלות

במפעל ליצור קסדות לאופנועים יש צורך להתייחס לקוטר הראש של רוכב. לרוכב אקראי יש קוטר ראש מפולג נורמלי עם תוחלת

15

ס"מ וסטיית תקן

2

ס"מ.
א. מצא את ההסתברות שקוטר ראשו של רוכב אקראי קטן מ-

15.5

ס"מ.
ב. מצא את ההסתברות של-

100

רוכבים אקראיים יש ממוצע קוטר ראש קטן מ-

15.5

ס"מ.
ג. מנהל יצור מחליט לייצר סדרה ראשונית של קסדות. בעקבות התוצאות של סעיף ב' הוא מחליט לייצר קסדה שתתאים לרוכבים עם קוטר ראש קטן מ-

15.5

ס"מ בגלל שקסדה כזאת תתאים לרב המוחלט של הרוכבים. מה הטעות בטיעון של מנהל הייצור?
ד. מצא חסם להסתברות שקוטר הראש של רוכב בודד הוא בין

12.5

ל-

19.0

ס"מ.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2017 · סמסטר א

★★★★★

התפלגות נורמליתתוחלתשונותסטיית תקןמשפט הגבול המרכזיאי-שוויון צ'בישב

המשקל של גברים מפולג נורמלית עם תוחלת 86 ק"ג וסטיית תקן 14.5.
א. מה ההסתברות שגבר אחד שנבחר באופן אקראי ישקול יותר מ-95 ק"ג?
ב. מה ההסתברות ש-25 גברים שנבחרו באופן אקראי יהיו בעלי משקל ממוצע של יותר מ-95 ק"ג?
ג. במעלית במכון כשר של גברים יש שלט המציין שהמשקל המירבי המותר הוא 2375 ק"ג. אם 25 גברים אקראיים נדחסים לתוך המעלית, מה ההסתברות שהמשק הכולל יהיה מעל המשקל המירבי המותר?
ד. תן חסם להסתברות שמשקלו של גבר אקראי יהיה בין 75 ל-100 ק"ג.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2017 · סמסטר א

★★★★★

התפלגות נורמליתמשפט הגבול המרכזיאי-שוויון צ'בישבתוחלתשונותסטיית תקןסכום משתנים מקריים

בית חרושת לייצור ממתקים מייצר שוקולד בחפיסות שהמשקל הרשום עליהן הוא 100 גרם. עם זאת, אין המשקל מדויק והוא מתפלג נורמלית. בהנחה שתוחלת המשקל של חפיסה היא 100 גרם וסטיית התקן היא 2 גרם.
א. (7%) מה ההסתברות שמשקלה של חפיסת שוקולד מקרית שנקנתה עולה על 104 גרם?
ב. (7%) מה ההסתברות שמשקלה של חפיסת שוקולד מקרית שנקנתה הוא בין 92 ל- 102 גרם?
ג. (7%) מהו אחוז החפיסות שמשקלן סוטה מהמשקל המוצהר ביותר מ- 3 גרם?
ד. (7%) מה צריכה להיות סטיית התקן של משקל החפיסה, כך שתתקיים דרישת ההנהלה לפיה חפיסות שמשקלן סוטה מהמשקל המוצהר ביותר מ- 3 גרם יהוו לא יותר מ- 5%?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2015 · סמסטר א

★★★★★

התפלגות נורמליתמשתנה מקרי רציףתוחלתסטיית תקןפונקציית התפלגות מצטברת

שאלות סטיית תקן בהסתברות עם פתרונות

שאלות תרגול בהסתברות בנושא סטיית תקן ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא סטיית תקן.