שאלת מבחן באלגברה לינארית 2 - האוניברסיטה הפתוחה 2016 - צורת ז'ורדן

נתונה פונקציה לינארית $T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4$ שמקיימת: $$T(e_1) = 4e_4,\quad T(e_2) = e_3,\quad T(e_3) = e_2,\quad T(e_4) = 0$$ מצאו את צורת ז'ורדן של $T^n$, עבור כל $n \geq 5$ שלם. **הערה:** בתרגיל זה $E = \{e_1, e_2, e_3, e_4\}$ מסמן את הבסיס הסטנדרטי של $\mathbb{R}^4$.

רמז: שימו לב שהבלוק $J_2(0)^n = 0$ לכל $n \geq 2$, כך שההבדל בין $n$ זוגי לאי-זוגי הוא רק בבלוק $(-1)^n$.

פתרון: מצורת ז'ורדן של $T$, עבור $n \geq 2$: הבלוק $J_2(0)^n = 0$ (מטריצת האפס $2 \times 2$). הערכים העצמיים של $T^n$: $0$ (ריבוי 2, שני בלוקים $1 \times 1$), $(-1)^n$ (ריבוי 1), $1$ (ריבוי 1). עבור $n \geq 5$: - אם $n$ **אי-זוגי**: $(-1)^n = -1$, וצורת ז'ורדן: $$J_{T^n} = \operatorname{diag}(0, 0, -1, 1)$$ - אם $n$ **זוגי**: $(-1)^n = 1$, וצורת ז'ורדן: $$J_{T^n} = \operatorname{diag}(0, 0, 1, 1)$$ $\blacksquare$