שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - הטכניון 2010 - העתקה לינארית

יהי $V$ מרחב המטריצות הממשיות $2 \times 2$ ותהי $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. תהי $T$ הטרנספורמציה הלינארית המוגדרת ע"י $T(A) = BA - AB$ לכל $A$ ב-$V$. א. רשום את המטריצה המייצגת $[T]_E$ של $T$ לפי הבסיס הסטנדרטי $E = (E_1, E_2, E_3, E_4)$ כאשר: $E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $E_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $E_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ב. יהי $F = (F_1, F_2, F_3, F_4)$ בסיס של $V$ כאשר: $F_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $F_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $F_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $F_4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ חשב את מטריצת המעבר מ-$E$ ל-$F$. ג. רשום את $[T]_F$ - המטריצה המייצגת של $T$ לפי הבסיס הסדור $F$. ד. נתון ש- $[X]_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, עבור $X$ מסוים ב-$V$. מצא את $[T(X)]_E$. ה. האם $V = \operatorname{Im}(T) \oplus \operatorname{ker}(T)$?

רמז: חשב T(Eᵢ) = BEᵢ - EᵢB לכל i כדי לקבל את [T]_E.

פתרון: א. מחשבים $T(E_i) = BE_i - E_iB$ לכל $i$ ורושמים כקואורדינאטות לפי $E$. ב. מטריצת המעבר: עמודותיה הן הקואורדינאטות של $F_i$ לפי $E$. ג. $[T]_F = P^{-1}[T]_E P$ כאשר $P$ מטריצת המעבר. ד. $[T(X)]_E = [T]_E \cdot P \cdot [X]_F$ או $[T(X)]_E = [T]_E [X]_E$ כאשר $[X]_E = P[X]_F$. ה. בודקים אם $\operatorname{Ker}T \cap \operatorname{Im}T = \{0\}$ ו-$\dim(\operatorname{Ker}T) + \dim(\operatorname{Im}T) = 4$.