שאלת מבחן באלגברה לינארית 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2005 - מטריצות

תהיינה $A$ מטריצה מסדר $m \times n$ ו-$B$ מטריצה מסדר $n \times m$. נתון ש-$n < m$. הוכיחו שלא יתכן ש-$AB = I_m$. תנו דוגמה של מטריצות $A$ מסדר $2 \times 3$ ו-$B$ מסדר $3 \times 2$ שמקיימות $AB = I_2$.

רמז: השתמשו בתכונת הדרגה: $\rho(AB) \leq \min(\rho(A), \rho(B))$ ובכך ש-$\rho(A) \leq \min(m,n)$.

פתרון: **הוכחה שלא יתכן $AB = I_m$ כאשר $n < m$:** נניח בשלילה ש-$AB = I_m$. אזי $\rho(AB) = \rho(I_m) = m$. מצד שני, ידוע ש-$\rho(AB) \leq \min(\rho(A), \rho(B))$. כמו כן, $\rho(A) \leq \min(m, n) = n$ (כי $A$ מסדר $m \times n$) וכן $\rho(B) \leq \min(n, m) = n$ (כי $B$ מסדר $n \times m$). לכן $m = \rho(AB) \leq \min(\rho(A), \rho(B)) \leq n < m$. קיבלנו $m < m$, סתירה. $\blacksquare$ **דוגמה עבור $AB = I_2$:** ניקח: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ אז: $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$$ כאן $n = 3 > 2 = m$, כלומר $n > m$, ואכן קיבלנו $AB = I_m$.