שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - אוניברסיטת תל אביב 2024 - לכסון

נאמר שהמטריצה $R$ היא שורש ריבועי של המטריצה $A$ אם מתקיים $R^2 = A$. הוכיחו שלכל מטריצה לכסינה מרוכבת $A \in M_n(\mathbb{C})$ יש שורש ריבועי $R \in M_n(\mathbb{C})$.

רמז: לכסנו את $A$ ומצאו שורש ריבועי למטריצה האלכסונית (כל כניסה באלכסון היא מספר מרוכב שיש לו שורש). חזרו למטריצה המקורית באמצעות דמיון.

פתרון: מכיוון ש-$A$ לכסינה מעל $\mathbb{C}$, קיימת מטריצה הפיכה $P$ כך ש-$P^{-1}AP = D = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$. לכל $\lambda_i \in \mathbb{C}$ קיים $\mu_i \in \mathbb{C}$ כך ש-$\mu_i^2 = \lambda_i$ (כי כל מספר מרוכב הוא ריבוע של מספר מרוכב). נגדיר $\sqrt{D} = \text{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_n)$. אז $(\sqrt{D})^2 = D$. נגדיר $R = P \sqrt{D} P^{-1}$. אז: $$R^2 = (P\sqrt{D}P^{-1})(P\sqrt{D}P^{-1}) = P\sqrt{D}(\sqrt{D})P^{-1} = PDP^{-1} = A$$ לכן $R$ שורש ריבועי של $A$. $\blacksquare$