שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - תלות לינארית

יהיו הווקטורים הבאים ב-$\mathbb{R}^3$: $$v_1 = (1, 2, 3), \quad v_2 = (4, 5, 6), \quad v_3 = (7, 8, 9)$$ (א) קבעו האם הווקטורים תלויים לינארית או בלתי תלויים לינארית. (ב) מהו מימד $\mathrm{Sp}\{v_1, v_2, v_3\}$? מצאו בסיס לתת-מרחב זה.

רמז: סדרו את הווקטורים כשורות במטריצה ודרגו. שימו לב ליחסים בין השורות: בדקו האם $v_3$ הוא צירוף לינארי של $v_1$ ו-$v_2$.

פתרון: # פתרון ## חלק (א): בדיקת תלות לינארית נבדוק האם קיימים סקלרים $a, b, c$ (לא כולם אפס) כך ש-$av_1 + bv_2 + cv_3 = 0$. ### דרך א': תצפית ישירה נשים לב להפרשים בין הווקטורים: $$v_2 - v_1 = (4-1,\; 5-2,\; 6-3) = (3, 3, 3)$$ $$v_3 - v_2 = (7-4,\; 8-5,\; 9-6) = (3, 3, 3)$$ ההפרשים זהים! מכאן: $$v_3 - v_2 = v_2 - v_1$$ $$v_3 = 2v_2 - v_1$$ $$(-1) \cdot v_1 + 2 \cdot v_2 + (-1) \cdot v_3 = 0$$ מצאנו צירוף לינארי לא טריוויאלי (עם $a=-1,\; b=2,\; c=-1$) שנותן את וקטור האפס, ולכן **הווקטורים תלויים לינארית**. --- ### דרך ב': דירוג מטריצה נסדר את הווקטורים כשורות במטריצה ונדרג: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$ **שלב 1:** נאפס את העמודה הראשונה מתחת לאיבר המוביל: $$R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1, \quad R_3 \leftarrow R_3 - 7R_1$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4-4 & 5-8 & 6-12 \\ 7-7 & 8-14 & 9-21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}$$ **שלב 2:** נאפס את העמודה השנייה מתחת לאיבר המוביל: $$R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6+6 & -12+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ התקבלה **שורת אפסים**, כלומר דרגת המטריצה היא $2 < 3$. **מסקנה:** שלושת הווקטורים תלויים לינארית (אם היו בלתי תלויים, הדרגה הייתה צריכה להיות $3$). --- ## חלק (ב): מימד ובסיס מהדירוג קיבלנו שתי שורות שונות מאפס, ולכן: $$\dim \mathrm{Sp}\{v_1, v_2, v_3\} = 2$$ כלומר תת-המרחב הנפרש הוא **מישור** (דו-ממדי) בתוך $\mathbb{R}^3$. **בחירת בסיס:** השורות הלא-אפסיות במטריצה המדורגת מתאימות לשורות המקוריות $v_1$ ו-$v_2$ (השורה השלישית $v_3$ הפכה לאפס כי היא תלויה בהן). לכן: $$\boxed{\text{בסיס:} \quad \{(1, 2, 3),\; (4, 5, 6)\}}$$ **אימות:** שני הווקטורים הללו אכן בלתי תלויים לינארית (אף אחד מהם אינו כפולה סקלרית של השני), ויחד עם הקשר $v_3 = 2v_2 - v_1$ הם פורשים את כל $\mathrm{Sp}\{v_1, v_2, v_3\}$.