שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2008 - מכפלה פנימית

נתונה מטריצה $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 4 \\ -2 & 1 & -2 \\ 4 & -2 & 4 \end{pmatrix}$. נגדיר פונקציה $f : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ על ידי $f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = (A\mathbf{x}, \mathbf{y})$ לכל $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^t, \mathbf{y} = (y_1, y_2, y_3)^t$ ב-$\mathbb{R}^3$. האם הפונקציה $f$ מגדירה מכפלה פנימית ב-$\mathbb{R}^3$?

רמז: בדוק אם $A$ סימטרית וחיובית מוגדרת. חשב את $\det(A)$ — אם הוא אפס, $A$ אינה חיובית מוגדרת.

פתרון: כדי ש-$f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = (A\mathbf{x}, \mathbf{y})$ תגדיר מכפלה פנימית, צריך ש-$A$ תהיה **סימטרית** ו**חיובית מוגדרת** (כל ערכיה העצמיים חיוביים ממש). **סימטריות:** $A^t = A$ — ניתן לראות שהמטריצה סימטרית. **ערכים עצמיים:** נחשב את הפולינום האופייני: $$\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 4-\lambda & -2 & 4 \\ -2 & 1-\lambda & -2 \\ 4 & -2 & 4-\lambda \end{pmatrix}$$ נשים לב שסכום כל שורה הוא $6 - \lambda$, לכן $(1,1,1)^t$ הוא וקטור עצמי עם ערך עצמי $\lambda = 6$ (אכן $A(1,1,1)^t = (6,−3,6)^t$... נבדוק מחדש). נחשב ישירות: $\text{tr}(A) = 4 + 1 + 4 = 9$ ו-$\det(A) = 4(4-4) + 2(-8+8) + 4(4-4) = 0$. מכאן $\lambda = 0$ הוא ערך עצמי. מכיוון ש-$\det(A) = 0$, קיים ערך עצמי $\lambda = 0$, ולכן $A$ **אינה חיובית מוגדרת**. לכן $f$ **אינה מגדירה מכפלה פנימית** ב-$\mathbb{R}^3$, כי התנאי $f(\mathbf{x}, \mathbf{x}) > 0$ לכל $\mathbf{x} \neq 0$ אינו מתקיים. למשל, עבור $\mathbf{x} = (1, 2, 0)^t$ נקבל $A\mathbf{x} = (0, 0, 0)^t$ ולכן $f(\mathbf{x}, \mathbf{x}) = 0$ למרות ש-$\mathbf{x} \neq 0$. $\blacksquare$