שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - תלות לינארית

יהיו הווקטורים הבאים ב-$\mathbb{R}^3$: $$v_1 = (1, 2, 3), \quad v_2 = (4, 5, 6), \quad v_3 = (7, 8, 9)$$ (א) קבעו האם הווקטורים תלויים לינארית או בלתי תלויים לינארית. (ב) מהו מימד $\mathrm{Sp}\{v_1, v_2, v_3\}$? מצאו בסיס לתת-מרחב זה.

רמז: סדרו את הווקטורים כשורות מטריצה ובצעו אלימינציית גאוס — דרגת המטריצה תקבע הן את תלות/אי-תלות הווקטורים והן את מימד הפריסה.

פתרון: ## חלק (א): תלות לינארית נבדוק האם קיימים סקלרים $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, לא כולם אפס, כך ש-$\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = \mathbf{0}$. נסדר את הווקטורים כ**שורות מטריצה** ונבצע **אלימינציית גאוס**: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$ $R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1$, $\quad R_3 \leftarrow R_3 - 7R_1$: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}$$ $R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ השורה השלישית אפסית לחלוטין, כלומר $\mathrm{rank}(A) = 2 < 3$, ולכן הווקטורים **תלויים לינארית**. **תלות מפורשת:** נבחין כי $v_2 - v_1 = (3,3,3)$ וגם $v_3 - v_2 = (3,3,3)$, לכן: $$v_3 = 2v_2 - v_1$$ *אימות:* $2(4,5,6)-(1,2,3) = (8,10,12)-(1,2,3) = (7,8,9) = v_3$ ✓ כלומר, $(-1)v_1 + 2v_2 + (-1)v_3 = \mathbf{0}$ — **צירוף לינארי** שאינו טריוויאלי. --- ## חלק (ב): מימד הפריסה ובסיס מהצמצום לעיל, $\mathrm{rank}(A) = 2$, ולכן: $$\dim\bigl(\mathrm{Sp}\{v_1, v_2, v_3\}\bigr) = 2$$ השורות הפיבוט הן $R_1$ ו-$R_2$, המתאימות ל-$v_1$ ו-$v_2$. ואכן, $v_1$ ו-$v_2$ **בלתי תלויים לינארית** (אחד אינו כפולה סקלרית של השני), ו-$v_3 = 2v_2 - v_1 \in \mathrm{Sp}\{v_1,v_2\}$. לכן **בסיס** לתת-המרחב הוא: $$\boxed{\{v_1, v_2\} = \{(1,2,3),\;(4,5,6)\}}$$ תת-המרחב $\mathrm{Sp}\{v_1,v_2,v_3\}$ הוא מישור דו-ממדי ב-$\mathbb{R}^3$. $\blacksquare$