שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - אוניברסיטת בר-אילן 2022 - העתקה לינארית

יהי $V$ מרחב וקטורי נוצר סופית ותהי $T : V \to V$ העתקה לינארית המקיימת שלכל העתקה לינארית $S : V \to V$ מתקיים $ST = TS$. הוכיחו כי לכל בסיס $\{v_1, \ldots, v_n\}$ של $V$ מתקיים שלכל $1 \leq i \leq n$ הוקטורים $T(v_i), v_i$ תלויים לינארית.

רמז: לכל $i$, הגדר את **ההטלה** $S_i : V \to V$ על $\operatorname{span}\{v_i\}$ לאורך $\operatorname{span}\{v_j : j\neq i\}$. השתמש בתנאי $TS_i = S_iT$ על ידי הפעלה על $v_i$, וזהה מה אומר התנאי $S_i(T(v_i)) = T(v_i)$ על המיקום של $T(v_i)$.

פתרון: יהי $\{v_1, \ldots, v_n\}$ בסיס של $V$, ונקבע $1 \leq i \leq n$ כלשהו. נגדיר העתקה לינארית $S_i : V \to V$ על ידי: $$S_i(v_j) = \begin{cases} v_i & j = i \\ 0 & j \neq i \end{cases}$$ והרחבה לינארית לכל $V$. זוהי **ההטלה** על $\operatorname{span}\{v_i\}$ לאורך $\operatorname{span}\{v_j : j \neq i\}$. מאחר ש-$T$ מתחלפת עם כל העתקה לינארית, ובפרט עם $S_i$, מתקיים: $$T \circ S_i = S_i \circ T.$$ **נפעיל את שתי הצדדים על $v_i$:** - **אגף שמאל:** $(T \circ S_i)(v_i) = T(S_i(v_i)) = T(v_i).$ - **אגף ימין:** $(S_i \circ T)(v_i) = S_i(T(v_i)).$ לכן: $$S_i(T(v_i)) = T(v_i). \quad (*)$$ **נאפיין את נקודות השבת של $S_i$:** עבור וקטור כלשהו $w = \sum_{j=1}^n c_j v_j$, מתקיים: $$S_i(w) = c_i v_i.$$ אם $S_i(w) = w$, אז $c_i v_i = \sum_{j=1}^n c_j v_j$, ומ**אי-תלות לינארית** של הבסיס נובע $c_j = 0$ לכל $j \neq i$, כלומר $w \in \operatorname{span}\{v_i\}$. משוואה $(*)$ אומרת ש-$S_i(T(v_i)) = T(v_i)$, כלומר $T(v_i)$ היא נקודת שבת של $S_i$. לפי האפיון לעיל: $$T(v_i) \in \operatorname{span}\{v_i\},$$ דהיינו קיים סקלר $\lambda_i$ כך ש-$T(v_i) = \lambda_i v_i$. מכאן שהמשוואה הלינארית $\lambda_i v_i - T(v_i) = 0$ (עם מקדם $1$ ל-$T(v_i)$ ומקדם $-\lambda_i$ ל-$v_i$) היא **צירוף לינארי אפסי לא טריוויאלי** של $T(v_i)$ ו-$v_i$, ולכן הם **תלויים לינארית**. $\blacksquare$