רמז: השתמשו בכך ש-$\ln(2)=\int_1^2 \frac{dx}{x}$, וחלקו את הקטע $[1,2]$ לארבעה תתי-קטעים שווים. נצלו את העובדה שהפונקציה $f(x)=\frac{1}{x}$ יורדת כדי לחסום את האינטגרל בסכומי דארבו תחתון ועליון.
פתרון: נתבונן באינטגרל $\ln(2)=\int_1^2 \frac{dx}{x}$ ונחלק את הקטע $[1,2]$ לארבעה תתי-קטעים באורך $\frac{1}{4}$ עם נקודות חלוקה $1, 1.25, 1.5, 1.75, 2$. מאחר שהפונקציה $f(x)=\frac{1}{x}$ מונוטונית יורדת בקטע, המינימום בכל תת-קטע מתקבל בקצה הימני והמקסימום בקצה השמאלי. לכן סכום דארבו התחתון הוא $\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1.25}+\frac{1}{1.5}+\frac{1}{1.75}+\frac{1}{2}\right)$ וסכום דארבו העליון הוא $\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{1.25}+\frac{1}{1.5}+\frac{1}{1.75}\right)$. מכיוון שהאינטגרל חסום בין סכום דארבו התחתון לעליון, מתקבל אי-השוויון הדרוש.
סכומי רימןאינטגרל רימןפונקציות מונוטוניותחסמי אינטגרללוגריתם טבעי
השתמשו בכך ש-ln(2)=∫12xdx, וחלקו את הקטע [1,2] לארבעה תתי-קטעים שווים. נצלו את העובדה שהפונקציה f(x)=x1 יורדת כדי לחסום את האינטגרל בסכומי דארבו תחתון ועליון.
נתבונן באינטגרל ln(2)=∫12xdx ונחלק את הקטע [1,2] לארבעה תתי-קטעים באורך 41 עם נקודות חלוקה 1,1.25,1.5,1.75,2. מאחר שהפונקציה f(x)=x1 מונוטונית יורדת בקטע, המינימום בכל תת-קטע מתקבל בקצה הימני והמקסימום בקצה השמאלי. לכן סכום דארבו התחתון הוא 41(1.251+1.51+1.751+21) וסכום דארבו העליון הוא 41(1+1.251+1.51+1.751). מכיוון שהאינטגרל חסום בין סכום דארבו התחתון לעליון, מתקבל אי-השוויון הדרוש.
שאלת מבחן באינפי 2 / חדו"א 2 - אוניברסיטת בר-אילן 2014 | prepd.