שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2017 - טורים

א. האם קיים טור מתכנס $\sum a_n$ כך שהטור $\sum a_n(a_n + 1)$ מתבדר? ב. נניח כי לפונקציה $f(x)$ יש נגזרת שנייה חסומה ב-$(0,\infty)$. הוכיחו: אם $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ (גבול סופי) אז $\lim_{x \to \infty} f'(x) = 0$.

רמז: סעיף א': כתבו את הטור כסכום של שני טורים, $\sum a_n^2 + \sum a_n$. חפשו דוגמה של טור $\sum a_n$ המתכנס בתנאי. סעיף ב': השתמשו בנוסחת טיילור עם שארית לגרנז' עבור $f(x+h)$ סביב $x$, בטאו את $f'(x)$ ובחרו ערך מתאים ל-$h$ התלוי ב-$\epsilon$.

פתרון: ### סעיף א' כן, קיים טור כזה. ננתח את הטור השני: $$ \sum a_n(a_n + 1) = \sum (a_n^2 + a_n) = \sum a_n^2 + \sum a_n $$ הפיצול לשני טורים מותר כאשר שני הטורים מתכנסים. במקרה שלנו, אנו רוצים שהטור באגף שמאל יתבדר. נתון שהטור $\sum a_n$ **מתכנס**. לכן, אם הטור $\sum a_n^2$ יתכנס, גם סכומם $\sum a_n(a_n + 1)$ יתכנס. מכאן, כדי שהטור $\sum a_n(a_n+1)$ יתבדר, הכרחי שהטור $\sum a_n^2$ **יתבדר**. לכן, השאלה שקולה לשאלה: האם קיים טור $\sum a_n$ שמתכנס, אך הטור $\sum a_n^2$ מתבדר? התשובה היא כן. דוגמה קלאסית לכך היא טור ש**מתכנס בתנאי** אך לא מתכנס בהחלט. נבחר את הטור $a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$. 1. **בדיקת התכנסות הטור $\sum a_n$**: הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ הוא טור לייבניץ. נבדוק את תנאי **מבחן לייבניץ**: א. הסדרה $b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$ היא חיובית ויורדת מונוטונית. ב. $\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$. מאחר ששני התנאים מתקיימים, הטור $\sum a_n$ מתכנס. 2. **בדיקת התכנסות הטור $\sum a_n^2$**: האיבר הכללי של טור זה הוא $a_n^2 = \left( \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right)^2 = \frac{1}{n}$. הטור המתקבל הוא $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$, שהוא **הטור ההרמוני**. ידוע שהטור ההרמוני מתבדר. **מסקנה**: מצאנו טור $\sum a_n = \sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ אשר מתכנס. עבור טור זה, הטור $\sum a_n^2$ מתבדר. מכיוון ש-$\sum a_n(a_n+1) = \sum a_n^2 + \sum a_n$, והוא סכום של טור מתבדר וטור מתכנס, התוצאה היא טור **מתבדר**. לכן, קיים טור כנדרש. $\blacksquare$ ### סעיף ב' נוכיח כי $\lim_{x \to \infty} f'(x) = 0$. הנתונים הם: 1. קיימת $f''(x)$ והיא חסומה ב-$(0,\infty)$. כלומר, קיים $M > 0$ כך שלכל $x \in (0,\infty)$ מתקיים $|f''(x)| \le M$. 2. $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ עבור $L$ סופי כלשהו. נשתמש ב**נוסחת טיילור עם שארית לגרנז'**. לכל $x>0$ ולכל $h>0$, קיים $c \in (x, x+h)$ כך ש: $$ f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac{f''(c)}{2!}h^2 $$ נבודד את $f'(x)$: $$ f'(x)h = f(x+h) - f(x) - \frac{f''(c)}{2}h^2 $$ $$ f'(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f''(c)}{2}h $$ כעת נפעיל ערך מוחלט ונשתמש באי-שוויון המשולש: $$ |f'(x)| = \left| \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f''(c)}{2}h \right| \le \frac{|f(x+h) - f(x)|}{h} + \frac{|f''(c)|}{2}h $$ מהנתון על חסימות הנגזרת השנייה, $|f''(c)| \le M$, ולכן: $$ |f'(x)| \le \frac{|f(x+h) - f(x)|}{h} + \frac{Mh}{2} $$ אי-שוויון זה נכון לכל $x > 0$ ולכל $h>0$. כעת נוכיח את הגבול בעזרת הגדרת הגבול. יהי $\epsilon > 0$. עלינו להראות שקיים $X_0$ כך שלכל $x > X_0$ מתקיים $|f'(x)| < \epsilon$. תחילה, נבחר $h$ באופן שיקטין את התרומה של האיבר השני בחסם. נבחר $h$ כך שיתקיים $\frac{Mh}{2} < \frac{\epsilon}{2}$. למשל, אם $M>0$, נבחר $h = \frac{\epsilon}{M}$. (אם $M=0$, אז $f''(x)=0$ לכל $x$, כלומר $f'(x)$ קבועה. מכיוון ש-$f(x)$ מתכנסת לגבול סופי, הקבוע חייב להיות 0, והטענה נכונה באופן טריוויאלי). עבור בחירת $h = \frac{\epsilon}{M}$ שלנו, החסם הוא: $$ |f'(x)| \le \frac{|f(x+h) - f(x)|}{h} + \frac{\epsilon}{2} $$ כעת נטפל באיבר הראשון. מהנתון $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$, נובע כי גם $\lim_{x \to \infty} f(x+h) = L$ (כי $h$ קבוע). לכן: $$ \lim_{x \to \infty} (f(x+h) - f(x)) = L - L = 0 $$ לפי הגדרת הגבול, עבור הערך $\delta = \frac{\epsilon h}{2} > 0$, קיים $X_0$ כך שלכל $x > X_0$ מתקיים: $$ |f(x+h) - f(x)| < \delta = \frac{\epsilon h}{2} $$ נחלק ב-$h>0$: $$ \frac{|f(x+h) - f(x)|}{h} < \frac{\epsilon}{2} $$ אם נסכום את שני החלקים, נקבל שלכל $x > X_0$: $$ |f'(x)| \le \frac{|f(x+h) - f(x)|}{h} + \frac{Mh}{2} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon $$ הראינו שלכל $\epsilon>0$ קיים $X_0$ מתאים, ולכן הוכחנו כנדרש כי $\lim_{x \to \infty} f'(x) = 0$. $\blacksquare$