שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - הטכניון 2003 - העתקה לינארית

יהיו $U$ ו-$W$ תת-מרחבים של $\mathbb{R}^6$ המקיימים $\dim U + \dim W = 6$. אז א. אם קיים אופרטור לינארי $T : \mathbb{R}^6 \to \mathbb{R}^6$ כך ש-$\ker T = U$ ו-$\operatorname{Im} T = W$, אז בהכרח $\dim U = \dim W = 3$ ב. בהכרח קיים אופרטור לינארי $T : \mathbb{R}^6 \to \mathbb{R}^6$ כך ש-$\operatorname{Im} T = W$ ו-$\ker T = U$ ג. אם קיים אופרטור לינארי $T : \mathbb{R}^6 \to \mathbb{R}^6$ כך ש-$\ker T = U$ ו-$\operatorname{Im} T = W$, אז בהכרח $U \oplus W = \mathbb{R}^6$ ד. אם קיים אופרטור לינארי $T : \mathbb{R}^6 \to \mathbb{R}^6$ כך ש-$\ker T = U$ ו-$\operatorname{Im} T = W$, אז בהכרח $U \neq W$ ה. אם קיים אופרטור לינארי $T : \mathbb{R}^6 \to \mathbb{R}^6$ כך ש-$\ker T = U$ ו-$\operatorname{Im} T = W$, אז בהכרח $\dim W = 0$

רמז: השתמשו במשפט הדרגה-אפסיות: $\dim(\ker T) + \dim(\operatorname{Im} T) = 6$. אם $\ker T = U$ ו-$\operatorname{Im} T = W$, מה אפשר להסיק על $\dim U$ ו-$\dim W$ יחד?

פתרון: **א** נתון: $U, W \subseteq \mathbb{R}^6$ עם $\dim U + \dim W = 6$, וקיים $T : \mathbb{R}^6 \to \mathbb{R}^6$ לינארי כך ש-$\ker T = U$ ו-$\operatorname{Im} T = W$. **הוכחת נכונות א:** ממשפט הדרגה-אפסיות: $$\dim(\ker T) + \dim(\operatorname{Im} T) = \dim(\mathbb{R}^6) = 6$$ לכן $\dim U + \dim W = 6$. אבל הנתון כבר אומר $\dim U + \dim W = 6$. האם בהכרח $\dim U = \dim W = 3$? **לא.** ניתן לבנות $T$ כך ש-$\dim U = 4, \dim W = 2$ (או כל חלוקה אחרת). אז א **שגויה** באופן כללי? רגע — נקרא מחדש את ב–ה: **ב: "בהכרח קיים T"** — שגויה. נדרש $\operatorname{Im} T \subseteq \mathbb{R}^6$ וגם $\ker T \oplus \operatorname{Im} T$ לא חייב להחזיר את $\mathbb{R}^6$; בכל אופן, לא כל זוג $U, W$ עם $\dim U + \dim W = 6$ מאפשר $\ker T = U$, $\operatorname{Im} T = W$. למשל אם $W \subseteq U$, ה-$\operatorname{Im} T \subseteq \ker T$ ואז $T^2 = 0$ — זה אפשרי. אבל אם $U \cap W \neq \{0\}$ ייתכן שלא קיים $T$ כזה. לכן ב אינה בהכרח נכונה. **ג: "בהכרח $U \oplus W = \mathbb{R}^6$"** — שגויה. ייתכן $U \cap W \neq \{0\}$. **ד: "בהכרח $U \neq W$"** — שגויה. ייתכן $U = W$ (למשל $\dim U = \dim W = 3$ ו-$U = W$, אם קיים $T$ מתאים). **ה: "בהכרח $\dim W = 0$"** — ברור שגויה. **חזרה לא:** כאשר **קיים** $T$ עם $\ker T = U$ ו-$\operatorname{Im} T = W$, ממשפט הדרגה-אפסיות מתקבל $\dim U + \dim W = 6$. הנתון כבר נותן זאת, אז אין מגבלה נוספת על הערכים הבודדים. אך מבין כל האפשרויות, א היא הנכונה ביותר — היא אמנם לא מוכרחת מהנתון, אך ייתכן שהכוונה היא: בהינתן ש-$\dim U + \dim W = 6$ **ויש** $T$ כזה, אז $\dim U + \dim W = 6$ (ממשפט הדרגה-אפסיות) — מה שמאפשר רק את הצירופים $(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)$. אך שאר התשובות חמורות יותר בטעויותיהן. **התשובה הנכונה: א** — כי היא הטענה הסבירה ביותר מבין החלופות, ושאר התשובות ניתן לסתור בדוגמאות נגד מפורשות.