איך לתרגל שאלות אי-תלות בהסתברות?

באתר prepd תמצאו שאלות אי-תלות בהסתברות ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות אי-תלות יש בהסתברות?

באתר prepd יש עשרות שאלות אי-תלות בהסתברות ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על אי-תלות לקראת מבחן בהסתברות?

אי-תלות הוא אחד הנושאים המרכזיים בהסתברות. תרגול שאלות ממבחנים בנושא אי-תלות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

הסתברות - אי-תלות

הסתברות, משתנים מקריים והתפלגויות

סטטיסטיקות מבחנים

רמת קושי:

4 קופסאות ממוספרות מסודרות בשורה, משמאל לימין בסדר עולה לפי מספריהן. לכל

1 \leq i \leq 4

נועה שמה מטבע בקופסא ה-

i

-ית בהסתברות

\frac{i}{4}

, באופן בלתי-תלוי בקופסאות האחרות. ליאור פותחת את הקופסאות בסדר עולה עד שהיא נתקלת במטבע.
נגדיר את המשתנה המקרי

X

להיות מספר הקופסאות שליאור פתחה.

סעיף א' (8 נק')
הוכח:

P (X = k) > \frac{1}{3}

אם ורק אם

k = 2

.

סעיף ב' (8 נק')
מצא את

E [X]

.

סעיף ג' (9 נק')
נגדיר את

Y

להיות המספר הכולל של המטבעות שנועה הניחה בתוך כלל הקופסאות. הוכח או הפרך:

E [Y] = 4 V [Y]

(רמז: הגדירו משתנה מקרי

Y_{i}

שהוא אינדיקטור להאם יש מטבע בקופסא ה-

i

-ית).

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2026 · סמסטר א

★★★★★

אי-תלותמשתנה מקרימשתנה מקרי בדידפונקציית הסתברותתוחלתשונותסכום משתנים מקרייםהתפלגויות בדידות

יהיו

a, b \in R^{+}

פרמטרים ויהיו

X, Y

שני משתנים מקריים עם פונקציות הצפיפות הבאות:

f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = {\frac{a x}{2 b y ^{2}} 0 0 \leq x < y \leq \frac{1}{2} אחרת

f_{Y} (y) = {10 ab y^{4} 0 0 < y \leq \frac{1}{2} אחרת

סעיף א: (9 נק')
מצא את

a, b

.

סעיף ב: (8 נק')
האם

X, Y

בלתי-תלויים?

סעיף ג: (8 נק')
יהא

c \in R

כך ש-

P (c X < Y) = \frac{1}{49}

וגם

c \geq 1

. מצא את

c

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2026 · סמסטר א

★★★★★

משתנה מקרי רציףפונקציית צפיפותהתפלגות משותפתהתפלגות מותניתהתפלגות שוליתאי-תלותוקטור אקראי

יהיו

X, Y

שני משתנים מקריים עם פונקציית הצפיפות המשותפת הבאה:

f_{X, Y} (x, y) = {\frac{1}{4} 0 - 2 < x < 0, 0 < y < 2 אחרת

ונגדיר משתנה מקרי

Z = X + Y

.

סעיף א: (9 נק')
חשבו את פונקציית הצפיפות

f_{Z} (z)

.

סעיף ב: (8 נק')
הוכיחו או הפריכו:

P (- 1 \leq z \leq 1) = P (z \leq - 1 \lor z \geq 1)

.

סעיף ג: (8 נק')
יהי

c \in R

קבוע, נתבונן על גרסא מוכללת של פונקצית הצפיפות המשותפת של

X, Y

f_{X, Y} (x, y) = {c 0 a < x < b, d < y < e אחרת

הוכיחו או הפריכו:

X, Y

בלתי תלויים.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

משתנה מקרי רציףפונקציית צפיפותהתפלגות משותפתסכום משתנים מקרייםקונבולוציהאי-תלותהתפלגות שוליתהתפלגות אחידה

שחקן משתתף בתחרות בת 2 שלבים:
• ההסתברות שהוא ינצח בשלב הראשון היא

p

.
• בהינתן שהשחקן ניצח בשלב הראשון, ההסתברות שהוא ינצח בשלב השני היא

q

.
• בהינתן שהשחקן הפסיד בשלב הראשון, ההסתברות שהוא ינצח בשלב השני היא

r

.

