שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - אוניברסיטת בר-אילן 2022 | prepd.

אתר תרגול לבחינות

יהי

V

מרחב וקטורי נוצר סופית ותהי

T : V \to V

העתקה לינארית המקיימת שלכל העתקה לינארית

S : V \to V

מתקיים

S T = T S

.
הוכיחו כי לכל בסיס

{v_{1}, \dots, v_{n}}

של

V

מתקיים שלכל

1 \leq i \leq n

הוקטורים

T (v_{i}), v_{i}

תלויים לינארית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב2022סמסטר א

★★★★★

העתקה לינאריתתלות לינאריתהוכחההרכבת העתקות

בנו העתקה

S

ספציפית (הטלה על

v_{i}

) ובדקו מה נובע מ-

S T = T S

. הראו ש-

T (v_{i}) \in sp {v_{i}}

.

יהי

{v_{1}, \dots, v_{n}}

בסיס של

V

ויהי

1 \leq i \leq n

. נוכיח ש-

T (v_{i}) \in sp {v_{i}}

.

נכתוב

T (v_{i}) = \sum_{j = 1}^{n} α_{j} v_{j}

. נגדיר

P_{i} : V \to V

ע"י

P_{i} (v_{k}) = δ_{ik} v_{i}

(ההטלה על

v_{i}

).

מ-

P_{i} T = T P_{i}

נחשב על

v_{i}

:
-

P_{i} (T (v_{i})) = P_{i} (\sum_{j} α_{j} v_{j}) = α_{i} v_{i}

-

T (P_{i} (v_{i})) = T (v_{i}) = \sum_{j} α_{j} v_{j}

לכן

\sum_{j} α_{j} v_{j} = α_{i} v_{i}

.

מכיוון ש-

{v_{j}}

בסיס (בת"ל),

α_{j} = 0

לכל

j \neq = i

.

נקבל

T (v_{i}) = α_{i} v_{i}

, ולכן

T (v_{i}), v_{i}

ת"ל (כי

T (v_{i}) - α_{i} v_{i} = 0

הוא צירוף לינארי לא טריוויאלי).

■