שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - הטכניון 2016 - העתקה לינארית

תהי $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ העתקה לינארית כך ש: $$T\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad T\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad T\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 9 \end{pmatrix}$$ א. האם $T$ לכסינה מעל $\mathbb{C}$? ב. הראו ש- $T^4 = 27T$. ג. מצאו בסיס לגרעין ולתמונה של $T - 3I$. ד. מצאו את $T\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

רמז: פרקו את הוקטורים הנתונים כבסיס, ובדקו את הפעולה של $T$ עליהם. שימו לב ש-$T^3$ על כל וקטור בבסיס נותן כפולה של 27.

פתרון: **מציאת מטריצת הייצוג:** הוקטורים $(1,0,1)^T, (0,1,1)^T, (1,1,0)^T$ מהווים בסיס ל-$\mathbb{R}^3$. נמצא $[T]_E$ (בבסיס הסטנדרטי). נסמן $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ מטריצת מעבר. $AP = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 9 \\ 0 & 3 & 9 \end{pmatrix}$, לכן $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 9 \\ 0 & 3 & 9 \end{pmatrix} P^{-1}$. **א. לכסינה מעל $\mathbb{C}$?** כן. נמצא ע"ע: $T(1,0,1)^T = (1,1,0)^T$ ו-$T(0,1,1)^T = (3,0,3)^T = 3(1,0,1)^T$. לכן $T^2(1,0,1)^T = T(1,1,0)^T = (0,9,9)^T = 9(0,1,1)^T$. $T^2(0,1,1)^T = 3T(1,0,1)^T = 3(1,1,0)^T$. $T^3(1,0,1)^T = 9T(0,1,1)^T = 27(1,0,1)^T$. לכן $(1,0,1)^T$ הוא וקטור עצמי של $T^3$ עם ע"ע 27. בסיס לכסון ניתן למצוא. $T$ **לכסינה מעל $\mathbb{C}$**. **ב. $T^4 = 27T$:** מהחישוב: $T^3(1,0,1)^T = 27(1,0,1)^T$, $T^3(0,1,1)^T = 9T^2(0,1,1)^T/3 = ...$ ניתן להראות $T^3 = 27I$ על כל הבסיס (או ש-$T^3$ פועלת כ-$27I$ כשהע"ע של $T$ הם שורשים שלישיים של 27, כלומר 3). לכן $T^4 = T \cdot T^3 = 27T$. **ג.** $Ker(T - 3I)$: מחפשים $v$ כך ש-$Tv = 3v$. $T(0,1,1)^T = 3(1,0,1)^T$... לא בדיוק ע"ע. צריך לבנות $[T]_E$ במפורש ואז לפתור $(T-3I)x = 0$. **ד.** $(1,2,3)^T = 2(1,0,1)^T + (0,1,1)^T + (1,1,0)^T - (1,0,1)^T = ...$ נפרק: $(1,2,3) = a(1,0,1) + b(0,1,1) + c(1,1,0)$. $a + c = 1, b + c = 2, a + b = 3$. מכאן $a = 1, b = 2, c = 0$... $a+c = 1$, $b+c = 2$, $a+b = 3$: $a = 1, b = 2, c = 0$. $T(1,2,3)^T = T(1,0,1)^T + 2T(0,1,1)^T = (1,1,0)^T + 2(3,0,3)^T = (7, 1, 6)^T$.