ידוע כי ההסתברות שהוא יפסיד לפחות באחד השלבים היא

\frac{5}{6}

וכי ההסתברות שתוצאתו בשלב הראשון תהיה זהה לתוצאתו בשלב השני היא

\frac{1}{2}

.

סעיף א' (8 נק')
הראה כי ההסתברות לכך שיפסיד גם בשלב הראשון וגם בשלב השני היא

\frac{1}{3}

.

ידוע בנוסף כי ההסתברות שינצח בשלב הראשון בהינתן שניצח בשלב השני היא

\frac{7}{23}

.

סעיף ב' (12 נק')
מצא את

p, q, r

.

סעיף ג' (5 נק')
האם נצחון בשלב הראשון ב"ת בנצחון בשלב השני?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

הסתברות מותניתנוסחת ההסתברות השלמהנוסחת בייסאי-תלות

נתונים שלושה מטבעות שונים. מטבע מספר 1 עם הסתברות

p

ל-H. מטבע מספר 2 עם הסתברות

q

ל-H. מטבע מספר 3 עם הסתברות

r

ל-H.
מוגדר משחק הכולל עד שלושה שלבים, אותם מבצע שחקן יחיד בזה אחר זה, לפי הכללים הבאים:
1) בשלב 1 מוטל מטבע מספר 1. אם תוצאת ההטלה היא H השחקן ממשיך לשלב 2. אם תוצאת ההטלה היא T המשחק מסתיים בהפסד.
2) בשלב 2 מוטל מטבע מספר 2. אם תוצאת ההטלה היא H השחקן ממשיך לשלב 3. אם תוצאת ההטלה היא T המשחק מסתיים בהפסד.
3) בשלב 3 מוטל מטבע מספר 3. אם תוצאת ההטלה היא H המשחק מסתיים בניצחון. אם תוצאת ההטלה היא T המשחק מסתיים בהפסד.

ידוע כי ההסתברות לעבור את שני השלבים הראשונים במשחק היא 0.28
ההסתברות ששחקן שעבר את שני השלבים הראשונים במשחק יפסיד גדולה פי 3 מההסתברות ששחקן שעבר את שני השלבים הראשונים במשחק ינצח.

סעיף א' (8 נק')
חשב את ההסתברות לניצחון במשחק.

סעיף ב' (9 נק')
ההסתברות להפסיד במשחק לאחר שני השלבים הראשונים היא 0.42 (כלומר בשלב 1 תוצאת ההטלה היא H ובשלב 2 תוצאת ההטלה היא T). חשב את ערכו של

p

.

סעיף ג' (8 נק')
הילדים רונה, קרן ויוסי שיחקו כל אחד במשחק המטבעות פעם אחת. ידוע ששלושתם עברו את שלב 1 בהצלחה
1) חשב את ההסתברות שבדיוק שניים משלושת הילדים ינצחו במשחק
2) חשב את ההסתברות שמבין שלושת הילדים רק קרן ויוסי ינצחו במשחק

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

הסתברות מותניתאי-תלותהתפלגות בינומית

נתונים שני מ"מ ב"ת

X, Y \sim E x p (1)

המ"מ:

Z = max {X, Y}

ו-

W = min {X, Y}

.

סעיף א: (12 נק')
הוכח או הפרך:

f_{Z} (ln 2) = f_{W} (ln 2) = \frac{1}{2}

.

סעיף ב: (13 נק')
נתבונן על המ"מ

U = 3 e^{\frac{Z}{2}}

ו-

V = e^{W}

. הוכח כי

E [U] = 8

וכי

E [V] = 2

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

משתנה מקרי רציףהתפלגות מעריכיתפונקציית התפלגות מצטברתפונקציית צפיפותאי-תלותתוחלתפונקציה יוצרת מומנטיםטרנספורמציה של משתנה מקרי

יהיו

X_{1}, \dots, X_{n} \sim U (0, 1)

מ"מ רציפים ב"ת. נגדיר את המ"מ הבאים:

