שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - אוניברסיטת בר-אילן 2023 - גרעין

הוכיחו או הפריכו: תהיינה $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ המקיימות $N(A) \cap C(B) = \{0\}$, אזי $N(B) = N(AB)$.

רמז: הכלה אחת טריוויאלית. לכיוון השני, אם $ABx = 0$ אז $Bx \in N(A) \cap C(B)$.

פתרון: **הטענה נכונה.** $N(B) \subseteq N(AB)$: אם $Bx = 0$ אז $ABx = A \cdot 0 = 0$. $\checkmark$ $N(AB) \subseteq N(B)$: יהי $x \in N(AB)$, כלומר $ABx = 0$. אז $A(Bx) = 0$, לכן $Bx \in N(A)$. אבל גם $Bx \in C(B)$ (כי $Bx$ הוא צ"ל של עמודות $B$). לכן $Bx \in N(A) \cap C(B) = \{0\}$, כלומר $Bx = 0$, ולכן $x \in N(B)$. $\blacksquare$