קורס: אלגברה לינארית 1
אוניברסיטה: הטכניון
שנה: 2012
סמסטר: ב
נושאים: מספרים מרוכבים, ייצוג פולארי, ארגומנט
רמת קושי: בינוני-קשה
**שאלות רב-ברירה** (יש לרשום את התשובות בטבלה בעמוד 2)
**שאלה 4:** (5%) יהיו $z_1, z_2, z_3$ מספרים מרוכבים **ברביע הראשון** המקיימים את התנאים הבאים:
- $|z_1|, |z_2|, |z_3|$ הם מספרים שלמים שמכפלתם שווה ל-15.
- $|z_1| < |z_2| < |z_3|$
- $\arg(z_2) = \frac{1}{2}\arg(z_1)$
- $\arg(z_3) = \frac{1}{3}\arg(z_1)$
- $\arg(z_1 z_2 z_3) = 110°$
מהו $z_1 + z_2$?
א. $z_1 + z_2 = \dfrac{5\sqrt{3}+1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}+5}{2}i$   ב. $z_1 + z_2 = \dfrac{3\sqrt{3}+1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}+3}{2}i$
ג. $z_1 + z_2 = \dfrac{\sqrt{3}+3}{2} + \dfrac{\sqrt{3}+1}{2}i$   ד. $z_1 + z_2 = \dfrac{\sqrt{3}+5}{2} + \dfrac{\sqrt{3}+1}{2}i$
ה. $z_1 + z_2 = \dfrac{\sqrt{3}+1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}i$   ו. $z_1 + z_2 = \dfrac{3\sqrt{3}-1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}-2}{2}i$
רמז: $|z_1||z_2||z_3| = 15 = 1 \cdot 3 \cdot 5$. $\arg(z_1) + \arg(z_2) + \arg(z_3) = \arg(z_1 z_2 z_3) = 110°$. הכניסו: $\arg(z_2) = \theta/2$, $\arg(z_3) = \theta/3$ כאשר $\theta = \arg(z_1)$. פתרו עבור $\theta$.
פתרון: מ-$\arg(z_1 z_2 z_3) = \arg(z_1) + \arg(z_2) + \arg(z_3) = \theta + \frac{\theta}{2} + \frac{\theta}{3} = \frac{11\theta}{6} = 110°$.
לכן $\theta = 60°$.
אז $\arg(z_1) = 60°$, $\arg(z_2) = 30°$, $\arg(z_3) = 20°$.
$|z_1||z_2||z_3| = 15$. עם $|z_1| < |z_2| < |z_3|$, המספרים שלמים: $1 \cdot 3 \cdot 5 = 15$.
אז $|z_1| = 1, |z_2| = 3, |z_3| = 5$ (כי $z_i$ ברביע הראשון — הארגומנטים יורדים).
$z_1 = e^{i60°} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.
$z_2 = 3e^{i30°} = 3\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i$.
$z_1 + z_2 = \frac{1+3\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}+3}{2}i$.
התשובה הנכונה: **ב'**.