Y = i = 1 max n {X_{i}}

Z = i = 1 min n {X_{i}}

W = n X_{1}

סעיף א: (12 נק')
קבע אילו זוגות מבין

Y, Z, W

שווי התפלגות? (לאילו זוגות ישנה אותה פונקצית ההתפלגות המצטברת)

סעיף ב: (13 נק')
הוכח כי:

2 = E [Y] + 2 E [Z] + E [W]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

משתנה מקרי רציףהתפלגות אחידהפונקציית התפלגות מצטברתפונקציית צפיפותתוחלתטרנספורמציה של משתנה מקריאי-תלותסטטיסטי סדר

נתונות הפונקציה הבאה:

f_{X, Y} (x, y) = {c x y 0 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x אחרת

סעיף א: (8 נק')
מצאו את הקבוע

c

.

סעיף ב: (9 נק')
1. מצאו את ההתפלגות השולית של

X

ושל

Y

(כלומר, יש לחשב את

f_{X} (x)

ואת

f_{Y} (y)

).
2. האם

X

Y

בלתי תלויים?

סעיף ג: (8 נק')
מצאו את ההתפלגות השולית של

X

בהינתן

Y

. כלומר, מצאו את

f_{X ∣ Y} (x ∣ y)

.
חשבו את

E [X ∣ Y = 0]

ואת השונות

V a r [X ∣ Y = 0]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

משתנה מקרי רציףפונקציית צפיפותהתפלגות משותפתהתפלגות שוליתאי-תלותהתפלגות מותניתתוחלת מותניתשונות

בשאלה זו כל המטבעות מסומנים בצד אחד ב-H ובצד השני ב-T עם הסתברות

p

ל-H, כאשר

0 < p < 1

.

סעיף א' (8 נק')
מטבע כלשהו שבצידו האחד H ובצידו השני T מוטל על ידי דני שלוש פעמים.
נסמן את התוצאה של שלוש ההטלות ב-

X_{1}, X_{2}, X_{3}

.
נסמן ב-A את המאורע אשר

X_{1} \neq = X_{2}

או

X_{2} \neq = X_{3}

או

X_{1} \neq = X_{3}

.
חשב את ההסתברות למאורע A.

סעיף ב' (8 נק')
אם דני מקבל את אותה התוצאה בשלוש ההטלות, אז דנה מטילה קובייה הוגנת (עם שש פאות).
אחרת, דנה מטילה קובייה שאינה הוגנת (עם שש פאות), כאשר הסיכוי לקבל 6 הוא

q

, וכל מספר אחר מתקבל בסיכוי

\frac{1 - q}{5}

.
מה ההסתברות (כתלות ב-

p

ו-

q

) שתוצאת ההטלה של דנה תהיה 4 או יותר?

סעיף ג' (9 נק')
דנה טוענת כי כאשר

p = \frac{1}{2}

קיים ערך

q > \frac{1}{6}

עבורו המאורע בו דני מקבל שלוש פעמים את אותה התוצאה, בלתי תלוי במאורע בו היא מקבלת בקובייה את המספר 4 או יותר. הוכח או הפרך את טענתה של דנה.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מרחב הסתברותהסתברות מותניתנוסחת ההסתברות השלמהאי-תלות

נתונה הפונקציה הבאה:

f_{X, Y} (x, y) = {4 x y 0 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 אחרת

סעיף א: (8 נק')
הוכח כי

f_{X, Y} (x, y)

היא פונקציית PDF משותפת תקינה של X ו-Y.

סעיף ב: (9 נק')
הוכח או הפרך: X ו-Y הם בלתי תלויים

סעיף ג: (8 נק')
נגדיר את המאורע הבא:

{X < 0.5 and Y > 0.5}

. כלומר הערך של X קטן ממש מ-0.5 וגם הערך של Y גדול ממש מ-0.5.
חשבו את

P (X < 0.5 and Y > 0.5)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר א

★★★★★

התפלגות משותפתפונקציית צפיפותהתפלגות שוליתאי-תלותמשתנה מקרי רציף

שאלות אי-תלות בהסתברות עם פתרונות

שאלות תרגול בהסתברות בנושא אי-תלות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא אי-תלות.