שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת תל אביב 2021 - סדרת פונקציות

פרטו את השיפוטים הבאים: (א) תהי $f_n \in R([0,1])$ סדרת פונקציות שמתכנסות ל־$0$ בהחלט בכל $0 < r < 1$ בקטע $[0,r]$. הוכח או הפרך: $$\int_0^1 f_n(x) \mathbf{1}_{\{x \in [0,1] : |f_n(x)| > 1\}}(x) \, dx \xrightarrow{n \to \infty} 0$$ (בקצרה, אם $n_k \in \mathbb{N}$ סדרה כך ש־$\int_0^1 f_n(x) \, dx \xrightarrow{n \to \infty} 0$ מטבעי כלל $n$, הוכח כי $\int_0^1 f_n(x) \, dx \xrightarrow{n \to \infty} 0$). זכור: תהי $A \subset \mathbb{R}$ קבוצה. הוא המציין של קבוצה $A$ הוא: $$\mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 & x \in A \\ 0 & x \notin A \end{cases}$$

רמז: נסו לבנות דוגמה נגדית באמצעות סדרת פונקציות שה"מסה" שלהן מתרכזת בקטע שהולך ומתקרב ל-1, כך שהתנאי על כל קטע $[0,r]$ עם $r<1$ יתקיים, אך האינטגרל על כל $[0,1]$ לא ישאף לאפס.

פתרון: הטענה אינה נכונה. נפריך אותה באמצעות **דוגמה נגדית**. נבחן את סדרת הפונקציות $f_n: [0,1] \to \mathbb{R}$ המוגדרת על ידי: $$f_n(x) = \begin{cases} n & \text{if } x \in [1 - 1/n, 1] \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ לכל $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 1$. כל פונקציה $f_n$ היא פונקציית מדרגות, ולכן אינטגרבילית רימן בקטע $[0,1]$, כלומר $f_n \in R([0,1])$. **שלב 1: נוכיח שהסדרה $f_n$ מקיימת את תנאי השאלה.** התנאי הוא שסדרת הפונקציות "מתכנסת ל-0 בהחלט בכל $0 < r < 1$ בקטע $[0,r]$". נפרש תנאי זה כהתכנסות בנורמת $L^1$, כלומר: $$\forall r \in (0,1), \quad \lim_{n \to \infty} \int_0^r |f_n(x)| \, dx = 0$$ (נציין כי הדוגמה הנגדית שלנו עובדת גם תחת פרשנויות חזקות יותר, כגון התכנסות נקודתית או התכנסות במידה שווה על $[0,r]$). יהי $r \in (0,1)$ קבוע. נבחר מספר טבעי $N$ המקיים $N > \frac{1}{1-r}$. לכל $n \ge N$, מתקיים $1 - \frac{1}{n} \ge 1 - \frac{1}{N} > 1 - (1-r) = r$. לכן, לכל $n \ge N$, התומך של $f_n$, שהוא הקטע $[1-1/n, 1]$, מוכל כולו בקטע $(r, 1]$. מכאן שלכל $n \ge N$ ולכל $x \in [0,r]$, מתקיים $f_n(x) = 0$. לפיכך, עבור $n \ge N$: $$\int_0^r |f_n(x)| \, dx = \int_0^r |0| \, dx = 0$$ הסדרה $(\int_0^r |f_n(x)| \, dx)_{n=1}^\infty$ היא קבועה ושווה ל-0 החל מהמקום ה-$N$, ולכן גבולה כאשר $n \to \infty$ הוא 0. הראינו כי סדרת הפונקציות $f_n$ מקיימת את התנאי הנתון. **שלב 2: נראה שמסקנת הטענה אינה מתקיימת.** עלינו לחשב את הגבול של הביטוי: $$I_n = \int_0^1 f_n(x) \mathbf{1}_{\{x \in [0,1] : |f_n(x)| > 1\}}(x) \, dx$$ נזהה את הקבוצה $A_n = \{x \in [0,1] : |f_n(x)| > 1\}$. עבור $n=1$, $f_1(x) = 1$ על $[0,1]$, ולכן $|f_1(x)|=1$. הקבוצה $A_1$ ריקה והאינטגרל הוא 0. עבור $n > 1$: - אם $x \in [1-1/n, 1]$, אז $f_n(x)=n$, ולכן $|f_n(x)|=n > 1$. - אם $x \notin [1-1/n, 1]$, אז $f_n(x)=0$, ולכן $|f_n(x)|=0 \le 1$. לפיכך, עבור $n>1$, הקבוצה $A_n$ היא בדיוק הקטע $[1-1/n, 1]$. כעת נחשב את האינטגרל $I_n$ עבור $n > 1$: $$I_n = \int_{A_n} f_n(x) \, dx = \int_{1-1/n}^1 n \, dx = n \cdot \left[x\right]_{1-1/n}^1 = n \left(1 - \left(1-\frac{1}{n}\right)\right) = n \cdot \frac{1}{n} = 1$$ קיבלנו כי $I_n = 1$ לכל $n>1$. לכן, הגבול הוא: $$\lim_{n \to \infty} I_n = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$$ הגבול שקיבלנו הוא 1, והוא שונה מ-0. לכן, מסקנת הטענה אינה מתקיימת עבור סדרת הפונקציות $f_n$ שבנינו. **מסקנה:** הראינו סדרת פונקציות המקיימת את תנאי הטענה, אך לא את מסקנתה. לפיכך, הטענה אינה נכונה. $\blacksquare$