איך לתרגל שאלות שונות בהסתברות?

באתר prepd תמצאו שאלות שונות בהסתברות ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות שונות יש בהסתברות?

באתר prepd יש עשרות שאלות שונות בהסתברות ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על שונות לקראת מבחן בהסתברות?

שונות הוא אחד הנושאים המרכזיים בהסתברות. תרגול שאלות ממבחנים בנושא שונות הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

הסתברות - שונות

הסתברות, משתנים מקריים והתפלגויות

סטטיסטיקות מבחנים

רמת קושי:

4 קופסאות ממוספרות מסודרות בשורה, משמאל לימין בסדר עולה לפי מספריהן. לכל

1 \leq i \leq 4

נועה שמה מטבע בקופסא ה-

i

-ית בהסתברות

\frac{i}{4}

, באופן בלתי-תלוי בקופסאות האחרות. ליאור פותחת את הקופסאות בסדר עולה עד שהיא נתקלת במטבע.
נגדיר את המשתנה המקרי

X

להיות מספר הקופסאות שליאור פתחה.

סעיף א' (8 נק')
הוכח:

P (X = k) > \frac{1}{3}

אם ורק אם

k = 2

.

סעיף ב' (8 נק')
מצא את

E [X]

.

סעיף ג' (9 נק')
נגדיר את

Y

להיות המספר הכולל של המטבעות שנועה הניחה בתוך כלל הקופסאות. הוכח או הפרך:

E [Y] = 4 V [Y]

(רמז: הגדירו משתנה מקרי

Y_{i}

שהוא אינדיקטור להאם יש מטבע בקופסא ה-

i

-ית).

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2026 · סמסטר א

★★★★★

אי-תלותמשתנה מקרימשתנה מקרי בדידפונקציית הסתברותתוחלתשונותסכום משתנים מקרייםהתפלגויות בדידות

בכד יש 3 כדורים כחולים ו-2 כדורים לבנים. רונן מוציא מהכד שני כדורים, בזה אחר זה, באקראי, ללא החזרה. נגדיר את המשתנה המקרי

X

להיות מספר הכדורים הכחולים שהוצאו בסך-הכל.

סעיף א: (8 נק')
הוכח כי

E [X] = \frac{6}{5}

(רמז: הגדר אינדיקטורים

X_{1}, X_{2}

).

נגדיר את המאורע

B

שבו שני הכדורים שהוצאו הם בצבע כחול.

סעיף ב: (8 נק')
מצא את

P (B)

.

סעיף ג: (9 נק')
נסמן ב-

σ [X]

את סטיית התקן של

X

. הוכח כי

σ [X] = \frac{3}{5}

(רמז: חשב את

C o v (X_{1}, X_{2})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2026 · סמסטר א

★★★★★

משתנה מקרי בדידתוחלתשונותסטיית תקןהסתברות מותניתנוסחת ההסתברות השלמהשונות משותפתסכום משתנים מקריים

יהא

X \sim N (0, 1)

משתנה מקרי.

סעיף א: (10 נק')
ללא שימוש בטבלה, הוכח כי לכל

ε > 0

מתקיים:

P (X \in (- ε, ε)) \geq \frac{( ε + 1 ) \cdot ( ε - 1 )}{ε ^{2}}

(רמז: אי-שוויון צ'בישב).

סעיף ב: (15 נק')
תהא

(Y_{i})_{i = 1}^{\infty}

סדרת משתנים מקרים ב"ת שווי התפלגות בעלי תוחלת

μ

ושונות

σ^{2}

כך ש-

μ = σ = \frac{3}{2}

. עבור כל

n \in N

, נגדיר את המשתנים המקריים:

S_{n} = i = 1 \sum n Y_{i}

Z_{n} = S_{n} \cdot \frac{2}{3 n} - n

הוכח, ללא שימוש בטבלת ההסתברות הנורמלית סטנדרטית, כי:

n \to \infty lim P (Z_{n} \in (- \frac{3}{2}, \frac{3}{2})) \geq \frac{5}{9}

(רמז: הראו שהמשתנה

Z_{n}

בעל תוחלת 0 ושונות 1. לאחר מכן, היעזרו במשפט הגבול המרכזי כדי להראות שעבור

Z \sim N (0, 1)

מתקיים

lim_{n \to \infty} P (Z_{n} \in (- \frac{3}{2}, \frac{3}{2})) = P (Z \in (- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}))

. כעת, השתמשו בסעיף א').

