קורס: אלגברה לינארית 1
נושאים: תלות לינארית, פריסה, מרחב וקטורי
רמת קושי: קל-בינוני
יהיו הווקטורים הבאים ב-$\mathbb{R}^3$:
$$v_1 = (1, 2, 3), \quad v_2 = (4, 5, 6), \quad v_3 = (7, 8, 9)$$
(א) קבעו האם הווקטורים תלויים לינארית או בלתי תלויים לינארית.
(ב) מהו מימד $\mathrm{Sp}\{v_1, v_2, v_3\}$? מצאו בסיס לתת-מרחב זה.
רמז: סדרו את הווקטורים כשורות מטריצה ובצעו אלימינציית גאוס — דרגת המטריצה תקבע הן את תלות/אי-תלות הווקטורים והן את מימד הפריסה.
פתרון: ## חלק (א): תלות לינארית
נבדוק האם קיימים סקלרים $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, לא כולם אפס, כך ש-$\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = \mathbf{0}$.
נסדר את הווקטורים כ**שורות מטריצה** ונבצע **אלימינציית גאוס**:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$
$R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1$, $\quad R_3 \leftarrow R_3 - 7R_1$:
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}$$
$R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$:
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
השורה השלישית אפסית לחלוטין, כלומר $\mathrm{rank}(A) = 2 < 3$, ולכן הווקטורים **תלויים לינארית**.
**תלות מפורשת:** נבחין כי $v_2 - v_1 = (3,3,3)$ וגם $v_3 - v_2 = (3,3,3)$, לכן:
$$v_3 = 2v_2 - v_1$$
*אימות:* $2(4,5,6)-(1,2,3) = (8,10,12)-(1,2,3) = (7,8,9) = v_3$ ✓
כלומר, $(-1)v_1 + 2v_2 + (-1)v_3 = \mathbf{0}$ — **צירוף לינארי** שאינו טריוויאלי.
---
## חלק (ב): מימד הפריסה ובסיס
מהצמצום לעיל, $\mathrm{rank}(A) = 2$, ולכן:
$$\dim\bigl(\mathrm{Sp}\{v_1, v_2, v_3\}\bigr) = 2$$
השורות הפיבוט הן $R_1$ ו-$R_2$, המתאימות ל-$v_1$ ו-$v_2$. ואכן, $v_1$ ו-$v_2$ **בלתי תלויים לינארית** (אחד אינו כפולה סקלרית של השני), ו-$v_3 = 2v_2 - v_1 \in \mathrm{Sp}\{v_1,v_2\}$.
לכן **בסיס** לתת-המרחב הוא:
$$\boxed{\{v_1, v_2\} = \{(1,2,3),\;(4,5,6)\}}$$
תת-המרחב $\mathrm{Sp}\{v_1,v_2,v_3\}$ הוא מישור דו-ממדי ב-$\mathbb{R}^3$. $\blacksquare$
יהיו הווקטורים הבאים ב-R3:
v1=(1,2,3),v2=(4,5,6),v3=(7,8,9)
(א) קבעו האם הווקטורים תלויים לינארית או בלתי תלויים לינארית.
(ב) מהו מימד Sp{v1,v2,v3}? מצאו בסיס לתת-מרחב זה.
שאלה שנוצרה על-ידי AI בסגנון אוניברסיטת תל אביב
תלות לינאריתפריסהמרחב וקטורי
סדרו את הווקטורים כשורות מטריצה ובצעו אלימינציית גאוס — דרגת המטריצה תקבע הן את תלות/אי-תלות הווקטורים והן את מימד הפריסה.
## חלק (א): תלות לינארית
נבדוק האם קיימים סקלרים α1,α2,α3, לא כולם אפס, כך ש-α1v1+α2v2+α3v3=0.
נסדר את הווקטורים כשורות מטריצה ונבצע אלימינציית גאוס:
A=147258369
R2←R2−4R1, R3←R3−7R1:
1002−3−63−6−12
R3←R3−2R2:
1002−303−60
השורה השלישית אפסית לחלוטין, כלומר rank(A)=2<3, ולכן הווקטורים תלויים לינארית.
תלות מפורשת: נבחין כי v2−v1=(3,3,3) וגם v3−v2=(3,3,3), לכן:
v3=2v2−v1
*אימות:* 2(4,5,6)−(1,2,3)=(8,10,12)−(1,2,3)=(7,8,9)=v3 ✓
כלומר, (−1)v1+2v2+(−1)v3=0 — צירוף לינארי שאינו טריוויאלי.
---
## חלק (ב): מימד הפריסה ובסיס
מהצמצום לעיל, rank(A)=2, ולכן:
dim(Sp{v1,v2,v3})=2
השורות הפיבוט הן R1 ו-R2, המתאימות ל-v1 ו-v2. ואכן, v1 ו-v2 בלתי תלויים לינארית (אחד אינו כפולה סקלרית של השני), ו-v3=2v2−v1∈Sp{v1,v2}.
לכן בסיס לתת-המרחב הוא:
{v1,v2}={(1,2,3),(4,5,6)}
תת-המרחב Sp{v1,v2,v3} הוא מישור דו-ממדי ב-R3. ■