שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - הטכניון 2006 - מטריצות

תהיינה $A$ ו-$B$ מטריצות מסדר $n \times n$, $n \geq 2$ כך ש-$BAB = 0$. אז בהכרח מתקיים: (א) $ABA = 0$. (ב) למערכת $Bx = 0$ יש פתרון לא טריוויאלי. (ג) אם $A$ הפיכה, אז $AB = 0$. (ד) אם $A$ הפיכה, אז $\text{rank}\,B \leq \frac{n}{2}$. (ה) אם $B = A^k$ עבור איזשהו $k$ טבעי, אז $A = 0$.

רמז: אם $A$ הפיכה, נסו לכפול ב-$A^{-1}$ מצדדים שונים כדי לפשט את $BAB = 0$.

פתרון: **(ג)** $BAB = 0$ ו-$A$ הפיכה: נכפול משמאל ב-$A^{-1}$: $A^{-1}BAB = 0$. נכפול מימין ב-$(AB)^{-1}$... לא, $AB$ לא בהכרח הפיכה. נכפול: $BAB = 0$. אם $A$ הפיכה: $B \cdot A \cdot B = 0$ → $A^{-1}(BAB) = 0$ → $A^{-1} \cdot 0 = 0$. לא עוזר. $BAB = 0$ → כל עמודה של $B$ שייכת ל-$\ker(BA)$. אם $A$ הפיכה: $BA$ הפיכה $\iff B$ הפיכה. $(BA)B = 0$ → עמודות $B \subseteq \ker(BA)$. $\text{rank}(BA) + \dim\ker(BA) = n$. אם $B$ הפיכה: $\text{rank}(BA) = n$ → $\ker(BA) = \{0\}$ → $B = 0$ סתירה. לכן $B$ לא הפיכה. $\text{rank}(B) < n$. $(BA)B = 0$ → $\text{Im}(B) \subseteq \ker(BA)$. $\text{rank}(B) \leq \dim\ker(BA) = n - \text{rank}(BA)$. $\text{rank}(BA) \leq \text{rank}(B)$ (כי $\text{rank}(BA) \leq \min(\text{rank} B, \text{rank} A)$). לכן $\text{rank}(B) \leq n - \text{rank}(B)$ → $2\text{rank}(B) \leq n$ → $\text{rank}(B) \leq n/2$. **התשובה (ד) נכונה.** גם **(ג)** נכון: $A$ הפיכה → $B(AB) = 0$ → $\text{Im}(AB) \subseteq \ker B$. אם $A$ הפיכה → מכפילים $BAB=0$ ב-$A^{-1}$ מצד שמאל: $A^{-1}BAB = 0$ כלומר $EB = 0$ כאשר $E = A^{-1}BA$. ואז $B = A E^{-1}$? לא... $BAB = 0$, $A$ הפיכה → $B \cdot A \cdot B = 0$ → כופלים מימין ב-$A^{-1}$: לא עוזר. כופלים: $A$ הפיכה, אז $A^{-1}BABA^{-1} = 0$ → $(A^{-1}B)(A^{-1}B)^{-1}$... מצד שמאל: $A^{-1}(BAB) = A^{-1} \cdot 0 = 0$ אבל $(A^{-1}B)(AB) = 0$. כלומר $(AB)$ ב-$\ker(A^{-1}B)$, שזה $\ker(B)$ (כי $A^{-1}$ הפיכה). לכן $\text{Im}(AB) \subseteq \ker B$. מצד שני $B(AB) = 0$. התשובה הנכונה: **(ג)** ו-**(ד)**. בבחינה זו תשובה אחת, לכן **(ג)**.