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2026 · סמסטר א

★★★★★

אי-שוויון צ'בישבמשפט הגבול המרכזיהתפלגות נורמליתתוחלתשונותסכום משתנים מקריים

יהא

X

משתנה מקרי (לאו דוקא אי-שלילי).

סעיף א: (10 נק')
הוכח כי לכל

a > 0

מתקים:

P (X^{2} \geq a) \leq \frac{V [ X ] + ( E [ X ] ) ^{2}}{a}

.

סעיף ב: (15 נק')
ידוע כי

- b \leq X \leq b

רציף, וכן כי

f_{X} (x) \leq \frac{1}{2 x ^{2}}

.
הוכח כי לכל

a > 0

מתקים:

P (X^{2} \geq a) \leq \frac{b}{a}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2026 · סמסטר א

★★★★★

אי-שוויון מרקובאי-שוויונותתוחלתשונותמשתנה מקרי רציףפונקציית צפיפות

לקוח עובר בין

n

מאפיות. בהגיעו למאפיה, הוא קונה מצה אקראית. בהסתברות

\frac{1}{4}

יקבל מצה עם שוקולד שעולה 10₪ ובהסתברות

\frac{3}{4}

יקנה מצה רגילה שעולה

\frac{2}{3}

₪. בכל מקרה, לאחר שישלם עליה, יעבור למאפיה הבאה.

יהא

X_{i}

מ"מ המציין את הסכום אותו שילם במאפיה ה-

i

-ית. נתבונן על העלות הממוצעת של מצה:

\overline{X}_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

סעיף א: (8 נק')
מצא את התוחלת וסטיית התקן של

\overline{X}_{n}

.

סעיף ב: (9 נק')
קבע, החל מאיזה

n \in N

, מתקים כי

P (\overline{X}_{n} \in (\frac{2}{3}, \frac{16}{3})) \geq \frac{96}{99}

סעיף ג: (8 נק')
נתבונן בסכום הכולל שהלקוח שילם באותו היום:

S_{n} = i = 1 \sum n X_{i}

מצא קֵרוב להסתברות

P (S_{n} \leq 3 n + \frac{49 n}{48})

. האם הערך שקיבלת תלוי ב-

n

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

משתנה מקרי בדידתוחלתשונותסטיית תקןאי-שוויון צ'בישבמשפט הגבול המרכזיסכום משתנים מקרייםהתפלגות נורמלית

תייר עובר בין

n

כפרים במזרח. החל מרגע הגיעו לכפר, הוא מודד את כמות הגשם (מיליארדי קוב) שירדה במשך שנה ולאחר מכן עובר לכפר הבא. ידוע כי כמות הגשם בשנה בכל אחד מהכפרים מתפלגת פואסונית עם

λ = 27

. יהא

X_{i}

מ"מ המציין את כמות הגשם שירדה, במהלך שנה, בביקורו בכפר ה-

i

-י. כמויות הגשמים בכפרים שונים הינן ב"ת.
נתבונן על כמות הגשם הממוצעת:

\overline{X}_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

ועל סך-כמות הגשם בכל ביקוריו:

S_{n} = i = 1 \sum n X_{i}

ונגדיר מ"מ חדש:

Y = S_{n} + 64 \cdot \overline{X}_{n}

.

סעיף א: (8 נק')
הוכח כי

E [Y] = 27 \cdot (n + 64)

וכי

V [Y] = \frac{27 \cdot ( n + 64 ) ^{2}}{n}

.

סעיף ב: (8 נק')
עבור איזה

n

החסם הניתן על-פי אי-שויון מרקוב בעבור המאורע

P (Y \geq 576 \cdot n)

הינו בדיוק

\frac{3}{4}

?

סעיף ג: (9 נק')
עבור איזה

n

החסם הניתן על-פי אי-שויון צ'בישב בעבור המאורע

P (26 \cdot (n + 64) < Y < 28 \cdot (n + 64))

הינו בדיוק

\frac{2}{3}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

התפלגות פואסוןסכום משתנים מקרייםתוחלתשונותאי-שוויון מרקובאי-שוויון צ'בישבאי-שוויונות

נתונות הפונקציה הבאה:

f_{X, Y} (x, y) = {c x y 0 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x אחרת

סעיף א: (8 נק')
מצאו את הקבוע

c

.

