שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אינטגרציה בחלקים

חשבו את האינטגרל $\int x^2 e^{-x} dx$ באמצעות אינטגרציה בחלקים.

רמז: בחר $u = x^2$ ו-$dv = e^{-x}dx$ ויישם אינטגרציה בחלקים; תקבל אינטגרל מסוג $\int x e^{-x}dx$ שדורש יישום נוסף של אותה שיטה.

פתרון: נשתמש ב**אינטגרציה בחלקים** פעמיים, תוך הפחתת חזקת $x$ בכל שלב. **צעד ראשון:** נבחר $$u = x^2, \quad dv = e^{-x}dx$$ $$du = 2x\,dx, \quad v = -e^{-x}$$ לפי הנוסחה $\int u\,dv = uv - \int v\,du$: $$\int x^2 e^{-x}dx = -x^2 e^{-x} + 2\int x e^{-x}dx$$ **צעד שני:** נחשב את $\int x e^{-x}dx$ שוב עם אינטגרציה בחלקים: $$u = x, \quad dv = e^{-x}dx$$ $$du = dx, \quad v = -e^{-x}$$ $$\int x e^{-x}dx = -xe^{-x} + \int e^{-x}dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$$ **צעד שלישי:** נציב חזרה: $$\int x^2 e^{-x}dx = -x^2 e^{-x} + 2\bigl(-xe^{-x} - e^{-x}\bigr) + C$$ $$= -x^2 e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} + C$$ $$\boxed{\int x^2 e^{-x}dx = -e^{-x}\bigl(x^2 + 2x + 2\bigr) + C}$$ **אימות בגזירה:** נגזור את $-e^{-x}(x^2+2x+2)$: $$\frac{d}{dx}\bigl[-e^{-x}(x^2+2x+2)\bigr] = e^{-x}(x^2+2x+2) - e^{-x}(2x+2) = e^{-x}\cdot x^2 \checkmark$$ $\blacksquare$