סעיף ב: (9 נק')
1. מצאו את ההתפלגות השולית של

X

ושל

Y

(כלומר, יש לחשב את

f_{X} (x)

ואת

f_{Y} (y)

).
2. האם

X

Y

בלתי תלויים?

סעיף ג: (8 נק')
מצאו את ההתפלגות השולית של

X

בהינתן

Y

. כלומר, מצאו את

f_{X ∣ Y} (x ∣ y)

.
חשבו את

E [X ∣ Y = 0]

ואת השונות

V a r [X ∣ Y = 0]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

משתנה מקרי רציףפונקציית צפיפותהתפלגות משותפתהתפלגות שוליתאי-תלותהתפלגות מותניתתוחלת מותניתשונות

שולפים קלפים מחפיסת קלפים המורכבת רק מבני המלוכה והאסים (16 קלפים מ-4 צבעים שונים, 4 בכל צבע: נסיך, מלכה, מלך ואס). בכל שלב בניסוי, שולפים קלף אקראי באופן אחיד, מתבוננים בו ולאחר-מכן מחזירים אותו לחפיסה.
חוזרים על הניסוי במשך

n

שלבים. כל שליפות הקלפים הינן בלתי-תלויות.
יהא

X

מ"מ המתאר את מספר הניסויים בהם נשלף מלך לב. ידוע כי

E [2 X] = 1920

(שימו לב: התוחלת הנתונה היא של

2 X

)

סעיף א: (10 נק')
הראו כי

n = 15360

סעיף ב: (15 נק')
קבעו האם הקירוב (לפי משפט הגבול המרכזי) להסתברות

P (X \leq 486)

גדול או קטן מאשר

\frac{3}{5}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

התפלגות בינומיתתוחלתשונותמשפט הגבול המרכזיהתפלגות נורמלית

בכיתה יש 10 ילדים, ממוספרים מ 1 עד 10, ויש 20 כיסאות ממוספרים מ 1 עד 20.
הילדים, לפי הסדר, מתיישבים אחד אחד, כל אחד בכיסא אקראי פנוי.
(בהתחלה ילד מספר 1, יושב בכיסא אקראי, אחרי זה ילד מספר 2 יושב בכיסא אקראי מתוך ה 19 כיסאות הפנויים, וכך הלאה עד שכל הילדים התיישבו).

אם ילד מספר

i

התיישב בכיסא

i

, אז נגיד שהילד התיישב במקום הנכון.

נסמן ב

X

את מספר הילדים שהתיישבו במקום נכון.

סעיף א: (10 נק')
הוכח שההסתברות שהילד ה

i

יישב במקום הנכון היא

\frac{1}{20}

.

סעיף ב: (5 נק')
חשבו את

E [X]

.

סעיף ג: (10 נק')
חשבו את

V a r [X]

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

קומבינטוריקהמרחב הסתברותמשתנה מקרי בדידתוחלתשונותשונות משותפת

בשאלה זו נוכיח את נכונותו של חסם צ'בישב, ולכן אין להשתמש בו.

סעיף א: (13 נק')
יהי X מ"מ. צריך להוכיח

Pr (∣ X - E [X] ∣ > C) \leq Var [X] / C^{2}

רמז: הגדירו משתנה מקרי

Y = (X - E [X])^{2}

.

סעיף ב: (12 נק')
יהיו

X_{1} \dots X_{5}

חמישה משתנים מקריים רציפים בלתי תלויים המתפלגים בצורה אחידה בקטע [-7,1].
נסמן ב-

Y = X_{1} + \dots + X_{5}

.
חסמו את הסיכוי ש-

P (Y > 5)

האם אפשר להשתמש באי שוויון מרקוב?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אי-שוויון מרקובאי-שוויון צ'בישבתוחלתשונותסכום משתנים מקרייםאי-תלותהתפלגויות רציפותהתפלגות אחידה

שאלות שונות בהסתברות עם פתרונות

שאלות תרגול בהסתברות בנושא שונות ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא שונות.